TEMAT:
Przestrzenie metryczne cd,
odwzorowanie ciągłe i ich własności
- przestrzeń z miarą
DEFINICJA 9.1 (CIĄG CAUCHY'EGO)
- ciąg Cauchy'ego
co można również zapisać, że
TWIERDZENIE 9.1
W przestrzeni metrycznej każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego
Z:
T:
D: dla
prawdziwe jest:
Wiemy że:
oraz
A więc na podstawie twierdzenia o trzech ciągach stwierdzamy że dla
, co kończy nasz dowód.
Uwaga:
Nie w każdej przestrzeni metrycznej jest prawdziwe twierdzenie odwrotne
(tzn. nie każdy ciąg Cauchy'ego jest ciągiem zbieżnym)
DEFINICJA 9.2 (PRZESTRZEŃ ZUPEŁNA)
Przestrzeń metryczna
jest zupełna
każdy ciąg Cauchy'ego
elementów tej przestrzeni jest zbieżny do granicy należącej do tej przestrzeni
- przestrzeń zupełna
PRZYKŁAD 9.1
I.
- przestrzeń metryczna, gdzie
przestrzeń ta jest przestrzenią zupełną
II. a)
- przestrzeń metryczna, gdzie
- odległość euklidesowa
b)
- przestrzeń metryczna, gdzie
- odległość taksówkowa
c)
- przestrzeń metryczna, gdzie
- odległość maksimum
Każda z powyższych przestrzeni metrycznych jest przestrzenią zupełną
III. a)
- przestrzeń metryczna, gdzie
- odległość euklidesowa
b)
- przestrzeń metryczna, gdzie
- odległość taksówkowa
c)
- przestrzeń metryczna, gdzie
- odległość maksimum
Każda z powyższych przestrzeni metrycznych jest przestrzenią zupełną.
DEFINICJA 9.3 (ZBIÓR ZWARTY (CIĄGOWO ZWARTY))
- przestrzeń metryczna
To znaczy że z każdego ciągu elementów tego zbioru można
wybrać podciąg zbieżny do granicy należącej do tego zbioru.
TWIERDZENIE 9.2
Zbiór
jest zwarty
jest zbiorem domkniętym i ograniczonym
ODWZOROWANIA CIĄGŁE
DEFINICJA 9.4 (OBRAZ I PRZECIWOBRAZ ZBIORU)
- przestrzenie metryczne
- odwzorowanie
Niech
- obraz zbioru A poprzez odwzorowanie f
- przeciwobraz zbioru B
|
|
|
|
PRZYKŁAD 9.2
;
;
;
DEFINICJA 9.5 (GRANICA FUNKCJI)
- przestrzenie metryczne
- odwzorowanie
1o. Def. Cauchy'ego (topologiczna)
2o. Def. Cauchy'ego (w przestrzeni metrycznej)
3o. Def. Heinego
DEFINICJA 9.6 (FUNKCJA CIĄGŁA)
- przestrzenie metryczne
- odwzorowanie
- funkcja ciągła w
1.
- ciągła w zbiorze
funkcja f jest ciągła w każdym
2.
- ciągła w zbiorze
słownie:
- ciągła w
przeciwobraz zbioru otwartego (dowolnego) jest zbiorem otwartym
TWIERDZENIE 9.3 (O ZŁOŻENIU ODWZOROWAŃ CIĄGŁYCH)
Z:
- przestrzenie metryczne
odwzorowanie ciągłe
T:
- ciągłe
D: Niech
Pokazaliśmy że
, gdzie
, bo
- funkcja ciągła
oraz
bo
- funkcja ciągła
czyli
- funkcja ciągła
DEFINICJA 9.7 (ODWZOROWANIE OGRANICZONE)
- przestrzenie metryczne
- odwzorowanie
- odwzorowanie ograniczone
- ograniczone
WŁASNOŚCI ODWZOROWAŃ CIĄGŁYCH NA ZBIORACH ZWARTYCH
TWIERDZENIE 9.4
Obraz zbioru zwartego poprzez odwzorowanie ciągłe jest zbiorem zwartym
Z:
- funkcja ciągła; X - zbiór zwarty
T:
- zbiór zwarty
D: Niech
, ponieważ f - funkcja ciągła
oraz
Z ciągu
da się wybrać podciąg
o granicy należącej do tego zbioru.
Czyli zbiór
jest zwarty
WNIOSEK 9.1 (TW. WEIERSTRASSA)
Z:
- przestrzeń metryczna
- odwzorowanie ciągłe, X - zwarty
T: 1o.
2o.
słownie:
funkcja ciągła na zbiorze zwartym (o wartościach rzeczywistych) osiąga swoje kresy.
PRZESTRZENIE SPÓJNE
DEFINICJA 9.8 (PRZESTRZEŃ NIESPÓJNA)
- przestrzeń metryczna
- niespójna
DEFINICJA 9.9 (PRZESTRZEŃ SPÓJNA)
- przestrzeń metryczna
- spójna
nie jest niespójna
WŁASNOŚCI ODWZOROWAŃ CIĄGŁYCH NA ZBIORACH SPÓJNYCH
TWIERDZENIE 9.5
Z:
- przestrzeń metryczna spójna
- odwzorowanie ciągłe
T:
D: nie wprost
Z:
Niech:
1o.
, bo f - ciągła i
- zbiór otwarty
, bo f - ciągła i
- zbiór otwarty
2o.
3o.
4o.
Z punktów 1o do 4o wynika że X - niespójne,
co jest sprzeczne z założeniem, czyli twierdzenie jest prawdziwe.
WNIOSEK 9.2 (WŁASNOŚĆ DARBOUX)
Z:
- odcinek,
- ciągłe,
T:
WNIOSEK 9.3
Z:
- odcinek,
- ciągłe,
T:
TWIERDZENIE 9.6
Z:
- przestrzeń metryczna,
- spójna
- ciągłe
T:
- spójne
(obraz zbioru spójnego poprzez odwzorowanie ciągłe jest zbiorem spójnym)
D: nie wprost
Niech
Przypuśćmy że
- niespójny
Niech
, zatem X - niespójne.
Sprzeczność z założeniem
ZBIEŻNOŚĆ PUNKTOWA I JEDNOSTAJNA
- zbiór,
- przestrzeń metryczna
- ciąg odwzorowań
DEFINICJA 9.10 (ZBIEŻNOŚĆ PUNKTOWA)
(czyt.: powiemy że
jest zbieżny punktowo do
na zbiorze
)
DEFINICJA 9.11 (ZBIEŻNOŚĆ JEDNOSTAJNA)
(czyt.:
jest zbieżny jednostajnie do
na
)
PRZYKŁAD 9.3
|
|
|
|
- funkcja graniczna
jest zbieżny punktowo, ale nie jednostajnie.