Wykład 2

1. Punkty skupienia.

Na analizie definiowano punkt skupienia ciągu jako granicę zbieżnego podciągu. Przy

tym pozwalano, by punktami skupienia były ±∞ mimo, że nie są to elementy przestrzeni

R. My wprowadzimy ogólniejszą definicję.

Definicja 1. Punkt x jest punktem skupienia zbioru A w przestrzeni metrycznej ( X, d), gdy dla każdego > 0 zachodzi

A ∩ K( x, ) \ {x} 6= φ.

Twierdzenie 1. x jest punktem skupienia zbioru A ⇐⇒ A zawiera ciąg ( xn) taki, że xn 6= x dla każdego n oraz lim n xn = x.

Dowód. ( ⇒)

Dla kolejnych n wybieramy xn z przekrojów A ∩ K( x, 1 ) \ {x}.

n

( ⇐)

Dla > 0 znajdujemy n 0 z definicji zbieżności. Dla n > n 0 mamy xn ∈ K( x, ), a z własności tego ciągu xn 6= x i xn ∈ A.

Definicja 2. Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A nazywamy pochodną zbioru A

i oznaczamy Ad.

Przykłady W naturalnych metrykach mamy:

1.

d

N = φ

2.

d

Q = R

3.

d

R = R

Ale jeśli rozpatrzymy w N ∪ { 0 } metrykę ρ, to pochodną będzie { 0 }. Fakt bycia punktem skupienia i pochodna zależą od przyjętej metryki!!!

2. Zbiory otwarte i domknięte.

Wygodnie jest poklasyfikować zbiory na różne sposoby, by wiedzieć, których zbiorów

można użyć do jakich celów. Np. czasem chcemy, by zbiór zawierał swoje wszystkie punkty

skupienia (to będą domknięte). A czasem, by zawierał tylko swoje punkty skupienia (ale

niekoniecznie wszystkie – to będa otwarte). To zrobimy poniżej.

Definicja 3. Zbiór A jest otwarty (w przestrzeni metrycznej ( X, d)), gdy dla każdego x ∈ A istnieje > 0 taki, że K( x, ) ⊂ A.

Zbiór A jest domknięty, gdy jego dopełnienie jest zbiorem otwartym.

Zobaczmy, że druga z definicji faktycznie realizuje obietnicę zawierania wszystkich punk-

tów skupienia.

Twierdzenie 2. Zbiór A jest domknięty ⇐⇒ A zawiera wszystkie swoje punkty skupienia,

tzn Ad ⊂ A.

Dowód. ( ⇒) Jeśli x 6∈ A, to z otwartości X \ A istnieje kula K( x, ) zawarta w X \ A, czyli rozłączna z A. Zatem x nie jest punktem skupienia A. Stąd Ad ⊂ A.

( ⇐) Weźmy dowolny x ∈ X \ A. Wtedy z założenia x nie jest punktem skupienia A, czyli dla pewnego > 0 mamy A ∩ K( x, ) \ {x} = φ. Stąd K( x, ) ⊂ X \ A, co oznacza, że x zawiera się w X \A wraz z pewną kulą. Zatem X \A jest otwarty, czyli A jest domknięty.

1

3. Własności zbiorów domkniętych i zbiorów otwartych

Niech ( X, d) będzie przestrzenią metryczną. Oczywiście, mamy:

Stwierdzenie 1. Cała przestrzeń oraz zbiór pusty są jednocześnie otwarte i domknięte.

Stwierdzenie 2 (Charakteryzacja zbiorów domkniętych). Zbiór A ⊂ X jest domknięty

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( xn) elementów zbioru A zachodzi implikacja:

jeśli xn → x, to x ∈ A.

Dowód. Wynika z charakteryzacji punktów skupienia zbioru (z zeszłego wykładu) oraz z

faktu, że zbiór domkniety zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.

Stwierdzenie 3. Kula otwarta jest zbiorem otwartym.

Kula domknięta jest zbiorem domkniętym

Dowód. Na ćwiczeniach

Stwierdzenie 4.

