000480 Przestrzenie metryczne

background image

Przestrzenie metryczne

1/6

1

1

1

X

480 Przestrzenie metryczne

Definicja

Niech

X

b

ę

dzie dowolnym niepustym zbiorem. Odwzorowanie

)

,

0

:

+∞

<

×

X

X

d

nazywamy

metryk

ą

na zbiorze

X

, gdy

0

)

,

(

y

x

d

,

y

x

y

x

d

=

=

0

)

,

(

,

jednoznaczno

ść

)

,

(

)

,

(

x

y

d

y

x

d

=

symetria

)

,

(

)

,

(

)

,

(

y

z

d

z

x

d

y

x

d

+

warunek trójk

ą

ta.

System

)

,

(

d

X

nazywamy

przestrzeni

ą

metryczn

ą

. Warto

ść

)

,

(

y

x

d

nazywamy

odległo

ś

ci

ą

mi

ę

dzy punktami

x

i

y

.

Definicja

Kul

ą

otwart

ą

o

ś

rodku w punkcie

X

x

i promieniu

0

>

r

w przestrzeni

metrycznej

)

,

(

d

X

nazywamy zbiór

}

)

,

(

:

{

)

,

(

r

y

x

d

X

y

r

x

K

<

=

.

Kul

ą

domkni

ę

t

ą

o

ś

rodku w punkcie

X

x

i promieniu

0

>

r

w przestrzeni

metrycznej

)

,

(

d

X

nazywamy zbiór

}

)

,

(

:

{

)

,

(

r

y

x

d

X

y

r

x

K

=

.

Definicja

Niech

X

b

ę

dzie dowolnym niepustym zbiorem. Odwzorowanie

)

,

0

:

+∞

<

×

X

X

d

,

=

=

y

x

y

x

y

x

d

gdy

,

1

,

gdy

,

0

)

,

(

nazywamy

metryk

ą

dyskretn

ą

na zbiorze

X

.


Kula otwarta w metryce dyskretnej

>

<

=

<

=

.

1

r

gdy

,

1

0

gdy

},

{

}

)

,

(

:

{

)

,

(

X

r

x

r

y

x

d

X

y

r

x

K

Kula domkni

ę

ta w metryce dyskretnej

<

<

=

=

.

1

r

gdy

,

1

0

gdy

},

{

}

)

,

(

:

{

)

,

(

X

r

x

r

y

x

d

X

y

r

x

K

Wniosek

)

,

(

)

,

(

r

x

K

r

x

K

=

dla wszystkich

1

r

.

Twierdzenie

W ka

ż

dym niepustym zbiorze

X

mo

ż

emy wprowadzi

ć

metryk

ę

.

background image

Przestrzenie metryczne

2/6

)

,

(

b

a

)

,

( d

c

Definicja

Metryk

ą

naturaln

ą

na prostej nazywamy odwzorowanie

)

,

0

:

+∞

<

×

R

R

d

nat

,

|

|

)

,

(

x

y

y

x

d

=

.

Kula otwarta w metryce naturalnej

)

,

(

}

:

{

}

|

|

:

{

)

,

(

r

a

r

a

r

a

x

r

a

R

x

r

a

x

R

x

r

a

K

+

=

+

<

<

=

<

=

Kula domkni

ę

ta w metryce naturalnej

>

+

=<

+

=

=

r

a

r

a

r

a

x

r

a

R

x

r

a

x

R

x

r

a

K

,

}

:

{

}

|

|

:

{

)

,

(

Wniosek

Kule otwarte w metryce naturalnej to przedziały otwarte, a kule domkni

ę

te to

przedziały domkni

ę

te

+

=

2

,

2

)

,

(

a

b

b

a

K

b

a

,

+

>=

<

2

,

2

,

a

b

b

a

K

b

a

Definicja

Metryk

ą

euklidesow

ą

na płaszczy

ź

nie

2

R

(a wi

ę

c i na zbiorze liczb

zespolonych

C

) nazywamy odwzorowanie

)

,

0

:

2

2

+∞

<

×

R

R

d

E

,

2

2

)

(

)

(

|

)

,

(

)

,

(

|

))

,

(

),

,

((

b

d

a

c

b

a

d

c

d

c

b

a

d

E

+

=

=

.

