Przestrzenie metryczne

W niniejszym rozdziale wprowadzimy pojęcia odległości i przestrzeni metrycznej, kuli, zbieżności ciągu, punktów wewnętrznych, izolowanych, punktów skupienia, zbiorów otwartych i domkniętych, funkcji ciągłej. Udowodnimy kilka podstawowych własności związanych z powyższymi pojęciami. Rozdział ten nie jest dogłębnym omówieniem przestrzeni metrycznych, a jedynie krótkim wprowadzeniem. Część istotnych własności przestrzeni metrycznych jest omówiona w dalszej części podręcznika.

Przestrzeń metryczna

Definicja

Odległością (lub: metryką) na zbiorze X nazywamy każdą funkcję
spełniającą poniższe warunki:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

Warunek 3. nosi nazwę nierówności trójkąta.

Zauważmy, że z powyższych warunków wynika, iż
. Gdyby bowiem istniały
takie, że d(x,y) < 0, to byłoby:
, co jest niemożliwe.

Przestrzenią metryczną nazywamy parę uporządkowaną (X,d), gdzie X jest dowolnym zbiorem, zaś
jest metryką na zbiorze X.

• Ćwiczenie: Pokazać, że jeśli
  jest metryką na X oraz
  , to
  jest metryką na zbiorze Y (gdzie f | _A oznacza obcięcie funkcji f do zbioru A).

Podprzestrzenią metryczną przestrzeni metrycznej (X,d) wyznaczaną przez zbiór
nazywamy przestrzeń metryczną z powyższego ćwiczenia, tzn. przestrzeń
.

Często, dla skrócenia zapisu, przestrzeń metryczną (X,d) oznaczać będziemy po prostu przez X, o ile nie będzie to prowadziło do niejasności.

Przykłady

1. Przestrzenią metryczną jest
   , gdzie d(x,y) = | x − y | dla dowolnych
   , zaś | x | oznacza wartość bezwzględną z x. Istotnie, dla każdych
   :

• 
  

• | x − y | = | y − x |

• 
  .

Rozważmy iloczyn kartezjański n kopii prostej rzeczywistej:
. Dla dowolnych
definiujemy
. W jednym z zadań do tego rozdziału udowodnimy, iż tak określona funkcja d jest odległością. Nazywamy ją metryką euklidesową. Zauważmy, że dla n = 1 jest to metryka z przykładu 1., gdyż
.

W
możemy określić wiele innych metryk. Przykładowo, metryką maksimum nazywamy metrykę
zadaną wzorem:
. Metryką miejską (taksówkową, Manhattan) nazywamy funkcję
określoną
.

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Rozważmy funkcję
określoną
dla dowolnych
. Nietrudno sprawdzić, że jest to metryka, zwana metryką dyskretną (trywialną).

Rozważmy zbiór
funkcji ciągłych, określonych na odcinku domkniętym [a,b], o wartościach rzeczywistych. Dla
definiujemy:
. Jest to metryka, zwana metryką supremum.

Więcej przykładów przestrzeni metrycznych Czytelnik znajdzie w zadaniach do tego rozdziału.

Kule

Definicje

Niech będą dane przestrzeń metryczna (X,d),
i
.

Kulą otwartą w przestrzeni X o środku x i promieniu r nazywamy zbiór
.

Kulą domkniętą w przestrzeni X o środku x i promieniu r nazywamy zbiór
.

Przykłady

1. W
   z metryką euklidesową pojęcie kuli pokrywa się z intuicyjnym rozumieniem tego słowa. W
   kulą otwartą jest koło, zaś w
   odcinek otwarty o zadanym środku i promieniu.

2. W przestrzeni metrycznej dyskretnej X:
   .

3. Jednostkowa (tzn. o promieniu 1) kula otwarta o środku w punkcie (0,0) w
   z metryką taksówkową jest przedstawiona na poniższym rysunku (zauważmy, że brzeg przedstawionej figury do niej nie należy):

• Ćwiczenie: Narysować jednostkową kulę otwartą w
  i
  z metryką maksimum.

• Ćwiczenie: Opisać kule domknięte w przestrzeniach z powyższych przykładów.

Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Definicja

Niech (X,d) będzie dowolną przestrzenią metryczną, zaś
dowolnym ciągiem elementów zbioru X.

