Kierunek Informatyka i Ekonometria
ANALIZA MATENATYCZNA
Przestrzenie metryczne
1. Pojęcia podstawowe
Dany jest niepusty zbiór X.
Definicja 1. Dowolną funkcję % : X
× X −→ [0, ∞) , która dla x, y, z ∈ X spełnia warunki:
1. %(x, y) = 0 wtedy gdy x = y
2.
%
(x, y) = %(y, x) (własność symetrii)
3.
%
(x, y)
¬ %(x, z) + %(z, y) (nierówność trójkąta)
nazywamy metryką lub odległością w zbiorze X, a parę (X, %) nazywamy przestrzenią
metryczną.
Uwaga 1. Jeśli (X, %) jest przestrzenią metryczną to dla dowolnego niepustego zbioru E
⊂ X
para (E, %) jest przestrzenią metryczną.
Niech u
∈ X i niech r > 0. Wówczas zbiór
K
(u, r) =
{x ∈ X : %(x, u) < r} nazywamy kulą otwartą o środku w punkcie u i promieniu r.
Niech E
⊂ X będzie zbiorem niepustym. Wówczas:
Mówimy, że E jest zbiorem otwartym gdy dla dowolnego u
∈ E istnieje r > 0 takie że K(u, r) ⊂
E
.
Mówimy, że E jest zbiorem domkniętym gdy zbiór E
0
= X
\ E jest zbiorem otwartym.
Mówimy, że punkt x
∈ E jest punktem wewnętrznym zbioru E gdy istnieje r > 0 takie, że
K
(x, r)
⊂ E. Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru E nazywamy wnętrzem zbioru
E
i oznaczamy int E.
Mówimy, że punkt x
∈ X jest punktem brzegowym zbioru E gdy dla dowolnego r > 0 zbiór
K
(x, r) ma punkty wspólne z E i z jego uzupełnieniem E
0
= X
\ E.
Zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru E nazywamy brzegiem zbioru E i oznaczamy
∂E
. Jest to zbiór domknięty.
Zbiór E= E
S
∂E
nazywamy domknięciem zbioru E.
Zbiór E jest domknięty wtedy, gdy zawiera swój brzeg.
Mówimy, że punkt x
∈ X jest punktem skupienia zbioru E gdy dla dowolnego r > 0 zbiór
K
(x, r) zawiera punkty zbioru E różne od x. Zbiór punktów skupienia zbioru E oznaczamy E
d
i nazywamy także pochodną zbioru E. Jest to zbiór domknięty. Ponadto E= E
S
E
d
.
Mówimy, że punkt x
∈ E jest punktem izolowanym zbioru E gdy istnieje r > 0 takie, że
K
(x, r)
∩ E = {x}.
2. Ciągi punktów w przestrzeni metrycznej
(X, %)
Niech
{x
k
} , k = 1, 2, 3, ... będzie ciągiem punktów z przestrzeni X, niech x ∈ X będzie
ustalone.
Definicja 2. Jeśli lim
k
→∞
%
(x
k
, x
) = 0 to mówimy, że ciąg punktów
{x
k
} jest zbieżny do punktu
x
i piszemy
lim
k
→∞
x
k
= x.
Uwaga 2. lim
k
→∞
x
k
= x wtedy gdy dla dowolnego ε > 0 istnieje m
∈
takie, że dla k > m
mamy x
k
∈ K(x, ε) a więc kula K(x, ε) zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu {x
k
}.
1
Uwaga 3. Każdy podciąg ciągu zbieżnego do punktu x jest zbieżny do x.
Twierdzenie 1. Zbiór E
⊂ X jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ciągu
punktów
{x
k
} ⊂ E zbieżnego do punktu x mamy x ∈ E, to znaczy granica każdego zbieżnego
ciągu punktów z E należy do E.
Twierdzenie 2. Punkt x
∈ X jest punktem brzegowym zbioru E wtedy gdy istnieją dwa ciągi
punktów
{x
k
} ⊂ E i {y
k
} ⊂ E
0
= X
\ E zbieżne do punktu x.
Twierdzenie 3. Punkt x
∈ X jest punktem skupienia zbioru E wtedy gdy istnieje ciąg {x
k
} ⊂
E
\ {x} zbieżny do punktu x.
Liczbę δ(E) = sup
{%(x, y) : x ∈ E i y ∈ E} nazywamy średnicą zbioru E.
