9 - Przestrzenie metryczne cd, Analiza matematyczna


TEMAT:
Przestrzenie metryczne cd,
odwzorowanie ciągłe i ich własności

 

            0x01 graphic
 - przestrzeń z miarą

            0x01 graphic

            0x01 graphic

 

 

DEFINICJA 9.1    (CIĄG CAUCHY'EGO)

 

0x01 graphic
 - ciąg Cauchy'ego 0x01 graphic

 

co można również zapisać, że 0x01 graphic

 

 

 

 

TWIERDZENIE 9.1   

 

W przestrzeni metrycznej każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego

 

Z:        0x01 graphic

T:        0x01 graphic

 

D:        dla 0x01 graphic
 prawdziwe jest: 0x01 graphic

 

Wiemy że: 0x01 graphic
 oraz 0x01 graphic

A więc na podstawie twierdzenia o trzech ciągach stwierdzamy że dla 0x01 graphic

0x01 graphic
, co kończy nasz dowód.

 

 

                 Uwaga:

 

Nie w każdej przestrzeni metrycznej jest prawdziwe twierdzenie odwrotne

(tzn. nie każdy ciąg Cauchy'ego jest ciągiem zbieżnym)

 

 

 

 

DEFINICJA 9.2     (PRZESTRZEŃ ZUPEŁNA)

 

Przestrzeń metryczna 0x01 graphic
 jest zupełna 0x01 graphic
każdy ciąg Cauchy'ego

elementów tej przestrzeni jest zbieżny do granicy należącej do tej przestrzeni

 

0x01 graphic
 - przestrzeń zupełna  0x01 graphic

 

 

 

 

PRZYKŁAD 9.1

 

I.                     0x01 graphic
 - przestrzeń metryczna, gdzie 0x01 graphic

               przestrzeń ta jest przestrzenią zupełną

II.                   a) 0x01 graphic
 - przestrzeń metryczna, gdzie 0x01 graphic
 - odległość euklidesowa

          b) 0x01 graphic
 - przestrzeń metryczna, gdzie 0x01 graphic
 - odległość taksówkowa

          c) 0x01 graphic
 - przestrzeń metryczna, gdzie 0x01 graphic
 - odległość maksimum

          Każda z powyższych przestrzeni metrycznych jest przestrzenią zupełną

III.                  a) 0x01 graphic
 - przestrzeń metryczna, gdzie 0x01 graphic
 - odległość euklidesowa

          b) 0x01 graphic
 - przestrzeń metryczna, gdzie 0x01 graphic
 - odległość taksówkowa

          c) 0x01 graphic
 - przestrzeń metryczna, gdzie 0x01 graphic
 - odległość maksimum

          Każda z powyższych przestrzeni metrycznych jest przestrzenią zupełną.

 

 

 

 

DEFINICJA 9.3     (ZBIÓR ZWARTY (CIĄGOWO ZWARTY))

 

0x01 graphic
 - przestrzeń metryczna

0x01 graphic

To znaczy że z każdego ciągu elementów tego zbioru można

wybrać podciąg zbieżny do granicy należącej do tego zbioru.

 

 

 

 

TWIERDZENIE 9.2   

 

            Zbiór 0x01 graphic
 jest zwarty 0x01 graphic
 jest zbiorem domkniętym i ograniczonym

 

 

 

 

ODWZOROWANIA CIĄGŁE

 

 

 

DEFINICJA 9.4     (OBRAZ I PRZECIWOBRAZ ZBIORU)

 

0x01 graphic
- przestrzenie metryczne

 

0x01 graphic
 - odwzorowanie

Niech 0x01 graphic

0x01 graphic
 - obraz zbioru A poprzez odwzorowanie f
 

0x01 graphic
 - przeciwobraz zbioru B

 

 

0x01 graphic

 


PRZYKŁAD 9.2   

 

0x01 graphic
; 0x01 graphic

 

0x01 graphic
; 0x01 graphic

0x01 graphic
; 0x01 graphic

 

 

 

 

DEFINICJA 9.5     (GRANICA FUNKCJI)

 