Kula otwarta w metryce euklidesowej

}

)

(

)

(

:

)

,

{(

)

),

,

((

2

2

2

2

r

b

y

a

x

R

y

x

r

b

a

K

<

+

=

Kula domkni

ę

ta w metryce euklidesowej

}

)

(

)

(

:

)

,

{(

)

),

,

((

2

2

2

2

r

b

y

a

x

R

y

x

r

b

a

K

+

=



Wniosek

Kule otwarte w metryce

euklidesowej to koła bez
brzegu, a kule domkni

ę

te to

koła z brzegiem.



a

a

b

b

a

d

=

)

,

(

b

o

o

R

background image

Przestrzenie metryczne

3/6

)

,

( b

a

)

,

( d

c

r

2

)

,

( b

a

)

,

( d

c

r

2

Definicja

Metryk

ą

maksimum

na płaszczy

ź

nie

2

R

(a wi

ę

c i na zbiorze liczb zespolonych

C

) nazywamy odwzorowanie

)

,

0

:

2

2

max

+∞

<

×

R

R

d

,

|}

|

|,

|

max{

))

,

(

),

,

((

max

b

d

a

c

d

c

b

a

d

=

.

Kula otwarta w metryce maksimum

}

|}

|

|,

max{|

:

)

,

{(

)

),

,

((

2

r

b

y

a

x

R

y

x

r

b

a

K

<

=

Kula domkni

ę

ta w metryce maksimum

}

|}

|

|,

max{|

:

)

,

{(

)

),

,

((

2

r

b

y

a

x

R

y

x

r

b

a

K

=



Wniosek

Kula otwarta o

ś

rodku w

punkcie

)

,

( b

a

i promieniu

0

>

r

w metryce maksimum to
kwadrat bez brzegu o

ś

rodku w

punkcie

)

,

( b

a

i boku

r

2

, a kula

domkni

ę

ta to kwadrat z

brzegiem.

Definicja

Metryk

ą

taksówkow

ą

na płaszczy

ź

nie

2

R

(a wi

ę

c i na zbiorze liczb

zespolonych

C

) nazywamy odwzorowanie

)

,

0

:

2

2

1

+∞

<

×

R

R

d

,

|

|

|

|

))

,

(

),

,

((

1

b

d

a

c

d

c

b

a

d

+

=

.

Kula otwarta w metryce taksówkowej

}

|

|

|

|

:

)

,

{(

)

),

,

((

2

r

b

y

a

x

R

y

x

r

b

a

K

<

+

=

Kula domkni

ę

ta w metryce taksówkowej

}

|

|

|

|

:

)

,

{(

)

),

,

((

2

r

b

y

a

x

R

y

x

r

b

a

K

+

=



Wniosek

Kula otwarta o

ś

rodku w

punkcie

)

,

( b

a

i promieniu

0

>

r

w metryce taksówkowej to
romb bez brzegu o

ś

rodku w

punkcie

)

,

( b

a

i

ś

rednicy

r

2

, a

kula domkni

ę

ta to romb z

brzegiem.


background image

Przestrzenie metryczne

4/6

)

,

( b

a

)

,

(

v

b

u

a

+

+

)

,

( v

u

)

),

,

((

)

,

(

)

),

,

((

r

v

b

u

a

K

v

u

r

b

a

K

+

+

=

+

Definicja

Je

ż

eli na zbiorze

X

jest zdefiniowane działanie dodawania spełniaj

ą

ce

aksjomaty A1-A4, to

metryk

ą

inwariantn

ą

wzgl

ę

dem translacji (niezmiennicz

ą

wzgl

ę

dem przesuni

ęć

)

nazywamy metryk

ę

spełniaj

ą

c

ą

poni

ż

szy warunek

dla dowolnych

,

,

,

X

w

y

x

)

,

(

)

,

(

y

x

d

w

y

w

x

d

=

+

+

Wniosek

Je

ś

li

d

jest metryk

ą

inwariantn

ą

wzgl

ę

dem

translacji, to translacja ka

ż

dej

kuli o

ś

rodku w

x

o element

(wektor)

w

jest nadal kul

ą

(o

ś

rodku w

w

x

+

) i tym samym

promieniu, tzn.

)

,

(

)

,

(

r

w

x

K

w

r

x

K

+

=

+

,

)

,

(

)

,

(

r

w

x

K

w

r

x

K

+

=

+

Przykład

Metryka dyskretna (na zbiorze

X

z dodawaniem), naturalna na prostej,

metryka euklidesowa, metryka maksimum i metryka taksówkowa s

ą

inwariantne wzgl

ę

dem translacji.

Uwaga

...

)

2

1

),

0

,

0

((

)

1

),

0

,

0

((

)

1

),

0

,

0

((

)

1

),

0

,

0

((

max

1

max

K

K

K

K

E

...