Mówimy, że zbiór E jest ograniczony gdy jego średnica δ(E) jest skończona, (to znaczy, że
zbiór E jest zawarty w pewnej kuli).
Dla x
∈ X liczbę %(x, E) = inf{%(x, y) : y ∈ E} nazywamy odległością punktu x od
zbioru E.
Jeśli B jest niepustym podzbiorem X to liczbę %(E, B) = inf
{%(x, y) : x ∈ E i y ∈ B}
nazywamy odległością zbiorów E i B.
3. Zupełność, zwartość i spójność
Dana jest przestrzeń metryczna (X, %) i niepusty zbiór A
⊂ X.
Definicja 3. Mówimy, że ciąg punktów
{x
k
} ⊂ X spełnia warunek Cauchyego gdy dla dowolnego
ε >
0 istnieje l
∈
takie, że dla m, n > l mamy %(x
m
, x
n
) < ε.
Twierdzenie 4. Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej spełnia warunek Cauchyego.
Definicja 4. Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest zupełna gdy każdy ciąg punktów tej
przestrzeni spełniający warunek Cauchyego jest zbieżny do pewnego punktu x
∈ X.
Definicja 5. Mówimy, że zbiór A jest zwarty gdy każdy ciąg punktów
{x
k
} ⊂ A zawiera podciąg
{x
k
n
} zbieżny do pewnego punktu x ∈ A.
Twierdzenie 5. Jeśli zbiór A jest zwarty to jest ograniczony i domknięty.
Twierdzenie 6. Każdy odcinek domknięty [a, b]
⊂
jest zwarty.
Twierdzenie 7. Zbiór liczb rzeczywistych
jest przestrzenią zupełną.
Definicja 6. Mówimy, że zbiór A jest spójny gdy nie istnieją zbiory otwarte i rozłączne U i
V
takie, że A
T
U
6= ∅, A
T
V
6= ∅ i A ⊂ U
S
V
. W przeciwnym przypadku zbiór A nazywamy
niespójnym.
Twierdzenie 8. Zbiór A
⊂
jest spójny wtedy gdy jest przedziałem..
4. Przekształcenia ciągłe przestrzeni metrycznych
Dana są przestrzenie metryczne (X, %
1
) i (Y, %
2
) i funkcja f : X
−→ Y nazywana także
przekształceniem lub odwzorowaniem X w Y .
Definicja 7. Mówimy, że przekształcenie f jest ciągłe w punkcie x
∈ X gdy dla dowolnego ciągu
punktów x
k
przestrzeni X jeśli lim
k
→∞
x
k
= x to lim
k
→∞
f
(x
k
) = f (x). Jeśli f jest ciągłe w każdym
punkcie x
∈ X to mówimy, że f jest przekształceniem ciągłym przestrzeni X w Y .
2
Zbiór przekształceń ciągłych przestrzeni X w Y oznaczamy C(X, Y ), a zbiór przekształceń
ciągłych przestrzeni X w zbiór liczb rzeczywistych
oznaczamy C(X).
Twierdzenie 9. Przekształcenie f jest ciągłe w punkcie x
0
∈ X wtedy gdy dla dowolnego ε > 0
istnieje δ > 0 (zależna od x
0
) taka, że dla każdego x
∈ K(x
0
, δ
) mamy f (x)
∈ K(f(x
0
), ε), to
znaczy f (K(x
0
, δ
))
⊂ K(f(x
0
), ε).
Twierdzenie 10. Jeśli f : X
−→ Y jest ciągłe i A jest zwartym podzbiorem X to jego obraz
f
(A) jest zwartym podzbiorem Y .
Twierdzenie 11. Jeśli f : X
−→ Y jest ciągłe i A jest spójnym podzbiorem X to jego obraz
f
(A) jest spójnym podzbiorem Y .
Uwaga 4. Ciągły obraz zbioru zwartego (spójnego) jest zbiorem zwartym (spójnym).
5. Funkcje o wartościach rzeczywistych
Dana jest przestrzeń metryczna (X, %) i niech E będzie niepustym podzbiorem X. Załóżmy,
że dana jest funkcja
f
: E
−→ . Wprowadzamy oznaczenia:
zbiór wartości funkcji f na zbiorze E: f (E) = W
f
(E) =
{f(x) : x ∈ E}.
kres dolny i kres górny wartości funkcji f na E:
m
f
(E) = inf W
f
(E) = inf
{f(x) : x ∈ E}
M
f
(E) = sup W
f
(E) = sup
{f(x) : x ∈ E}.
poziomica funkcji f to zbiór
P
s
(f ) =
{x ∈ E : f(x) = s} = f
−1
(
{s}) dla s ∈ .
