Kierunek Informatyka i Ekonometria

ANALIZA MATENATYCZNA

Przestrzenie metryczne

1. Pojęcia podstawowe

Dany jest niepusty zbiór X.

Definicja 1. Dowolną funkcję % : X

× X −→ [0, ∞) , która dla x, y, z ∈ X spełnia warunki:

1. %(x, y) = 0 wtedy gdy x = y
2.

%

(x, y) = %(y, x) (własność symetrii)

3.

%

(x, y)

¬ %(x, z) + %(z, y) (nierówność trójkąta)

nazywamy metryką lub odległością w zbiorze X, a parę (X, %) nazywamy przestrzenią
metryczną.

Uwaga 1. Jeśli (X, %) jest przestrzenią metryczną to dla dowolnego niepustego zbioru E

⊂ X

para (E, %) jest przestrzenią metryczną.

Niech u

∈ X i niech r > 0. Wówczas zbiór

K

(u, r) =

{x ∈ X : %(x, u) < r} nazywamy kulą otwartą o środku w punkcie u i promieniu r.

Niech E

⊂ X będzie zbiorem niepustym. Wówczas:

Mówimy, że E jest zbiorem otwartym gdy dla dowolnego u

∈ E istnieje r > 0 takie że K(u, r) ⊂

E

.

Mówimy, że E jest zbiorem domkniętym gdy zbiór E

0

= X

\ E jest zbiorem otwartym.

Mówimy, że punkt x

∈ E jest punktem wewnętrznym zbioru E gdy istnieje r > 0 takie, że

K

(x, r)

⊂ E. Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru E nazywamy wnętrzem zbioru

E

i oznaczamy int E.

Mówimy, że punkt x

∈ X jest punktem brzegowym zbioru E gdy dla dowolnego r > 0 zbiór

K

(x, r) ma punkty wspólne z E i z jego uzupełnieniem E

0

= X

\ E.

Zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru E nazywamy brzegiem zbioru E i oznaczamy
∂E

. Jest to zbiór domknięty.

Zbiór E= E

S

∂E

nazywamy domknięciem zbioru E.

Zbiór E jest domknięty wtedy, gdy zawiera swój brzeg.
Mówimy, że punkt x

∈ X jest punktem skupienia zbioru E gdy dla dowolnego r > 0 zbiór

K

(x, r) zawiera punkty zbioru E różne od x. Zbiór punktów skupienia zbioru E oznaczamy E

d

i nazywamy także pochodną zbioru E. Jest to zbiór domknięty. Ponadto E= E

S

E

d

.

Mówimy, że punkt x

∈ E jest punktem izolowanym zbioru E gdy istnieje r > 0 takie, że

K

(x, r)

∩ E = {x}.

2. Ciągi punktów w przestrzeni metrycznej

(X, %)

Niech

{x

k

} , k = 1, 2, 3, ... będzie ciągiem punktów z przestrzeni X, niech x ∈ X będzie

ustalone.

Definicja 2. Jeśli lim

k

→∞

%

(x

k

, x

) = 0 to mówimy, że ciąg punktów

{x

k

} jest zbieżny do punktu

x

i piszemy

lim

k

→∞

x

k

= x.

Uwaga 2. lim

k

→∞

x

k

= x wtedy gdy dla dowolnego ε > 0 istnieje m

∈

takie, że dla k > m

mamy x

k

∈ K(x, ε) a więc kula K(x, ε) zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu {x

k

}.

1

Uwaga 3. Każdy podciąg ciągu zbieżnego do punktu x jest zbieżny do x.

Twierdzenie 1. Zbiór E

⊂ X jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ciągu

punktów

{x

k

} ⊂ E zbieżnego do punktu x mamy x ∈ E, to znaczy granica każdego zbieżnego

ciągu punktów z E należy do E.

Twierdzenie 2. Punkt x

∈ X jest punktem brzegowym zbioru E wtedy gdy istnieją dwa ciągi

punktów

{x

k

} ⊂ E i {y

k

} ⊂ E

0

= X

\ E zbieżne do punktu x.

Twierdzenie 3. Punkt x

∈ X jest punktem skupienia zbioru E wtedy gdy istnieje ciąg {x

k

} ⊂

E

\ {x} zbieżny do punktu x.

Liczbę δ(E) = sup

{%(x, y) : x ∈ E i y ∈ E} nazywamy średnicą zbioru E.