Mówimy, że ciąg (x_n) jest zbieżny do granicy
(co zapisujemy symbolicznie
lub
), o ile
.

Własności

1. Zauważmy, że definicję zbieżności ciągu możemy sformułować równoważnie: Ciąg (x_n) zbiega w (X,d) do granicy
   wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 istnieje
   takie, że dla n > N mamy:
   .

2. Co więcej, ponieważ kule otwarte o środku w g są wyznaczane jednoznacznie przez swój promień, od ciągu zbieżnego możemy żądać, by dla każdej kuli B o środku w g istniało
   takie, że dla n > N
   .

3. Ćwiczenie: Wykazać, że jeżeli ciąg posiada granicę, to jest ona wyznaczona jednoznacznie.

4. Ćwiczenie: Wykazać, że
   wtedy i tylko wtedy, gdy
   (tzn. gdy ciąg odległości x_n od g zbiega do 0 w
   ).

] Przykłady

1. Jeśli (x_n) jest ciągiem elementów przestrzeni metrycznej dyskretnej, to jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest od pewnego miejsca ciągiem stałym (tzn. gdy istnieje takie
   , że dla każdego
   zachodzi x_n = x_N).

2. Niech (x_n) będzie ciągiem w
   z metryką euklidesową. Przyjmijmy dla każdego
   oznaczenie:
   . Pokażemy, że
   jest granicą ciągu (x_n) dokładnie wtedy, gdy dla każdego
   zachodzi:
   , gdzie zbieżność ciągów
   rozważamy w
   z metryką euklidesową.

Dowód:

[
] Przypuśćmy, że dla pewnego

, to znaczy
.

Zauważmy, że:
.

Zatem:
, czyli

[
] Wykażemy, że zachodzi implikacja w drugą stronę. Przypuśćmy, że dla każdego

. Weźmy dowolny ε > 0. Dla każdego
istnieje
takie, że
. Niech
. Wówczas:
. Wobec dowolności ε wykazaliśmy, że
.

Punkty wewnętrzne, izolowane, skupienia

Definicje

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną, zaś
.

Mówimy, że
jest:

• Punktem wewnętrznym zbioru A, o ile
  ;

• Punktem skupienia zbioru A, o ile
  ;

• Punktem izolowanym zbioru A, o ile
  i x nie jest punktem skupienia A.

Zauważmy, że z powyższych definicji wynika, iż punkty izolowane i punkty wewnętrzne zbioru A są jego elementami. Natomiast punkty skupienia zbioru A nie muszą do niego należeć.

Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A nazywamy pochodną zbioru A i oznaczamy A^d.

Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru A nazywamy wnętrzem A i oznaczamy
.

Domknięciem zbioru A nazywamy zbiór
.

Własności

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną oraz
.

1. Zauważmy, że definicję punktu skupienia można sformułować równoważnie:
   jest punktem skupienia A, jeżeli
   .

2. Punkt
   jest zatem punktem izolowanym zbioru A, o ile
   .

3. Fakt, że x jest punktem skupienia A możemy też wyrazić korzystając z pojęcia zbieżności ciągu. Mianowicie:
   jest punktem skupienia zbioru A dokładnie wtedy, gdy istnieje ciąg
   (tzn. ciąg elementów A różnych od x) taki, że
   .

Dowód:

[
]Załóżmy, że taki ciąg istnieje. Weźmy dowolny ε > 0. Wówczas istnieje
takie, że dla n > N
. Ponieważ
, to
.

[
]Załóżmy teraz, że
jest punktem skupienia A. Zdefiniujmy ciąg
. Z aksjomatu wyboru wynika, iż istnieje ciąg (x_n) taki, że
. Nietrudno zauważyć, że
.

4. W związku z powyższym faktem możemy zdefiniować domknięcie zbioru A jako zbiór wszystkich granic ciągów zbieżnych w X o wyrazach ze zbioru A. Istotnie, jeśli
   , to
   i jest granicą ciągu stałego x_n = x, lub też
   i z ostatniego faktu istnieje ciąg elementów A zbieżny do x.

Przykłady

1. Rozważmy zbiór
   . A^d = [0;1],
   ,
   , zaś jedynym punktem izolowanym w A jest 2.

2. Rozważmy podprzestrzeń
   wyznaczaną przez zbiór A z powyższego przykładu. W tej przestrzeni A^d = [0;1),
   , zaś 2 jest nadal punktem izolowanym. Zauważmy, że w tym przypadku 2 jest jednocześnie punktem izolowanym i wewnętrznym.

