1. Podstawowe pojęcia w przestrzeni metrycznej ( X, d):
Definicja 1. Kula otwarta o środku w x 0 i promieniu r to zbiór:
K( x 0 , r) = Kr( x 0) = {x ∈ X : d( x, x 0) < r} .
Kula domknięta to zbiór:
¯
K( x 0 , r) = ¯
Kr( x 0) = {x ∈ X : d( x, x 0) ¬ r} .
Wiele dalszych pojęć będzie bazować na pojęciu kuli.
Przykłady:
1. Metryki w N ∪ { 0 }: odziedziczona z R, tzn. d( m, n) = |m − n|, vs. zadająca topologię ciągu 1 , tzn. ρ( m, n) = | 1 − 1 | dla m, n 6= 0, ρ(0 , m) = 1 .
n
m
n
m
2. Metryki w
n
R
pochodzące od norm: taksówkowa d 1, euklidesowa d 2 i maksimum d∞.
Jak wyglądają kule w tych metrykach w
2
R ?
3. Standardowa metryka w C([0 , 1]): d∞( f, g) = kf − gk∞ = sup
|
x∈[0 , 1] f ( x) − g( x) |. Jak
wygląda kula?
4. Inna metryka w C([0 , 1]): d 1( f, g) = R |f − g|d λ. Kule są znacząco inne niż w po-przedniej metryce!
Dalej rozważamy abstrakcyjną przestrzeń metryczną ( X, d). Najpierw zestaw definicji
uogólniających znane pojęcia dotyczące zbiorów.
Definicja 2. Średnicą zbioru A ⊂ X nazywamy liczbę
diam( A) = sup {d( x, y) : x, y ∈ A}
Średnicę często oznacza się też przez δ( A).
Definicja 3. Odstępem punktu x od zbioru A nazywamy liczbę
d( x, A) = inf {d( x, y) : y ∈ A}
(własności na ćwiczeniach)
Definicja 4. Zbiór A nazywamy ograniczonym, gdy istnieje kula Kr( x 0) taka, że A ⊂
Kr( x 0).
Równoważnie można zażądać, by średnica była skończona, ale powyższą definicję lepiej
będzie później uogólniać.
Powyższe definicje można używać także w kontekście przestrzeni, np. przestrzeń (N ∪
{ 0 }, ρ) z przykładu pierwszego jest ograniczona, a jej średnicą jest 1.
Definicja 5. Niech ( X, dX ) i ( Y, dY ) będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcja f : X → Y
jest ograniczona, gdy zbiór dY ( f ( X)) jest ograniczony (równoważnie diam( f ( X)) < ∞).
1
Definicja 6. -otoczenie zbioru A (kula uogólniona) to zbiór
K( A) = {x : d( x, A) < }.
2. Zbieżność w przestrzeniach metrycznych
Definicja 7. Ciąg ( xn) elementów przestrzeni ( X, d) jest zbieżny, gdy lim n→∞ d( xn, x) = 0.
Punkt x nazywamy wtedy granicą ciągu ( xn). Oznaczamy lim n xn = x lub xn → x.
Równoważnie, xn → x, gdy dla każdego > 0 istnieje n 0 takie, że dla wszystkich n > n 0
zachodzi xn ∈ K( x, ). Tę definicję będzie się w przyszłości wygodnie uogólniać.
Twierdzenie 1. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Dowód. Wystarczy wziąć kulę K( x, 1), gdzie x jest granicą rozważanego ciągu ( xn), znaleźć n 0, począwszy od którego wszystkie wyrazy ciągu zawierają się w K( x, 1), a nastepnie zauważyć, że cały ciąg zawiera się w kuli K( x, r), gdzie r = max { 1 , d( x, x 1) , ..., d( x, xn ) }.
0
Twierdzenie 2. Każdy ciąg zbieżny (w przestrzeni metrycznej) ma dokładnie jedną gra-
nicę.
Dowód. Gdyby były dwie granice x i y, to dla r = 1 d( x, y) kule K( x, r), K( y, r) nie 2
mogłyby być rozłączne, gdyż każda zawiera prawie wszystkie elementy ciągu. Inaczej, jeśli
xn → x i xn → y, to
0 ¬ d( x, y) ¬ d( x, xn) + d( xn, y) .
|
{z
}
|
{z
}
n→∞
n→∞
−→ 0
−→ 0
Twierdzenie 3. Każdy ciąg stały jest zbieżny.
Twierdzenie 4. Każdy podciąg ciągu zbieżnego do x jest zbieżny do tej samej granicy x.
Dowody oczywiste.
Twierdzenie 5. Jeżeli każdy podciąg ciągu ( xn) zawiera podciąg zbieżny do x, to xn → x.
Dowód. Przypuśćmy niewprost, że ( xn) nie jest zbieżny do x mimo, iż spełnia założenie.
Wtedy istnieje r takie, że nieskończenie wiele wyrazów ciągu ( xn) nie należy do K( x, r).
Te wyrazy tworzą podciąg, który nie zawiera podciągu zbieżnego do x.
Przykłady
1. W metryce dyskretnej zbieżne są tylko ciągi stałe.
2. W metryce ρ na N ∪ { 0 } z poprzedniego wykładu każdy podciąg ciągu N jest zbieżny do zera.
3. Co można powiedzieć o ciagach funkcji fn( x) = 1 x, g
n
n( x) = nx, hn( x) = xn w
przestrzeni C([0 , 1])?
2
Definicja 8. Ciąg ( xn) spełnia warunek Cauchy’ego (jest Cauchy’ego, jest podstawowy), gdy dla każdego > 0 istnieje n 0 ∈ N takie, że dla dowolnych m, n > n 0 zachodzi d( xm, xn) < .
Twierdzenie 6. Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego.
Dowód. Ustalmy > 0. korzystając z definicji zbieżności znajdźmy n 0 dla 1 (zamiast ).
2
Dla m, n > n 0 mamy
d( xm, xn) ¬ d( xm, x) + d( x, xn) <
+
= .
2
2
Odwrotne twierdzenie nie zachodzi, choć jesteśmy przyzwyczajeni do równoważności
warunku Cauchy’ego i zbieżności w
n
R (nawet w R ). Przykład: xn = − 1 w metryce „mur”.
n
3