Mówimy, że zbiór E jest ograniczony gdy jego średnica δ(E) jest skończona, (to znaczy, że
zbiór E jest zawarty w pewnej kuli).

Dla x

∈ X liczbę %(x, E) = inf{%(x, y) : y ∈ E} nazywamy odległością punktu x od

zbioru E.

Jeśli B jest niepustym podzbiorem X to liczbę %(E, B) = inf

{%(x, y) : x ∈ E i y ∈ B}

nazywamy odległością zbiorów E i B.

3. Zupełność, zwartość i spójność

Dana jest przestrzeń metryczna (X, %) i niepusty zbiór A

⊂ X.

Definicja 3. Mówimy, że ciąg punktów

{x

k

} ⊂ X spełnia warunek Cauchyego gdy dla dowolnego

ε >

0 istnieje l

∈

takie, że dla m, n > l mamy %(x

m

, x

n

) < ε.

Twierdzenie 4. Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej spełnia warunek Cauchyego.

Definicja 4. Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest zupełna gdy każdy ciąg punktów tej
przestrzeni spełniający warunek Cauchyego jest zbieżny do pewnego punktu x

∈ X.

Definicja 5. Mówimy, że zbiór A jest zwarty gdy każdy ciąg punktów

{x

k

} ⊂ A zawiera podciąg

{x

k

n

} zbieżny do pewnego punktu x ∈ A.

Twierdzenie 5. Jeśli zbiór A jest zwarty to jest ograniczony i domknięty.

Twierdzenie 6. Każdy odcinek domknięty [a, b]

⊂

jest zwarty.

Twierdzenie 7. Zbiór liczb rzeczywistych

jest przestrzenią zupełną.

Definicja 6. Mówimy, że zbiór A jest spójny gdy nie istnieją zbiory otwarte i rozłączne U i
V

takie, że A

T

U

6= ∅, A

T

V

6= ∅ i A ⊂ U

S

V

. W przeciwnym przypadku zbiór A nazywamy

niespójnym.

Twierdzenie 8. Zbiór A

⊂

jest spójny wtedy gdy jest przedziałem..

4. Przekształcenia ciągłe przestrzeni metrycznych

Dana są przestrzenie metryczne (X, %

1

) i (Y, %

2

) i funkcja f : X

−→ Y nazywana także

przekształceniem lub odwzorowaniem X w Y .

Definicja 7. Mówimy, że przekształcenie f jest ciągłe w punkcie x

∈ X gdy dla dowolnego ciągu

punktów x

k

przestrzeni X jeśli lim

k

→∞

x

k

= x to lim

k

→∞

f

(x

k

) = f (x). Jeśli f jest ciągłe w każdym

punkcie x

∈ X to mówimy, że f jest przekształceniem ciągłym przestrzeni X w Y .

2

Zbiór przekształceń ciągłych przestrzeni X w Y oznaczamy C(X, Y ), a zbiór przekształceń
ciągłych przestrzeni X w zbiór liczb rzeczywistych

oznaczamy C(X).

Twierdzenie 9. Przekształcenie f jest ciągłe w punkcie x

0

∈ X wtedy gdy dla dowolnego ε > 0

istnieje δ > 0 (zależna od x

0

) taka, że dla każdego x

∈ K(x

0

, δ

) mamy f (x)

∈ K(f(x

0

), ε), to

znaczy f (K(x

0

, δ

))

⊂ K(f(x

0

), ε).

Twierdzenie 10. Jeśli f : X

−→ Y jest ciągłe i A jest zwartym podzbiorem X to jego obraz

f

(A) jest zwartym podzbiorem Y .

Twierdzenie 11. Jeśli f : X

−→ Y jest ciągłe i A jest spójnym podzbiorem X to jego obraz

f

(A) jest spójnym podzbiorem Y .

Uwaga 4. Ciągły obraz zbioru zwartego (spójnego) jest zbiorem zwartym (spójnym).

5. Funkcje o wartościach rzeczywistych

Dana jest przestrzeń metryczna (X, %) i niech E będzie niepustym podzbiorem X. Załóżmy,

że dana jest funkcja

f

: E

−→ . Wprowadzamy oznaczenia:

zbiór wartości funkcji f na zbiorze E: f (E) = W

f

(E) =

{f(x) : x ∈ E}.

kres dolny i kres górny wartości funkcji f na E:

m

f

(E) = inf W

f

(E) = inf

{f(x) : x ∈ E}

M

f

(E) = sup W

f

(E) = sup

{f(x) : x ∈ E}.

poziomica funkcji f to zbiór

P

s

(f ) =

{x ∈ E : f(x) = s} = f

−1

(

{s}) dla s ∈ .

