Wykład 3

1. Wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru (ciąg dalszy) Dla każdego zbioru możemy też wyróżnić
punkty, które są punktami skupienia jednocześnie dla A i A

c

:

Definicja 1. Brzeg zbioru A to zbiór ∂A = A ∩ A

c

.

Inne oznaczenie: Fr(A). Warto też zapamiętać wzór:

∂A = A \ int (A)

Przykłady:

1. Domknięcia, wnętrza i brzegi K(0, 1), Z, Q w R z naturalną metryką.

2. Domknięcie kuli otwartej to niekoniecznie kula domknięta. Wnętrze kuli domkniętej

to niekoniecznie kula otwarta - patrz metryka dyskretna.

Klasyfikacja punktów przestrzeni (względem ustalonego zbioru A):

Definicja 2. Niech A ⊂ X. Punkt x ∈ X nazywamy:

1. punktem wewnętrznym zbioru A, gdy istnieje  > 0, dla którego K(x, ) ⊂ A,

2. punktem brzegowym zbioru A, gdy dla każdego  > 0 zachodzi K(x, ) ∩ A 6= φ i

K(x, ) ∩ A

c

6= φ,

3. punktem zewnętrznym zbioru A, gdy istnieje  > 0, dla którego K(x, ) ⊂ A

c

,

Stwierdzenie 1. Wnętrze zbioru A to zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru A.
Domknięcie A to zbiór wszystkich punktów wewnętrznych i brzegowych zbioru A.

Dowód. Jeśli x ∈ int (A), to z otwartości wnętrza x zawiera się w int (A), a tym bardziej w
A, wraz z pewną kulą, więc jest punktem wewnętrznym. Na odwrót, jeśli x jest punktem
wewnętrznym A, to odpowiednia kula K(x, ) zawarta w A musi zawierać się w int (A) jako
zbiór otwarty (ale niekoniecznie największy) zawarty w A.

Przypuśćmy teraz, że x ∈

A, ale x nie jest punktem wewnętrznym A. Wtedy istnieje

ciąg elementów x

n

∈ A zbieżny do x, czyli K(x, )∩A 6= φ dla każdego  > 0. Ale skoro x nie

jest punktem wewnętrznym, to w każdej kuli K(x, ) można znaleźć punkt z A

c

, więc x jest

brzegowy. Na odwrót, jeśli x jest wewnętrzny lub brzegowy, ale należy do A, to oczywiście
x ∈ A, bo A ∈ A, a jeśli x jest brzegowy i nie należy do A, to w każdej kuli K(x, ) znajduje
się element z A (i musi być różny od x 6∈ A), więc x ∈ A.

2. Topologia

Wprowadzimy pojęcie, które może mieć sens nawet, gdy nie ma metryki.

Definicja 3. Zbiór U nazywamy otoczeniem punktu x, gdy x ∈ U i U jest otwarty.

W przestrzeni metrycznej otoczenia można stosować właściwie zamiennie z kulami, bo z

jednej strony każda kula otwarta o środku w x jest otoczeniem x, a z drugiej każde otoczenie
x zawiera wraz z tym x jakąś kulę otwartą. Można więc na przykład powiedzieć, że x jest
punktem wewnętrznym A, gdy istnieje otoczenie x zawarte w A, a A jest otwarty wtedy i
tylko wtedy, gdy każdy x siedzi w A wraz z pewnym otoczeniem.

1

Definicja 4. Rodzinę wszystkich zbiorów otwarych w X nazywamy topologią w X.

Niektóre metryki mogą zadawać takie same rodziny zbiorów otwartych mimo, że odle-

głości między poszczególnymi punktami są różne. Wtedy w obu tych metrykach zbieżne są
te same ciągi (i to do tych samych granic). Może być tak, że topologia jednej metryki d

1

jest

zawarta w topologii metryki d

2

(ta pierwsza nazywana jest słabszą, a ta druga mocniejszą),

wtedy każdy ciąg zbieżny w d

2

jest automatycznie zbieżny w d

1

, ale niekoniecznie odwrot-

nie. A możliwe, że nie ma żadnych istotnych związków między dwiema różnymi topologiami
w X.

Pojęcie zbieżności jest więc faktycznie związane raczej z konkretną topologią niż z kon-

kretną metryką. Dlatego można (lub trzeba!) niekiedy zrezygnować z metryki, a podać jaka
jest topologia. Przestrzenie w których zadano topologię nazywamy przestrzeniami topolo-
gicznymi, a od topologii τ wymaga się jedynie by spełniała warunki:

1. φ ∈ τ i X ∈ τ

2. Suma dowolnej liczby elementów τ należy do τ

3. Przekrój skończonej elementów τ należy do τ .

2