Kierunek Informatyka i Ekonometria
ANALIZA MATENATYCZNA
Przestrzenie metryczne
1. Pojęcia podstawowe
Dany jest niepusty zbiór X.
Definicja 1. Dowolną funkcję % : X × X −→ [0 , ∞) , która dla x, y, z ∈ X spełnia warunki: 1. %( x, y) = 0 wtedy gdy x = y
2.
%( x, y) = %( y, x) (własność symetrii)
3.
%( x, y) ¬ %( x, z) + %( z, y) (nierówność trójkąta) nazywamy metryką lub odległością w zbiorze X, a parę ( X, %) nazywamy przestrzenią metryczną .
Uwaga 1. Jeśli ( X, %) jest przestrzenią metryczną to dla dowolnego niepustego zbioru E ⊂ X
para ( E, %) jest przestrzenią metryczną.
Niech u ∈ X i niech r > 0. Wówczas zbiór
K( u, r) = {x ∈ X : %( x, u) < r} nazywamy kulą otwartą o środku w punkcie u i promieniu r.
Niech E ⊂ X będzie zbiorem niepustym. Wówczas:
Mówimy, że E jest zbiorem otwartym gdy dla dowolnego u ∈ E istnieje r > 0 takie że K( u, r) ⊂
E.
Mówimy, że E jest zbiorem domkniętym gdy zbiór E0 = X \ E jest zbiorem otwartym.
Mówimy, że punkt x ∈ E jest punktem wewnętrznym zbioru E gdy istnieje r > 0 takie, że K( x, r) ⊂ E. Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru E nazywamy wnętrzem zbioru E i oznaczamy int E.
Mówimy, że punkt x ∈ X jest punktem brzegowym zbioru E gdy dla dowolnego r > 0 zbiór K( x, r) ma punkty wspólne z E i z jego uzupełnieniem E 0 = X \ E.
Zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru E nazywamy brzegiem zbioru E i oznaczamy
∂E. Jest to zbiór domknięty.
Zbiór E= E S ∂E nazywamy domknięciem zbioru E.
Zbiór E jest domknięty wtedy, gdy zawiera swój brzeg.
Mówimy, że punkt x ∈ X jest punktem skupienia zbioru E gdy dla dowolnego r > 0 zbiór K( x, r) zawiera punkty zbioru E różne od x. Zbiór punktów skupienia zbioru E oznaczamy E d i nazywamy także pochodną zbioru E. Jest to zbiór domknięty. Ponadto E= E S Ed.
Mówimy, że punkt x ∈ E jest punktem izolowanym zbioru E gdy istnieje r > 0 takie, że K( x, r) ∩ E = {x}.
2. Ciągi punktów w przestrzeni metrycznej ( X, %)
Niech {xk} , k = 1 , 2 , 3 , ... będzie ciągiem punktów z przestrzeni X, niech x ∈ X będzie ustalone.
Definicja 2. Jeśli lim %( xk, x) = 0 to mówimy, że ciąg punktów {xk} jest zbieżny do punktu k→∞
x i piszemy
lim xk = x.
k→∞
Uwaga 2. lim xk = x wtedy gdy dla dowolnego ε > 0 istnieje m ∈
takie, że dla k > m
k→∞
mamy xk ∈ K( x, ε) a więc kula K( x, ε) zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu {xk}.
1
Uwaga 3. Każdy podciąg ciągu zbieżnego do punktu x jest zbieżny do x.
Twierdzenie 1. Zbiór E ⊂ X jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ciągu punktów {xk} ⊂ E zbieżnego do punktu x mamy x ∈ E, to znaczy granica każdego zbieżnego ciągu punktów z E należy do E.
Twierdzenie 2. Punkt x ∈ X jest punktem brzegowym zbioru E wtedy gdy istnieją dwa ciągi punktów {xk} ⊂ E i {yk} ⊂ E0 = X \ E zbieżne do punktu x.
Twierdzenie 3. Punkt x ∈ X jest punktem skupienia zbioru E wtedy gdy istnieje ciąg {xk} ⊂
E \ {x} zbieżny do punktu x.
Liczbę δ( E) = sup{%( x, y) : x ∈ E i y ∈ E} nazywamy średnicą zbioru E.
Mówimy, że zbiór E jest ograniczony gdy jego średnica δ( E) jest skończona, (to znaczy, że zbiór E jest zawarty w pewnej kuli).