P

s

(f )

6= ∅ ⇐⇒ s ∈ W

f

(E).

Definicja 8. Funkcja f przyjmuje w punkcie x

0

∈ E wartość największą (najmniejszą)

w zbiorze E gdy dla dowolnego

x

∈ E mamy f(x) ¬ f(x

0

) (f (x)

­ f(x

0

)).

Uwaga 5. Jeśli funkcja f

przyjmuje w punkcie x

0

∈ E wartość największą (najmniejszą) w

zbiorze E to M

f

(E) = f (x

0

)

(m

f

(E) = f (x

0

)).

Definicja 9. Mówimy, że funkcja f ma maksimum (minimum) w punkcie P

∈ E gdy istnieje

r >

0 takie, że dla każdego

x

∈ K(P, r)

T

E

mamy f (P )

­ f(x) (f(P ) ¬ f(x)). Jeśli

funkcja f ma maksimum lub minimum w punkcie P to mówimy, że f ma ekstremum w P .

Definicja 10. Mówimy, że funkcja f ma maksimum (minimum) właściwe w punkcie P

∈ E

gdy istnieje r > 0 takie, że dla każdego

x

∈ K(P, r)

T

E

i x

6= P mamy f(P ) > f(x)

(f (P ) < f (x)). Jeśli funkcja f ma maksimum lub minimum właściwe w punkcie P to mówimy,
że f ma ekstremum właściwe w P .

Twierdzenie 12. Jeśli E jest zbiorem zwartym i f

∈ C(E) to M

f

(E) i m

f

(E) są skończone

i są jednocześnie odpowiednio wartością największą i najmniejszą funkcji f na zbiorze E.

Twierdzenie 13. Jeśli E jest zbiorem zwartym i spójnym oraz f

∈ C(E) to

W

f

(E) = [m

f

(E), M

f

(E)].

Wniosek 1. Niech a, b

∈ . Jeśli f : [a, b] −→

jest ciągłe to f ([a, b]) jest domkniętym

odcinkiem w , którego końcami są najmniejsza i największa wartość funkcji f na [a, b] odpowiednio.

Twierdzenie 14. Jeśli P jest przedziałem w

i f : P

−→

jest ciągłe to f (P ) jest

odcinkiem w

, którego końcami są odpowiednio kres dolny i kres górny zbioru wartości funkcji

f

na P .

3

6. Przekształcenia jednostajnie ciągłe

Dana są przestrzenie metryczne (X, %

1

) i (Y, %

2

) i funkcja f : X

−→ Y .

Definicja 11. Mówimy, że przekształcenie f jest jednostajnie ciągłe gdy dla dowolnych ciągów
punktów u

k

i v

k

przestrzeni X jeśli lim

k

→∞

%

1

(u

k

, v

k

) = 0 to lim

k

→∞

%

2

(f (u

k

), f (v

k

)) = 0.

Twierdzenie 15. Przekształcenie f jest jednostajnie ciągłe wtedy gdy dla dowolnego ε > 0
istnieje δ > 0 (zależna tylko od ε) taka, że dla dowolnego x

∈ X mamy f(K(x, δ)) ⊂ K(f(x), ε).

Wniosek 2. Jeśli przekształcenie f jest jednostajnie ciągłe to jest ciągłe.

Twierdzenie 16. Jeśli X jest zwarta i przekształcenie f jest ciągłe to f jest jednostajnie ciągłe.

7. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów funkcyjnych

Dana jest przestrzeń metryczna (X, %) i niech E będzie niepustym podzbiorem X.
Niech

(E)

oznacza zbór funkcji określonych na E o wartościach rzeczywistych. Dla

f, g

∈

(E) określamy

M

(f, g) = M

|f −g|

(E) = sup

{|f(x) − g(x)| : x ∈ E}

Załóżmy, że dany jest ciąg funkcji f

n

∈

(E) i funkcja f

∈

(E).

Definicja 12. Mówimy, że ciąg f

n

jest zbieżny punktowo do funkcji f na zbiorze E jeśli dla

dowolnego x

∈ E mamy

lim

n

→∞

f

n

(x) = f (x) i piszemy f

n

→ f.

