Rozkład liczby jaj w gniazdach dwóch gatunków

ptaków

0

2

4

6

8

1

2

3

3

4

5

6

7

8

0

2

4

6

8

1

2

3

3

4

5

6

7

8

N

N

liczba jaj

liczba jaj

Próbę (populację) charakteryzuje się

za pomocą następujących statystyk

(parametrów):

• Miary położenia

• centralne

- charakteryzują

przeciętny

poziom wartości

zmiennej

•

kwantyle

- wartości zmiennej,

które

dzielą uporządkowany

zbiór danych na

określone części

•

Miary (wskaźniki) rozproszenia

-

oceniają

rozrzut wartości

zmiennej

• klasyczne

• pozycyjne

• Miary zmienności

Modalna

(Moda) (M

0

)- wartość zmiennej, która występuje

najczęściej

CENTRALNE MIARY

POŁOŻENIA

0

20

40

60

80

100

1

2

3

4

5

6

Liczba plam na pokrywie pewnego gatunku chrząszcza

Rozkład jednomodalny

N

Modalna

0

20

40

60

80

100

1

2

3

4

5

6

3,5

N

• dla małych prób wyznaczenie mody jest często
problematyczne

• w praktyce ma bardzo ograniczone zastosowanie

Modalna

1

-

1

0

1

-

0

0

n

-

n

-

n

*

2

n

-

n

*

h

x

Mo







Dla szeregów rozdzielczych wartość modalną
wyznacza się ze wzoru interpolacyjnego

x

0

- dolna granica przedziału mody (modalnego)

h - szerokość przedziału
n

0

- liczebność w przedziale mody

n

0+1

- liczebność przedziału następnego po modalnym

n

0-1

- liczebność przedziału poprzedzającego

Dla szeregów rozdzielczych (nawet gdy próba jest duża) jej

wartość jest uzależniona od przyjętego podziału na

klasy

Rozkłady wielomodalne

(świadczą o niejednorodności zbioru danych)

0

20

40

60

80

100

1

2

3

4

5

6

Liczba plam na pokrywie pewnego gatunku chrząszcza

Rozkład dwumodalny

(bimodalny)

0

20

40

60

80

100

1

2

3

4

5

6

Rozkład trójmodalny

(trimodalny)

CENTRALNE MIARY POŁOŻENIA

Średnia arytmetyczna

- suma wszystkich wartości

zmiennej
podzielona przez ich liczebność

•służy do oszacowania średniej populacji; wraz ze

wzrostem liczebności próby jej wartość jest coraz
bliższa średniej populacji

•ma zastosowanie do danych w skali interwałowej i

ilorazowej

•duży wpływ na jej wartość mają wartości skrajne

zmiennej, zwłaszcza przy małej liczebności próby

• obliczanie jej dla rozkładów znacznie odbiegających

od normalnego nie ma sensu

x

0

1

2

3

4

5

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

N

[mm]

Rozkład długości skrzydła pewnego gatunku motyla

2

5

,0

m

m

N=16

2

5

,6

m

m

N=17

0

20

40

60

80

100

120

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

N

[mm]

=27,4

x

Rozkład długości skrzydła pewnego gatunku motyla

Średnia arytmetyczna ważona

Stosuje się ją, gdy obliczamy średnią z już obliczonych
średnich i gdy nie są one równocenne, np.: różna
liczebność prób, różna powierzchnia badawcza z której
pobrano próby, różna dokładność pomiarów.

w

i

- tzw. waga. Może to być np.liczebność próby, powierzchnia lasu,

itp. Przy obliczaniu średniej z pomiarów mierzonych z różną
dokładnością wagi są odwrotnością kwadratów błędu.















n

i

1

i

i

n

i

1

i

i

i

w

w

x

*

w

x

Średnia arytmetyczna ważona

Należy obliczyć średnią pierśnicę sosen o określonym wieku,
rosnących w danym kompleksie leśnym

Osoba

mierząc

a

Średnia

[cm]

N

A

75,0

5

B

68,3

20

C

69,2

30

D

60,5

100

7

,

63

)

100

30

20

5

(

)

100

*

5

,

60

(

)

30

*

2

,

69

(

)

20

*

3

,

68

(

)

5

*

0

,

75

(

w

x

*

w

x

n

i

1

i

i

n

i

1

i

i

i

w































=68,
2

x

Wynik obliczenia średniej ze średnich uzyskanych przez
poszczególne osoby

Średnia arytmetyczna ważona

Należy obliczyć średnią pierśnicę sosen o określonym wieku,
rosnących w danym kompleksie leśnym

7

,

75

1

1

1

1

1

1

......

5

1

5

1

5

1

5

1

1

1

*

83

1

1

*

85

1

1

*

79

......

5

1

*

70

5

1

*

65

5

1

*

70

5

1

*

60

w

x

*

w

x

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

n

i

1

i

i

n

i

1

i

i

i

w























































































































































































































=72,
0

x

Wynik obliczenia średniej ze wszystkich
wyników

1) 60; 70; 65; 70; 55; 60; 80; 75; 75; 70 – dokładność 5 cm

2) 59; 71; 69; 82; 66; 78; 88; 79; 85; 83 – dokładność 1 cm

Dwie osoby otrzymały następujące wyniki w cm

Przy obliczaniu średniej z pomiarów mierzonych z różną dokładnością wagi są
odwrotnością kwadratów błędu.

średnia geometryczna

- stosuje się ją gdy wyniki

zmieniają się w przybliżeniu w postępie geometrycznym.
Np. obliczając średnią ze współczynników śmiertelności lub
przyrostu w szeregach czasowych.

n

n

3

2

1

G

x

*

...