Dla x ∈ X liczbę %( x, E) = inf{%( x, y) : y ∈ E} nazywamy odległością punktu x od zbioru E.
Jeśli B jest niepustym podzbiorem X to liczbę %( E, B) = inf {%( x, y) : x ∈ E i y ∈ B}
nazywamy odległością zbiorów E i B.
3. Zupełność, zwartość i spójność
Dana jest przestrzeń metryczna ( X, %) i niepusty zbiór A ⊂ X.
Definicja 3. Mówimy, że ciąg punktów {xk} ⊂ X spełnia warunek Cauchyego gdy dla dowolnego ε > 0 istnieje l ∈
takie, że dla m, n > l mamy %( xm, xn) < ε.
Twierdzenie 4. Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej spełnia warunek Cauchyego.
Definicja 4. Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest zupełna gdy każdy ciąg punktów tej przestrzeni spełniający warunek Cauchyego jest zbieżny do pewnego punktu x ∈ X.
Definicja 5. Mówimy, że zbiór A jest zwarty gdy każdy ciąg punktów {xk} ⊂ A zawiera podciąg
{xk } zbieżny do pewnego punktu x ∈ A.
n
Twierdzenie 5. Jeśli zbiór A jest zwarty to jest ograniczony i domknięty.
Twierdzenie 6. Każdy odcinek domknięty [ a, b] ⊂
jest zwarty.
Twierdzenie 7. Zbiór liczb rzeczywistych
jest przestrzenią zupełną.
Definicja 6. Mówimy, że zbiór A jest spójny gdy nie istnieją zbiory otwarte i rozłączne U i V takie, że A T U 6= ∅, A T V 6= ∅ i A ⊂ U S V . W przeciwnym przypadku zbiór A nazywamy niespójnym.
Twierdzenie 8. Zbiór A ⊂
jest spójny wtedy gdy jest przedziałem..
4. Przekształcenia ciągłe przestrzeni metrycznych
Dana są przestrzenie metryczne ( X, % 1) i ( Y, % 2) i funkcja f : X −→ Y nazywana także przekształceniem lub odwzorowaniem X w Y .
Definicja 7. Mówimy, że przekształcenie f jest ciągłe w punkcie x ∈ X gdy dla dowolnego ciągu punktów xk przestrzeni X jeśli lim xk = x to lim f ( xk) = f ( x) . Jeśli f jest ciągłe w każdym k→∞
k→∞
punkcie x ∈ X to mówimy, że f jest przekształceniem ciągłym przestrzeni X w Y .
2
Zbiór przekształceń ciągłych przestrzeni X w Y oznaczamy C( X, Y ), a zbiór przekształceń ciągłych przestrzeni X w zbiór liczb rzeczywistych
oznaczamy C( X).
Twierdzenie 9. Przekształcenie f jest ciągłe w punkcie x 0 ∈ X wtedy gdy dla dowolnego ε > 0
istnieje δ > 0 (zależna od x 0 ) taka, że dla każdego x ∈ K( x 0 , δ) mamy f( x) ∈ K( f( x 0) , ε) , to znaczy f ( K( x 0 , δ)) ⊂ K( f( x 0) , ε) .
Twierdzenie 10. Jeśli f : X −→ Y jest ciągłe i A jest zwartym podzbiorem X to jego obraz f ( A) jest zwartym podzbiorem Y .
Twierdzenie 11. Jeśli f : X −→ Y jest ciągłe i A jest spójnym podzbiorem X to jego obraz f ( A) jest spójnym podzbiorem Y .
Uwaga 4. Ciągły obraz zbioru zwartego (spójnego) jest zbiorem zwartym (spójnym).
5. Funkcje o wartościach rzeczywistych
Dana jest przestrzeń metryczna ( X, %) i niech E będzie niepustym podzbiorem X. Załóżmy, że dana jest funkcja
f : E −→ . Wprowadzamy oznaczenia:
zbiór wartości funkcji f na zbiorze E: f ( E) = Wf ( E) = {f( x) : x ∈ E}.
kres dolny i kres górny wartości funkcji f na E:
mf ( E) = inf Wf ( E) = inf {f( x) : x ∈ E}
Mf ( E) = sup Wf ( E) = sup {f( x) : x ∈ E}.
poziomica funkcji f to zbiór
Ps( f ) = {x ∈ E : f( x) = s} = f − 1( {s}) dla s ∈ .
