Wykład 1

1. Podstawowe pojęcia w przestrzeni metrycznej (X, d):

Definicja 1. Kula otwarta o środku w x

0

i promieniu r to zbiór:

K(x

0

, r) = K

r

(x

0

) = {x ∈ X : d(x, x

0

) < r} .

Kula domknięta to zbiór:

¯

K(x

0

, r) = ¯

K

r

(x

0

) = {x ∈ X : d(x, x

0

) ¬ r} .

Wiele dalszych pojęć będzie bazować na pojęciu kuli.
Przykłady:

1. Metryki w N ∪ {0}: odziedziczona z R, tzn. d(m, n) = |m − n|, vs. zadająca topologię

ciągu

1

n

, tzn. ρ(m, n) = |

1

m

−

1

n

| dla m, n 6= 0, ρ(0, m) =

1

m

.

2. Metryki w R

n

pochodzące od norm: taksówkowa d

1

, euklidesowa d

2

i maksimum d

∞

.

Jak wyglądają kule w tych metrykach w R

2

?

3. Standardowa metryka w C([0, 1]): d

∞

(f, g) = kf − gk

∞

= sup

x∈[0,1]

|f (x) − g(x)|. Jak

wygląda kula?

4. Inna metryka w C([0, 1]): d

1

(f, g) =

R

|f − g|d λ. Kule są znacząco inne niż w po-

przedniej metryce!

Dalej rozważamy abstrakcyjną przestrzeń metryczną (X, d). Najpierw zestaw definicji

uogólniających znane pojęcia dotyczące zbiorów.

Definicja 2. Średnicą zbioru A ⊂ X nazywamy liczbę

diam(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}

Średnicę często oznacza się też przez δ(A).

Definicja 3. Odstępem punktu x od zbioru A nazywamy liczbę

d(x, A) = inf{d(x, y) : y ∈ A}

(własności na ćwiczeniach)

Definicja 4. Zbiór A nazywamy ograniczonym, gdy istnieje kula K

r

(x

0

) taka, że A ⊂

K

r

(x

0

).

Równoważnie można zażądać, by średnica była skończona, ale powyższą definicję lepiej

będzie później uogólniać.

Powyższe definicje można używać także w kontekście przestrzeni, np. przestrzeń (N ∪

{0}, ρ) z przykładu pierwszego jest ograniczona, a jej średnicą jest 1.

Definicja 5. Niech (X, d

X

) i (Y, d

Y

) będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcja f : X → Y

jest ograniczona, gdy zbiór d

Y

(f (X)) jest ograniczony (równoważnie diam(f (X)) < ∞).

1

Definicja 6. -otoczenie zbioru A (kula uogólniona) to zbiór

K



(A) = {x : d(x, A) < }.

2. Zbieżność w przestrzeniach metrycznych

Definicja 7. Ciąg (x

n

) elementów przestrzeni (X, d) jest zbieżny, gdy lim

n→∞

d(x

n

, x) = 0.

Punkt x nazywamy wtedy granicą ciągu (x

n

). Oznaczamy lim

n

x

n

= x lub x

n

→ x.

Równoważnie, x

n

→ x, gdy dla każdego  > 0 istnieje n

0

takie, że dla wszystkich n > n

0

zachodzi x

n

∈ K(x, ). Tę definicję będzie się w przyszłości wygodnie uogólniać.

Twierdzenie 1. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Dowód. Wystarczy wziąć kulę K(x, 1), gdzie x jest granicą rozważanego ciągu (x

n

), znaleźć

n

0

, począwszy od którego wszystkie wyrazy ciągu zawierają się w K(x, 1), a nastepnie

zauważyć, że cały ciąg zawiera się w kuli K(x, r), gdzie r = max{1, d(x, x

1

), ..., d(x, x

n

0

)}.

Twierdzenie 2. Każdy ciąg zbieżny (w przestrzeni metrycznej) ma dokładnie jedną gra-
nicę.

Dowód. Gdyby były dwie granice x i y, to dla r =

1
2

d(x, y) kule K(x, r), K(y, r) nie

mogłyby być rozłączne, gdyż każda zawiera prawie wszystkie elementy ciągu. Inaczej, jeśli
x

n

→ x i x

n

→ y, to

0 ¬ d(x, y) ¬ d(x, x

n

)

|

{z

}

n→∞

−→ 0

+ d(x

n

, y)

|

{z

}

n→∞

−→ 0

.

Twierdzenie 3. Każdy ciąg stały jest zbieżny.

Twierdzenie 4. Każdy podciąg ciągu zbieżnego do x jest zbieżny do tej samej granicy x.

Dowody oczywiste.

Twierdzenie 5. Jeżeli każdy podciąg ciągu (x

n

) zawiera podciąg zbieżny do x, to x

n

→ x.

Dowód. Przypuśćmy niewprost, że (x

n

) nie jest zbieżny do x mimo, iż spełnia założenie.

Wtedy istnieje r takie, że nieskończenie wiele wyrazów ciągu (x

n

) nie należy do K(x, r).

Te wyrazy tworzą podciąg, który nie zawiera podciągu zbieżnego do x.

Przykłady

1. W metryce dyskretnej zbieżne są tylko ciągi stałe.

2. W metryce ρ na N ∪ {0} z poprzedniego wykładu każdy podciąg ciągu N jest zbieżny

do zera.

3. Co można powiedzieć o ciagach funkcji f

n

(x) =

1

n

x, g

n

(x) = nx, h

n

(x) = x

n

w

przestrzeni C([0, 1])?

2

Definicja 8. Ciąg (x

n

) spełnia warunek Cauchy’ego (jest Cauchy’ego, jest podstawowy ),

gdy dla każdego  > 0 istnieje n

0

∈ N takie, że dla dowolnych m, n > n

0

zachodzi

d(x

m

, x

n

) < .

Twierdzenie 6. Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego.

Dowód. Ustalmy  > 0. korzystając z definicji zbieżności znajdźmy n

0

dla

1
2

 (zamiast ).

Dla m, n > n

0

mamy

d(x

m

, x

n

) ¬ d(x

m

, x) + d(x, x

n

) <



2

+



2

= .

Odwrotne twierdzenie nie zachodzi, choć jesteśmy przyzwyczajeni do równoważności

warunku Cauchy’ego i zbieżności w R (nawet w R

n

). Przykład: x

n

= −

1

n

w metryce „mur”.

3