P
s
(f )
6= ∅ ⇐⇒ s ∈ W
f
(E).
Definicja 8. Funkcja f przyjmuje w punkcie x
0
∈ E wartość największą (najmniejszą)
w zbiorze E gdy dla dowolnego
x
∈ E mamy f(x) ¬ f(x
0
) (f (x)
f(x
0
)).
Uwaga 5. Jeśli funkcja f
przyjmuje w punkcie x
0
∈ E wartość największą (najmniejszą) w
zbiorze E to M
f
(E) = f (x
0
)
(m
f
(E) = f (x
0
)).
Definicja 9. Mówimy, że funkcja f ma maksimum (minimum) w punkcie P
∈ E gdy istnieje
r >
0 takie, że dla każdego
x
∈ K(P, r)
T
E
mamy f (P )
f(x) (f(P ) ¬ f(x)). Jeśli
funkcja f ma maksimum lub minimum w punkcie P to mówimy, że f ma ekstremum w P .
Definicja 10. Mówimy, że funkcja f ma maksimum (minimum) właściwe w punkcie P
∈ E
gdy istnieje r > 0 takie, że dla każdego
x
∈ K(P, r)
T
E
i x
6= P mamy f(P ) > f(x)
(f (P ) < f (x)). Jeśli funkcja f ma maksimum lub minimum właściwe w punkcie P to mówimy,
że f ma ekstremum właściwe w P .
Twierdzenie 12. Jeśli E jest zbiorem zwartym i f
∈ C(E) to M
f
(E) i m
f
(E) są skończone
i są jednocześnie odpowiednio wartością największą i najmniejszą funkcji f na zbiorze E.
Twierdzenie 13. Jeśli E jest zbiorem zwartym i spójnym oraz f
∈ C(E) to
W
f
(E) = [m
f
(E), M
f
(E)].
Wniosek 1. Niech a, b
∈ . Jeśli f : [a, b] −→
jest ciągłe to f ([a, b]) jest domkniętym
odcinkiem w , którego końcami są najmniejsza i największa wartość funkcji f na [a, b] odpowiednio.
Twierdzenie 14. Jeśli P jest przedziałem w
i f : P
−→
jest ciągłe to f (P ) jest
odcinkiem w
, którego końcami są odpowiednio kres dolny i kres górny zbioru wartości funkcji
f
na P .
3
6. Przekształcenia jednostajnie ciągłe
Dana są przestrzenie metryczne (X, %
1
) i (Y, %
2
) i funkcja f : X
−→ Y .
Definicja 11. Mówimy, że przekształcenie f jest jednostajnie ciągłe gdy dla dowolnych ciągów
punktów u
k
i v
k
przestrzeni X jeśli lim
k
→∞
%
1
(u
k
, v
k
) = 0 to lim
k
→∞
%
2
(f (u
k
), f (v
k
)) = 0.
Twierdzenie 15. Przekształcenie f jest jednostajnie ciągłe wtedy gdy dla dowolnego ε > 0
istnieje δ > 0 (zależna tylko od ε) taka, że dla dowolnego x
∈ X mamy f(K(x, δ)) ⊂ K(f(x), ε).
Wniosek 2. Jeśli przekształcenie f jest jednostajnie ciągłe to jest ciągłe.
Twierdzenie 16. Jeśli X jest zwarta i przekształcenie f jest ciągłe to f jest jednostajnie ciągłe.
7. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów funkcyjnych
Dana jest przestrzeń metryczna (X, %) i niech E będzie niepustym podzbiorem X.
Niech
(E)
oznacza zbór funkcji określonych na E o wartościach rzeczywistych. Dla
f, g
∈
(E) określamy
M
(f, g) = M
|f −g|
(E) = sup
{|f(x) − g(x)| : x ∈ E}
Załóżmy, że dany jest ciąg funkcji f
n
∈
(E) i funkcja f
∈
(E).
Definicja 12. Mówimy, że ciąg f
n
jest zbieżny punktowo do funkcji f na zbiorze E jeśli dla
dowolnego x
∈ E mamy
lim
n
→∞
f
n
(x) = f (x) i piszemy f
n
→ f.