(1) Suma dowolnej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

(1a) Przekrój dowolnej liczby zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

(2) Przekrój skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

(2a) Suma skończonej liczby zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

Dowód. Niech U będzie rodziną zbiorów otwartych. Pokażemy, że S U∈ U U jest zbiorem

otwartym. Ustalmy x ∈ S U∈ U U. Wtedy x ∈ U dla pewnego U ∈ U . Z otwartości U

istnieje kula K( x, ) zawarta w U zatem tym bardziej w U ∈ U .

Aby udowodnić (2) ustalmy skończoną rodzinę zbiorów otwartych U 1 , ..., Un. Niech x ∈

T n

i=1 Ui. Wtedy x należy do wszystkich Ui, więc z definicji zbioru otwartego istnieją i > 0, i = 1 , ..., n, takie, że K( xi, i) ⊂ Ui. Wybierzmy = min i=1 ,...,n i. Wtedy K( x, ) ⊂ T ni=1 Ui.

(1a) wynika z (1), a (2a) z (2) przez zastosowanie prawa de Morgana.

4. Wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru

Powiedzmy, że mamy dowolny zbiór A w przestrzeni metrycznej ( X, d). Czy da się

dorzucić do niego wszystkie jego punkty skupienia (i potem ewentualnie punkty skupienia

tych i tak dalej) tak, aby go uzupełnić do zbioru domknietego i żeby była to operacja

optymalna, tzn. by uzyskać jak najmniejszy taki uzupełniony zbiór? Tak, taką operację, a

raczej powstały w jej wyniku zbiór, nazywamy domknięciem A - zdefiniujemy je poniżej.

A czy da się ze zbioru jakoś optymalnie (tzn. nie za dużo) wyrzucić obce punkty skupienia

tak, by uzyskać zbiór otwarty? Tak, taki zbiór otwarty nazwiemy wnętrzem A.

Twierdzenie 3. Dla dowolnego A ⊂ X istnieją:

1. najmniejszy (w sensie relacji zawierania) zbiór domknięty A zawierający A,

2. największy (w sensie relacji zawierania) zbiór otwarty int ( A) zawarty w A,

2

Dowód. Niech D( A) oznacza rodzinę wszystkich zbiorów domkniętych zawierających A,

a O( A) rodzinę wszystkich zbiorów otwartych zawartych w A. Oczywiście są to rodziny

niepuste, bo X ∈ D( A) i φ ∈ O( A). Wtedy definiujemy:

\

[

A =

F,

int ( A) =

U

F ∈ D( A)

U ∈ O( A)

Definicja 4. Zbiór int ( A) z powyższego twierdzenia to wnętrze zbioru A, a A, to domknię-

cie zbioru A.

Twierdzenie 4. Niech A ⊂ X. Zachodzą następujące fakty:

1. int ( φ) = φ = φ, int ( X) = X = X

2. int ( A) ⊂ A ⊂ A, ale dla zbioru domkniętego A = A, a dla otwartego int ( A) = A,

c

3. A = (int ( Ac)) c, int ( A) = Ac

4. A = A, int (int ( A)) = int ( A)

5. A ∪ B = A ∪ B

6. ale uwaga: int ( A) ∪ int ( B) ⊂ int ( A ∪ B) (za to int ( A) ∩ int ( B) = int ( A ∩ B)) Dowód. Udowodnimy tylko 3 i 5 - pozostałe łatwe.

Najpierw 3. Niech F będzie zbiorem domkniętym zawierającym A. Wtedy F c ⊂ Ac i F c jest otwarty, więc F c ⊂ int ( Ac), bo int ( Ac) jest największym otwartym zbiorem zawartym w Ac. Czyli F ⊃ (int ( Ac)) c, a w konsekwencji A ⊃ (int ( Ac)) c.

Na odwrót, int ( Ac) ⊂ Ac, więc (int ( Ac)) c jest domknięty i zawiera A. Czyli zawiera też A (który jest najmniejszy o tych własnościach).

Dla dowodu 5 zauważmy, że A ⊂ B, więc A ⊂ A ∪ B i podobnie B ⊂ A ∪ B. Zatem

A ∪ B ⊂ A ∪ B. Z drugiej strony A ∪ B ⊂ A ∪ B i A ∪ B jest domknięty, więc A ∪ B ⊂

A ∪ B.

CDN

3