3. Jeśli X jest przestrzenią metryczną, to
   .

4. Rozważmy zbiór
   jako podzbiór
   z metryką euklidesową. Nietrudno sprawdzić, że
   ,
   .

5. W przestrzeni metrycznej dyskretnej X dla każdego
   mamy:
   , zaś
   (tzn. każdy punkt A jest izolowany).

Zbiory otwarte i domknięte

Definicje

Zbiorem otwartym w przestrzeni metrycznej (X,d) nazywamy każdy taki zbiór
, że
.

Zbiorem domkniętym w przestrzeni metrycznej (X,d) nazywamy każdy taki zbiór
, że
.

Własności

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną oraz
.

1. Bezpośrednio z definicji wnętrza wynika, że zbiór A jest otwarty dokładnie wtedy, gdy każdy jego element jest jego punktem wewnętrznym.

2. Zbiór A jest domknięty dokładnie wtedy, gdy dla każdego ciągu
   zbieżnego w X zachodzi:
   .
   Wynika to z (podanej jako własność 4. w poprzednim podrozdziale) równoważnej definicji domknięcia zbioru A jako zbioru wszystkich granic ciągów zbieżnych o wyrazach z A.

3. A jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy
   jest otwarty.

Dowód:

[
] Załóżmy, że
jest otwarty. Weźmy dowolny
. Stąd:
, zatem nie jest prawdą, że
, co oznacza, że
. Zatem:
.

[
] Załóżmy teraz, że A jest domknięty. Weźmy dowolny
. Przypuśćmy, że x nie jest punktem wewnętrznym
. Zatem: dla każdego ε > 0 istnieje
taki, że
, tzn.
. Wobec tego (ponieważ
)
. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem
. Zatem każdy
musi być punktem wewnętrznym
, czyli
.

4. Wykażemy teraz trzy istotne własności zbiorów otwartych, które w kolejnym rozdziale posłużą nam do zdefiniowania przestrzeni topologicznej.
   Niech
   oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów otwartych przestrzeni metrycznej X. Wykażemy, że:

1. 
   

2. 
   

3. 
   .

Dowód:

[1.] Oczywiste.

[2.] Jeśli
, to teza jest prawdziwa (z 1.). Możemy więc założyć, że powyższy iloczyn zbiorów jest niepusty. Niech
. Ponieważ każdy ze zbiorów
jest otwarty, to istnieją
takie, że dla każdego

. Niech
. Wówczas
, czyli
. Wobec dowolności x teza jest udowodniona.

[3.] Możemy założyć, że
. Niech
. Wtedy istnieje
taki, że
. U jest otwarty, więc istnieje ε > 0 takie, że
. Zatem
. Wobec dowolności x teza jest udowodniona.

5. Każdy zbiór otwarty jest sumą pewnej rodziny kul otwartych o promieniach wymiernych.

Dowód:

Niech U będzie zbiorem otwartym. Dla każdego
istnieje ε_x > 0 takie, że
. Zauważmy, że istnieje
takie, że
. Mamy zatem dla każdego
:
. Wobec tego:
. Ale również
. Dowód jest zakończony.

Przykłady

1. Kula otwarta jest zbiorem otwartym.

Dowód:

Niech B = B(x,r) będzie kulą otwartą w przestrzeni (X,d) o środku x i promieniu r > 0. Weźmy dowolny
. Niech R = r − d(x,y). Pokażemy, że
. Istotnie, z nierówności trójkąta, dla dowolnego
mamy:
. Zatem
.

2. Ćwiczenie: Wykazać, że kula domknięta jest zbiorem domkniętym.

3. W każdej przestrzeni metrycznej (X,d) zbiory X i
   są jednocześnie otwarte i domknięte. Zbiory takie nazywamy otwarto-domkniętymi. W
   z metryką euklidesową są to jedyne takie zbiory. Jednak na przykład w
   traktowanym jako podprzestrzeń
   otwarto-domknięty jest zbiór
   . Każdy podzbiór przestrzeni metrycznej dyskretnej jest otwarto-domknięty.