Ps( f ) 6= ∅ ⇐⇒ s ∈ Wf ( E).
Definicja 8. Funkcja f przyjmuje w punkcie x 0 ∈ E wartość największą (najmniejszą) w zbiorze E gdy dla dowolnego
x ∈ E mamy f( x) ¬ f( x 0) (f( x) f( x 0) ).
Uwaga 5. Jeśli funkcja f
przyjmuje w punkcie x 0 ∈ E wartość największą (najmniejszą) w
zbiorze E to Mf ( E) = f ( x 0) (mf ( E) = f ( x 0) ).
Definicja 9. Mówimy, że funkcja f ma maksimum (minimum) w punkcie P ∈ E gdy istnieje r > 0 takie, że dla każdego
x ∈ K( P, r) T E mamy f( P ) f( x) (f( P ) ¬ f( x) ). Jeśli funkcja f ma maksimum lub minimum w punkcie P to mówimy, że f ma ekstremum w P .
Definicja 10. Mówimy, że funkcja f ma maksimum (minimum) właściwe w punkcie P ∈ E
gdy istnieje r > 0 takie, że dla każdego
x ∈ K( P, r) T E i x 6= P mamy f( P ) > f( x) (f ( P ) < f ( x) ). Jeśli funkcja f ma maksimum lub minimum właściwe w punkcie P to mówimy, że f ma ekstremum właściwe w P .
Twierdzenie 12. Jeśli E jest zbiorem zwartym i f ∈ C( E) to Mf ( E) i mf ( E) są skończone i są jednocześnie odpowiednio wartością największą i najmniejszą funkcji f na zbiorze E.
Twierdzenie 13. Jeśli E jest zbiorem zwartym i spójnym oraz f ∈ C( E) to Wf ( E) = [ mf ( E) , Mf ( E)] .
Wniosek 1. Niech a, b ∈ . Jeśli f : [ a, b] −→
jest ciągłe to f ([ a, b]) jest domkniętym
odcinkiem w , którego końcami są najmniejsza i największa wartość funkcji f na [ a, b] odpowiednio.
Twierdzenie 14. Jeśli P jest przedziałem w
i f : P −→
jest ciągłe to f ( P ) jest
odcinkiem w
, którego końcami są odpowiednio kres dolny i kres górny zbioru wartości funkcji
f na P .
3
6. Przekształcenia jednostajnie ciągłe
Dana są przestrzenie metryczne ( X, % 1) i ( Y, % 2) i funkcja f : X −→ Y .
Definicja 11. Mówimy, że przekształcenie f jest jednostajnie ciągłe gdy dla dowolnych ciągów punktów uk i vk przestrzeni X jeśli lim % 1( uk, vk) = 0 to lim % 2( f ( uk) , f ( vk)) = 0 .
k→∞
k→∞
Twierdzenie 15. Przekształcenie f jest jednostajnie ciągłe wtedy gdy dla dowolnego ε > 0
istnieje δ > 0 (zależna tylko od ε) taka, że dla dowolnego x ∈ X mamy f( K( x, δ)) ⊂ K( f( x) , ε) .
Wniosek 2. Jeśli przekształcenie f jest jednostajnie ciągłe to jest ciągłe.
Twierdzenie 16. Jeśli X jest zwarta i przekształcenie f jest ciągłe to f jest jednostajnie ciągłe.
7. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów funkcyjnych
Dana jest przestrzeń metryczna ( X, %) i niech E będzie niepustym podzbiorem X.
Niech
( E)
oznacza zbór funkcji określonych na E o wartościach rzeczywistych. Dla
f, g ∈
( E) określamy
M ( f, g) = M|f−g|( E) = sup {|f( x) − g( x) | : x ∈ E}
Załóżmy, że dany jest ciąg funkcji fn ∈
( E) i funkcja f ∈
( E).