0x01 graphic
 - przestrzenie metryczne

0x01 graphic
 - odwzorowanie

 

1o. Def. Cauchy'ego (topologiczna)

      0x01 graphic

2o. Def. Cauchy'ego (w przestrzeni metrycznej)

      0x01 graphic

3o. Def. Heinego

      0x01 graphic

                                                                        0x01 graphic

                              0x01 graphic

 

 

 

 

DEFINICJA 9.6     (FUNKCJA CIĄGŁA)

 

0x01 graphic
 - przestrzenie metryczne

0x01 graphic
 - odwzorowanie

 0x01 graphic
 - funkcja ciągła w 0x01 graphic

 

 

 

 

1.   0x01 graphic
 - ciągła w zbiorze 0x01 graphic
funkcja f jest ciągła w każdym 0x01 graphic

2.   0x01 graphic
 - ciągła w zbiorze 0x01 graphic

słownie:

0x01 graphic
 - ciągła w 0x01 graphic
przeciwobraz zbioru otwartego (dowolnego) jest zbiorem otwartym

 

 

 

 

TWIERDZENIE 9.3       (O ZŁOŻENIU ODWZOROWAŃ CIĄGŁYCH)

 

Z:        0x01 graphic
- przestrzenie metryczne

            0x01 graphic
odwzorowanie ciągłe

 

 

 

T:        0x01 graphic
- ciągłe

 

D:       Niech 0x01 graphic
           
            0x01 graphic

 

            0x01 graphic

            0x01 graphic

            0x01 graphic

 

            Pokazaliśmy że 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
, bo 0x01 graphic
- funkcja ciągła

            oraz 0x01 graphic
bo 0x01 graphic
 - funkcja ciągła

            czyli 0x01 graphic
 - funkcja ciągła

 

 

 

 

DEFINICJA 9.7     (ODWZOROWANIE OGRANICZONE)

 

0x01 graphic
 - przestrzenie metryczne

0x01 graphic
 - odwzorowanie
0x01 graphic
 - odwzorowanie ograniczone 0x01 graphic
 - ograniczone

 

 

 

 

WŁASNOŚCI ODWZOROWAŃ CIĄGŁYCH NA ZBIORACH ZWARTYCH

 

 

TWIERDZENIE 9.4   

 

Obraz zbioru zwartego poprzez odwzorowanie ciągłe jest zbiorem zwartym

 

Z:        0x01 graphic
- funkcja ciągła; X - zbiór zwarty

 

T:        0x01 graphic
 - zbiór zwarty

 

D:       Niech 0x01 graphic

            0x01 graphic

            0x01 graphic
    

            0x01 graphic
, ponieważ f - funkcja ciągła

            0x01 graphic
 oraz 0x01 graphic

Z ciągu 0x01 graphic
 da się wybrać podciąg 0x01 graphic
 o granicy należącej do tego zbioru.

Czyli zbiór 0x01 graphic
 jest zwarty

 

 

 

WNIOSEK 9.1       (TW. WEIERSTRASSA)

 

Z:         0x01 graphic
 - przestrzeń metryczna

            0x01 graphic
 - odwzorowanie ciągłe, X - zwarty

 

T:        1o. 0x01 graphic

            2o. 0x01 graphic

          
            słownie:

            funkcja ciągła na zbiorze zwartym (o wartościach rzeczywistych) osiąga swoje kresy.

 

 

 

PRZESTRZENIE SPÓJNE

 

 

DEFINICJA 9.8     (PRZESTRZEŃ NIESPÓJNA)

 

                 0x01 graphic
 - przestrzeń metryczna

 0x01 graphic
 - niespójna 0x01 graphic

 

 

 

 

 

DEFINICJA 9.9     (PRZESTRZEŃ SPÓJNA)

 

0x01 graphic
 - przestrzeń metryczna

0x01 graphic
 - spójna 0x01 graphic
 nie jest niespójna

 

 

 

WŁASNOŚCI ODWZOROWAŃ CIĄGŁYCH NA ZBIORACH SPÓJNYCH

 

 

 

TWIERDZENIE 9.5   

 