)

2

1

),

0

,

0

((

)

1

),

0

,

0

((

)

1

),

0

,

0

((

)

1

),

0

,

0

((

max

1

max

K

K

K

K

E

background image

Przestrzenie metryczne

5/6

)

,

( b

a

)

,

( d

c

rzeka

r

2

Definicja

Metryk

ą

rzeki

na płaszczy

ź

nie

2

R

(a wi

ę

c i na zbiorze liczb zespolonych

C

)

nazywamy odwzorowanie

)

,

0

:

2

2

+∞

<

×

R

R

d

r

,

+

+

=

=

.

gdy

|,

|

|

|

|

|

,

gdy

|,

|

))

,

(

),

,

((

c

a

b

a

c

d

c

a

b

d

d

c

b

a

d

r

.

Kula otwarta w metryce rzeki

>

<

+

<

<

=

.

|

|

r

gdy

},

|

|

|

|

:

)

,

{(

}

|

|

:

)

,

{(

|,

|

r

gdy

},

|

|

:

)

,

{(

)

),

,

((

2

2

2

b

b

r

y

a

x

R

y

x

r

b

y

R

y

a

b

r

b

y

R

y

a

r

b

a

K

Wniosek

Kula otwarta o

ś

rodku

w punkcie

)

,

( b

a

i

promieniu

0

>

r

w

metryce rzeki to albo
odcinek otwarty
prostopadły do osi
rzeki (gdy

b

r

<

0

),

albo romb bez brzegu
o

ś

rednicy

r

2

(gdy

0

=

b

), albo suma tych

dwóch zbiorów (gdy

0

>

>

b

r

).

Metryka rzeki

nie

jest inwarianta wzgl

ę

dem translacji.

Definicja

Metryk

ą

kolei paryskiej

na płaszczy

ź

nie

2

R

(a wi

ę

c i na zbiorze liczb

zespolonych

C

) nazywamy odwzorowanie

)

,

0

:

2

2

+∞

<

×

R

R

d

k

,



+

+

+

+

=

przypadku.

przeciwnym

w

,

|

)

,

(

),

,

(

punkty

gdy

,

)

(

)

(

|

))

,

(

),

,

((

2

2

2

2

2

2

d

c

b

a

d

c

b

a

b

d

a

c

d

c

b

a

d

k

e

wspóliniow

Kula otwarta w metryce kolei paryskiej

>

+

>

=

<

=

=

<

+

=

=

+

<

<

+

=

=

=

.

0

gdy

,

,

r

0

b

a

gdy

},

:

)

,

{(

,

r

0

gdy

},

)

(

)

(

:

)

,

{(

)

),

,

((

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b

a

r

B

A

r

y

x

R

y

x

B

b

a

r

b

x

a

b

a

x

R

x

a

b

x

A

r

b

a

K

background image

Przestrzenie metryczne

6/6

)

,

( b

a

)

,

( d

c

)

0

,

0

(

Wniosek

Kula otwarta o

ś

rodku w punkcie

)

,

( b

a

i

promieniu

0

>

r

w metryce kolei paryskiej

to albo odcinek otwarty le

żą

cy na prostej

przechodz

ą

cej przez punkt

)

0

,

0

(

(gdy

2

2

0

b

a

r

+

<

), albo koło bez brzegu o

ś

rednicy

r

(gdy

)

0

,

0

(

)

,

(

=

b

a

), albo suma

tych dwóch zbiorów (gdy

0

2

2

>

+

>

b

a

r

).

Metryka kolei paryskiej

nie

jest inwarianta wzgl

ę

dem translacji.




Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
1 Przestrzenie metryczneid 8656
Definicja przestrzeni metrycznej Zbieżność ciągów w przestrzeni metrycznej
zagadnienia, punkt 2, II Przestrzenie metryczne zupełne
2 Przestrzenie metryczneid 19646
2. Przestrzenie metryczne
Algebra liniowa Przestrzenie metryczne
przestrzenie metryczne 08
lista analiza 2008 4 przestrzenie metryczne
3 Przestrzenie metryczne
przestrzenie metryczne 08
źwyklad przestrzenie metryczne
9 - Przestrzenie metryczne cd, Analiza matematyczna
26.Definicja przestrzeni metrycznej. Zbieznosc ciagow w przestrzeni metrycznej, Studia, Semestr VI,
8 - Przestrzeń metryczna, Analiza matematyczna
3. Przestrzenie metryczne
1. Przestrzenie metryczne
Przestrzenie metryczne

więcej podobnych podstron