Definicja 12. Mówimy, że ciąg fn jest zbieżny punktowo do funkcji f na zbiorze E jeśli dla dowolnego x ∈ E mamy
lim fn( x) = f ( x) i piszemy fn → f.
n→∞
Definicja 13. Mówimy, że ciąg fn jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze E jeśli lim M ( fn, f ) = 0 i piszemy fn
f na E.
n→∞
Twierdzenie 17. Ciąg fn jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze E wtedy i tylko wtedy gdy istnieje ciąg liczbowy an zbieżny do 0 i taki, że dla dowolnego x ∈ E i n ∈
mamy
|fn( x) − f( x) | ¬ an
Twierdzenie 18. Jeśli ciąg fn jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze E to ciąg fn jest zbieżny punktowo do funkcji f na zbiorze E.
Twierdzenie 19. Jeśli ciąg funkcji ciągłych fn jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze E to funkcja f jest ciągła na zbiorze E.
Zadania domowe
x
1. Dana jest funkcja f ( x) =
dla x ∈ + = [0 , ∞). Określamy
1 + 4 x
%( x, y) = | f( x) − f( y) | dla x, y ∈ +. Wykazać, że % jest metryką w
+
i wyznaczyć
kulę o środku y = 1 i promieniu r = 0 , 1 w tej metryce.
2. Dane są funkcje f 1( x) = sin x i f 2( x) = cos x określone dla x ∈ [0 , π]. Określamy
%j( x, y) = | fj( x) − fj( y) | dla x, y ∈ [0 , π] oraz j = 1 . 2. Czy %j jest metryką w [0 , π] .
π
Wyznaczyć ewntualnie kulę o środku y =
i promieniu r = 0 , 5 w tej metryce.
2
3. Dla x, y ∈
określamy %( x, y) = e−x − e−y . Wykazać, że % jest metryką w i
wyznaczyć kulę o środku x = 0 i promieniu r = 1 w tej metryce.
4
∞
1
1
4. Dany jest zbiór
[
A =
;
. Wyznaczyć brzeg, domknięcie i wnętrze
2 n+1
2 n
n=1
zbioru A. Czy zbiór A jest zwarty i spójny.
∞
2
5. Dany jest zbiór
[
A =
n ; n +
. Wyznaczyć brzeg, domknięcie i wnętrze
n
n=1
zbioru A. Czy zbiór A jest zwarty i spójny.
6. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji
x
√
a). f ( x) =
dla x ∈ [0 , ∞)
b). f ( x) =
x + 1 dla x ∈ [0 , ∞)
1 + 5 x
sin x
c). f ( x) = ex dla x ∈ ( −∞, 0) , dla x ∈
d). f ( x) =
dla x ∈ (0 , π) .
x
7. Zbadać zbieżność punktową i jednostajną danego ciągu funkcyjnego w danym zbiorze nx 2
a). fn( x) =
w [0 , 2] i w [0 , ∞)
x 2 + n
x
r
1
b). fn( x) = sin
w [0 , ∞)
c). fn( x) =
x 2 +
w [0 , 3]
n
n
d). fn( x) = x 2 ne−nx
w [0 , ∞) .
Ent( nf ( x))
8. Dana jest funkcja f określona na . Określamy ciąg funkcji
fn( x) =
dla
n
x ∈ . Wykazać, że ciąg fn jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na .
1
ODP. : 1. K(1; 0 , 1) =
; ∞
6
π
π 2 π
2. % 1 nie jest metryką, % 2 jest i K
; 0 , 5 =
;
2
3
3
3. K(0; 1) = ( − ln 2; ∞)
1
1
1
4. ∂A = 0;
, A = 0;
, int A = 0;
, A jest zbiorem spójnym i nie jest zwarty.
2
2
2
∞
2
2
∞
2
5.
[
[ [
∂A = { 1; 3 } [
n +
; n + 1
, A = 1; 3
n ; n +
, int A = A ,
n
3
n
n=3
n=4
A nie jest zbiorem spójnym i nie jest zwarty.
6. W a). , b). i d). funkcje są jednostajnie ciągłe; c). funkcja jest jednostajnie ciągła w ( −∞, 0) i nie jest jednostajnie ciągła w
.
7. a). ciąg jest zbieżny jednostajnie do f ( x) = x 2 w [0 , 2] i jest zbieżny punktowo w [0 , ∞) b). ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji f ( x) = 0 i nie jest zbieżny jednostajnie c). ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji f ( x) = x
d). ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji f ( x) = 0 .
Opracował prowadzący przedmiot
dr Wojciech Hyb
Katedra Zastosowań Matematyki
5