Z:        0x01 graphic
 - przestrzeń metryczna spójna

            0x01 graphic
 - odwzorowanie ciągłe

            0x01 graphic

 

T:        0x01 graphic

 

D:       nie wprost

 

     Z: 0x01 graphic
0x01 graphic

           
             Niech:
           
0x01 graphic

 

            1o.       0x01 graphic
, bo f - ciągła i 0x01 graphic
 - zbiór otwarty

                        0x01 graphic
, bo f - ciągła i 0x01 graphic
 - zbiór otwarty

            2o.       0x01 graphic

            3o.       0x01 graphic

            4o.       0x01 graphic

 

            Z punktów 1o do 4o wynika że X - niespójne,

            co jest sprzeczne z założeniem, czyli twierdzenie jest prawdziwe.

 

 

 

 

WNIOSEK 9.2      (WŁASNOŚĆ DARBOUX)

 

                 Z:   0x01 graphic
 - odcinek, 0x01 graphic
 - ciągłe, 0x01 graphic

 

                 T:   0x01 graphic

 

 

 

 

WNIOSEK 9.3

 

                 Z:   0x01 graphic
 - odcinek, 0x01 graphic
 - ciągłe, 0x01 graphic

 

                 T:   0x01 graphic

 

 

 

 

TWIERDZENIE 9.6   

 

     Z:        0x01 graphic
 - przestrzeń metryczna, 0x01 graphic
 - spójna

                0x01 graphic
 - ciągłe

     T:       0x01 graphic
 - spójne

                (obraz zbioru spójnego poprzez odwzorowanie ciągłe jest zbiorem spójnym)

 

     D:       nie wprost

                 Niech 0x01 graphic

                 Przypuśćmy że 0x01 graphic
 - niespójny

                 Niech 0x01 graphic

                 0x01 graphic

                 0x01 graphic

                 0x01 graphic
, zatem X - niespójne.

                        Sprzeczność z założeniem

 

 

 

ZBIEŻNOŚĆ PUNKTOWA I JEDNOSTAJNA

 

 

                 0x01 graphic
 - zbiór, 0x01 graphic
 - przestrzeń metryczna

                 0x01 graphic
 - ciąg odwzorowań

 

 

DEFINICJA 9.10     (ZBIEŻNOŚĆ PUNKTOWA)

 

                 0x01 graphic
 (czyt.: powiemy że 0x01 graphic
 jest zbieżny punktowo do 0x01 graphic
 na zbiorze 0x01 graphic
)

                 0x01 graphic

                                                           0x01 graphic

                                   0x01 graphic

 

 

DEFINICJA 9.11     (ZBIEŻNOŚĆ JEDNOSTAJNA)

 

     0x01 graphic

 

                 (czyt.: 0x01 graphic
 jest zbieżny jednostajnie do 0x01 graphic
 na 0x01 graphic
)

 

 

PRZYKŁAD 9.3

 

                 0x01 graphic

 

0x01 graphic


                 0x01 graphic
 - funkcja graniczna
 

                 0x01 graphic
 jest zbieżny punktowo, ale nie jednostajnie.

 

 

 



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
8 - Przestrzeń metryczna, Analiza matematyczna
lista analiza 2008 4 przestrzenie metryczne
3 - Metody całkowania cd. Miara i całka, Analiza matematyczna
Algebra i Analiza Matematyczna, Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni, ROZDZIAŁ VI
WYKLAD ANALIZA MATEMATYCZNA
Analiza matematyczna, lista analiza 2008 6 szeregi
Analiza Matematyczna 1 Gewert Skoczylas zadania
Analiza Matematyczna Twierdzenia
Analiza matematyczna 1
Praca domowa 2a Analiza Matematyczna
Zadania z Analizy Matematycznej, Matematyka
zestaw9, Matematyka stosowana, Analiza, Analiza matematyczna dla leniwych
Analiza matematycza opracowanie pytań
Kolos 3 Analiza matematyczna
1 Przestrzenie metryczneid 8656
analiza matematyczna 7
Analiza matematyczna 2 Przyklady i zadania
cw 13 Analiza Matematyczna (calki) id

więcej podobnych podstron