4. Zbiór
   nie jest ani otwarty, ani domknięty.

Funkcje ciągłe

Definicje

Funkcją ciągłą w punkcie
z przestrzeni metrycznej (X,d) do przestrzeni mestrycznej (Y,ρ) nazywamy każdą funkcję
taką, że:
.

Funkcją ciągłą (odwzorowaniem ciągłym) z przestrzeni metrycznej (X,d) do przestrzeni mestrycznej (Y,ρ) nazywamy funkcję
ciągłą w każdym punkcie
.

Własności

Niech (X,d),(Y,ρ) będą przestrzeniami metrycznymi.

1. Zauważmy, że korzystając z pojęcia kuli warunek ciągłości funkcji
   w punkcie
   możemy zapisać:
   , czy też krócej:
   (gdzie
   oznaczają kule otwarte odpowiednio w przestrzeniach X,Y).

2. Definicję ciągłości w punkcie można sformułować korzystając z pojęcia zbieżności ciągu. Mianowicie, funkcja
   jest ciągła w punkcie
   wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu
   zbieżnego w (X,d) do x zachodzi:
   .

Dowód:

[
] Załóżmy, że spełniony jest powyższy warunek. Przypuśćmy, że f nie jest ciągła. Znajdziemy zatem taki ε > 0, że dla każdej δ > 0 istnieje
takie, że d(x,y) < δ oraz ρ(f(x),f(y_δ)) > ε. Wobec tego możemy wybrać ciąg
taki, że dla każdego
:
oraz ρ(f(x),f(y_n)) > ε. Zauważmy, że
, ale
. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, zatem f musi być ciągła.

[
] Załóżmy teraz, że
jest ciągła. Weźmy dowolny ciąg
taki, że
. Pokażemy, że
. Niech ε > 0 będzie dowolne. Z ciągłości f istnieje δ > 0 taka, że dla dowolnego
jeśli d(x,y) < δ, to ρ(f(x),f(y)) < ε. Ponieważ
, to istnieje
takie, że d(x_n,x) < δ dla wszystkich n > N. Stąd ρ(f(x_n),f(x)) < ε dla n > N. Wobec dowolności ε teza jest udowodniona.

3. Definicję ciągłości można sformułować także korzystając z pojęcia zbioru otwartego. Fakt ten posłuży nam w rozdziale 3. do uogólnienia pojęcia odwzorowania ciągłego.
   Funkcja
   jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru
   otwartego w Y, jego przeciwobraz f ^{− 1}(U) jest zbiorem otwartym w X.

Dowód:

[
] Niech funkcja f spełnia powyższy warunek. Wybierzmy dowolne
. Pokażemy, że f jest ciągła w punkcie x, co z dowolności jego wyboru oznaczało będzie ciągłość f. Ustalmy ε > 0. Niech A = f ^{− 1}(B_Y(f(x),ε)). Z początkowego założenia wynika, że A jest otwarty jako przeciwobraz kuli otwartej. Ponadto
, bo
. Z otwartości A wynika, że istnieje δ > 0 taka, że
. Zauważmy, że jeśli
, to
, zatem
. Z dowolności ε f jest ciągła w x.

[
] Niech
będzie zbiorem otwartym w Y. Weźmy dowolny punkt
. Ponieważ
i U jest otwarty, istnieje ε > 0 taki, że
. Z ciągłości f wynika, że istnieje δ > 0 taka, że jeśli
, to
. Zatem
dla każdego
, czyli
. x jest zatem punktem wewnętrznym f ^{− 1}(U), co z dowolności jego wyboru oznacza, że f ^{− 1}(U) jest otwarty w X.

Przykłady

1. Niech X będzie przestrzenią metryczną dyskretną, zaś Y dowolną przestrzenią metryczną. Każda funkcja
   jest ciągła.

2. W dowolnej przestrzeni metrycznej X funkcja identycznościowa
   jest ciągła.

3. Dla ustalonej przestrzeni metrycznej (X,d) i punktu
   ciągła jest funkcja
   , jeżeli w
   przyjmiemy metrykę euklidesową.

4. Jeśli
   jest punktem izolowanym przestrzeni (X,d), (Y,ρ) jest przestrzenią metryczną, to dowolna funkcja
   jest ciągła w punkcie x.

5. W
   z metryką euklidesową ciągłe są funkcje:

• 
  ,

• 
  ,

• 
  .

• Ćwiczenie: Udowodnić powyższe stwierdzenia.

---