Definicja 13. Mówimy, że ciąg f

n

jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze E jeśli

lim

n

→∞

M

(f

n

, f

) = 0 i piszemy f

n



f

na E.

Twierdzenie 17. Ciąg f

n

jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze E wtedy i tylko

wtedy gdy istnieje ciąg liczbowy a

n

zbieżny do 0 i taki, że dla dowolnego x

∈ E i n ∈



mamy

|f

n

(x)

− f(x)| ¬ a

n

Twierdzenie 18. Jeśli ciąg f

n

jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze E to ciąg f

n

jest zbieżny punktowo do funkcji f na zbiorze E.

Twierdzenie 19. Jeśli ciąg funkcji ciągłych f

n

jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze

E

to funkcja f jest ciągła na zbiorze E.

Zadania domowe

1. Dana jest funkcja f (x) =

x

1 + 4x

dla x

∈

+

= [0,

∞). Określamy

%

(x, y) =

| f(x) − f(y)| dla x, y ∈

+

. Wykazać, że % jest metryką w

+

i wyznaczyć

kulę o środku y = 1 i promieniu r = 0, 1 w tej metryce.

2. Dane są funkcje f

1

(x) = sin x i f

2

(x) = cos x określone dla x

∈ [0, π]. Określamy

%

j

(x, y) =

| f

j

(x)

− f

j

(y)

| dla x, y ∈ [0, π] oraz j = 1.2. Czy %

j

jest metryką w [0, π] .

Wyznaczyć ewntualnie kulę o środku y =

π

2

i promieniu r = 0, 5 w tej metryce.

3. Dla x, y

∈

określamy %(x, y) =




e

−x

− e

−y




. Wykazać, że % jest metryką w

i

wyznaczyć kulę o środku x = 0 i promieniu r = 1 w tej metryce.

4

4. Dany jest zbiór A =

∞

[

n=1



1

2

n+1

;

1

2

n



. Wyznaczyć brzeg, domknięcie i wnętrze

zbioru A. Czy zbiór A jest zwarty i spójny.

5. Dany jest zbiór A =

∞

[

n=1



n

; n +

2

n



. Wyznaczyć brzeg, domknięcie i wnętrze

zbioru A. Czy zbiór A jest zwarty i spójny.

6. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji

a). f (x) =

x

1 + 5x

dla x

∈ [0, ∞)

b). f (x) =

√

x

+ 1 dla x

∈ [0, ∞)

c). f (x) = e

x

dla x

∈ (−∞, 0) , dla x ∈

d). f (x) =

sin x

x

dla x

∈ (0, π) .

7. Zbadać zbieżność punktową i jednostajną danego ciągu funkcyjnego w danym zbiorze

a). f

n

(x) =

nx

2

x

2

+ n

w [0, 2] i w [0,

∞)

b). f

n

(x) = sin

x
n

w [0,

∞)

c). f

n

(x) =

r

x

2

+

1

n

w [0, 3]

d). f

n

(x) = x

2

n

e

−nx

w [0,

∞) .

8. Dana jest funkcja f określona na . Określamy ciąg funkcji

f

n

(x) =

Ent(nf (x))

n

dla

x

∈ . Wykazać, że ciąg f

n

jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na .

ODP. : 1. K(1; 0, 1) =



1
6

;

∞



2. %

1

nie jest metryką, %

2

jest i K



π

2

; 0, 5



=



π

3

;

2π

3



3. K(0; 1) = (

− ln 2; ∞)

4. ∂A =



0;

1
2



, A =



0;

1
2



, int A =



0;

1
2



, A jest zbiorem spójnym i nie jest zwarty.

5. ∂A =

{1; 3}

[

∞

[

n=3



n

+

2

n

; n + 1



, A =



1; 3

2
3



[

∞

[

n=4



n

; n +

2

n



, int A = A ,

A

nie jest zbiorem spójnym i nie jest zwarty.

6. W a). , b). i d). funkcje są jednostajnie ciągłe; c). funkcja jest jednostajnie ciągła

w (

−∞, 0) i nie jest jednostajnie ciągła w

.

7. a). ciąg jest zbieżny jednostajnie do f (x) = x

2

w [0, 2] i jest zbieżny punktowo w [0,

∞)

b). ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji f (x) = 0 i nie jest zbieżny jednostajnie
c). ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji f (x) = x
d). ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji f (x) = 0 .

Opracował prowadzący przedmiot

dr Wojciech Hyb

Katedra Zastosowań Matematyki

5