Definicja 13. Mówimy, że ciąg f
n
jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze E jeśli
lim
n
→∞
M
(f
n
, f
) = 0 i piszemy f
n
f
na E.
Twierdzenie 17. Ciąg f
n
jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze E wtedy i tylko
wtedy gdy istnieje ciąg liczbowy a
n
zbieżny do 0 i taki, że dla dowolnego x
∈ E i n ∈
mamy
|f
n
(x)
− f(x)| ¬ a
n
Twierdzenie 18. Jeśli ciąg f
n
jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze E to ciąg f
n
jest zbieżny punktowo do funkcji f na zbiorze E.
Twierdzenie 19. Jeśli ciąg funkcji ciągłych f
n
jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze
E
to funkcja f jest ciągła na zbiorze E.
Zadania domowe
1. Dana jest funkcja f (x) =
x
1 + 4x
dla x
∈
+
= [0,
∞). Określamy
%
(x, y) =
| f(x) − f(y)| dla x, y ∈
+
. Wykazać, że % jest metryką w
+
i wyznaczyć
kulę o środku y = 1 i promieniu r = 0, 1 w tej metryce.
2. Dane są funkcje f
1
(x) = sin x i f
2
(x) = cos x określone dla x
∈ [0, π]. Określamy
%
j
(x, y) =
| f
j
(x)
− f
j
(y)
| dla x, y ∈ [0, π] oraz j = 1.2. Czy %
j
jest metryką w [0, π] .
Wyznaczyć ewntualnie kulę o środku y =
π
2
i promieniu r = 0, 5 w tej metryce.
3. Dla x, y
∈
określamy %(x, y) =
e
−x
− e
−y
. Wykazać, że % jest metryką w
i
wyznaczyć kulę o środku x = 0 i promieniu r = 1 w tej metryce.
4
4. Dany jest zbiór A =
∞
[
n=1
1
2
n+1
;
1
2
n
. Wyznaczyć brzeg, domknięcie i wnętrze
zbioru A. Czy zbiór A jest zwarty i spójny.
5. Dany jest zbiór A =
∞
[
n=1
n
; n +
2
n
. Wyznaczyć brzeg, domknięcie i wnętrze
zbioru A. Czy zbiór A jest zwarty i spójny.
6. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji
a). f (x) =
x
1 + 5x
dla x
∈ [0, ∞)
b). f (x) =
√
x
+ 1 dla x
∈ [0, ∞)
c). f (x) = e
x
dla x
∈ (−∞, 0) , dla x ∈
d). f (x) =
sin x
x
dla x
∈ (0, π) .
7. Zbadać zbieżność punktową i jednostajną danego ciągu funkcyjnego w danym zbiorze
a). f
n
(x) =
nx
2
x
2
+ n
w [0, 2] i w [0,
∞)
b). f
n
(x) = sin
x
n
w [0,
∞)
c). f
n
(x) =
r
x
2
+
1
n
w [0, 3]
d). f
n
(x) = x
2
n
e
−nx
w [0,
∞) .
8. Dana jest funkcja f określona na . Określamy ciąg funkcji
f
n
(x) =
Ent(nf (x))
n
dla
x
∈ . Wykazać, że ciąg f
n
jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na .
ODP. : 1. K(1; 0, 1) =
1
6
;
∞
2. %
1
nie jest metryką, %
2
jest i K
π
2
; 0, 5
=
π
3
;
2π
3
3. K(0; 1) = (
− ln 2; ∞)
4. ∂A =
0;
1
2
, A =
0;
1
2
, int A =
0;
1
2
, A jest zbiorem spójnym i nie jest zwarty.
5. ∂A =
{1; 3}
[
∞
[
n=3
n
+
2
n
; n + 1
, A =
1; 3
2
3
[
∞
[
n=4
n
; n +
2
n
, int A = A ,
A
nie jest zbiorem spójnym i nie jest zwarty.
6. W a). , b). i d). funkcje są jednostajnie ciągłe; c). funkcja jest jednostajnie ciągła
w (
−∞, 0) i nie jest jednostajnie ciągła w
.
7. a). ciąg jest zbieżny jednostajnie do f (x) = x
2
w [0, 2] i jest zbieżny punktowo w [0,
∞)
b). ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji f (x) = 0 i nie jest zbieżny jednostajnie
c). ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji f (x) = x
d). ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji f (x) = 0 .
Opracował prowadzący przedmiot
dr Wojciech Hyb
Katedra Zastosowań Matematyki
5