*

x

*

x

*

x

X 

średnia harmoniczna

-służy do obliczania tzw.

efektywnej wielkości populacji (genetyka populacyjna) lub
przy obliczaniu średniej wartości z pomiarów, które różnią
się od siebie o kilka rzędów wielkości.









n

i

1

i

i

H

x

1

n

x

• Można ją stosować do liczb dodatnich

• Pozwala nadać większe znaczenie mniejszym wartościom w zbiorze
danych

Obliczanie średniej geometrycznej ma sens tylko dla liczb
nieujemnych
Jeśli jeden z elementów jest równy 0, to średnia geometryczna też
równa się 0.

KWANTYLE

KWANTYLE

-

wartości, które dzielą zbiór danych na

części o jednakowej liczbie elementów.

Do najczęściej stosowanych należą:

•

Kwartyle

(wartości ćwiartkowe) - podział na 4 części

•

mediana = drugi kwartyl (dzieli zbiór na 2 części)

•

Decyle

- podział na 10 części

•

Percentyle

(centyle) - podział na 100 części

Mają zastosowanie do danych w skali interwałowej,
ilorazowej i porządkowej

Wyznaczanie decyli ma sens gdy liczebność próby jest duża (N100)

Mediana

(Me) – (drugi kwartyl) wartość środkowa, która

dzieli uporządkowany zbiór danych na dwie równe części.
Oznacza to, że tyle samo pomiarów znajduje się powyżej i
poniżej mediany. Gdy liczba pomiarów jest parzysta, to
oblicza się średnią z dwóch sąsiadujących, środkowych
elementów.

MEDIANA

•

na jej wartość nie mają wpływu wartości skrajne

• może być stosowana w przypadku rozkładów różnych od
normalnego

• może być stosowana do skali interwałowej, ilorazowej i
porządkowej

• żeby wyznaczyć medianę nie musimy dysponować wszystkimi

pomiarami - trzeba tylko znać ich pozycję w

uporządkowanym szeregu

np: 0, 1, 2, 5, 6, 7, 9 Me = 5

np: 0, 1, 2, 5, 6, 7, 9, 11 Me = 5,5

N

[mm]

0

1

2

3

4

5

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Rozkład długości skrzydła pewnego gatunku motyla

2

5

m

m

N=16

N=17

2

5

m

m

0

1

2

3

4

5

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

N

[mm]

2

5

,0

m

m

Me=

x

W rozkładach symetrycznych mediana równa się średniej arytmetycznej

0

20

40

60

80

100

120

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Me=33,5

N

[mm]

=32,5

x

Mediana i średnia arytmetyczna w rozkładach skośnych











 





o

o

o

F

2

N

*

n

h

x

Me

x

0

- dolna granica przedziału mediany

h - szerokość przedziału
n

0

- liczebność w przedziale mediany

N - liczebność próby
F

0

- liczebność skumulowana przedziału poprzedniego

Jeśli występują rangi wiązane, lub gdy dane
pogrupowane są w szereg przedziałowy, to do
wyznaczenia mediany zaleca się stosować wzór
interpolacyjny

MEDIANA

WYZNACZANIE MEDIANY DLA DANYCH CIĄGŁYCH

• Gdy liczba pomiarów jest nieparzysta, to medianę

stanowi wartość środkowego elementu szeregu.

• Gdy liczba pomiarów jest parzysta, to oblicza się średnią

z dwóch sąsiadujących, środkowych elementów.

• Jeśli dane pogrupowane są w szereg przedziałowy, to

medianę stanowi środek przedziału, w którym ona się
znajduje.

MEDIANA

WYZNACZANIE MEDIANY DLA DANYCH NIECIĄGŁYCH

Liczba

dni

N

1-4

32

5-9

16

10-13

2

14-17

2

Me=2,5

N=52

Dane nieciągłe

Ciężar

nasiona

[g]

N

1-4

32

5-9

16

10-13

2

14-17

2

Me=3,3

N=52

Dane ciągłe

Mediana ma też zastosowanie przy analizie zjawisk
fenologicznych do obliczania środkowej (przeciętnej) daty
np. przelotu, pojawu, kwitnienia itp.

data

1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V

7 V

8 V 9 V 10 V 11 V 12 V 13 V 14 V 15 V

liczebność

1

4 15 22 19 30

32

30

29

14

10

3

1

1

1

szereg
skumulowany

1

5 20 42 61 91

123

153 182 196 206 209 210 211 212

szereg
procentowy
skumulowany

0

2

9 20 29 43

58

72

86

92

97

99

99 100 100

Liczba osobników pewnego gatunku rośliny zakwitających w kolejnych dniach

0

5

10

15

20

25

30

35

1 V

2 V

3 V

4 V

5 V

6 V

7 V

8 V

9 V 10 V 11 V 12 V 13 V 14 V 15 V

N

drugi kwartyl (Q

2

) = mediana

Pierwszy kwartyl

(Q

1

) - 25% elementów zbioru ma wartości nie

większe, a 75% nie mniejsze od tego elementu.

Trzeci kwartyl

(Q

3

) - 75% elementów zbioru ma wartości nie

większe, a 25% nie mniejsze od tego elementu.

KWARTYLE

-3

-2

-1

0

1

2

3

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

25%

25%

25%

25%

wartości, które dzielą uporządkowany zbiór danych na

cztery równe części

WYZNACZANIE PIERWSZEGO I

TRZECIEGO KWARTYLA

A: 1, 2, 4, 5, 8, 12, 13, 18, 22 (N=9)

B: 1, 2, 4, 5, 8, 12, 13, 18, 22,

25 (N=10)

4

X

Q

)

1

n

(

1





1

)

1

n

(

3

Q

X

Q







wynik zaokrągla się do najbliższej liczby
będącej wielokrotnością 0,5

(13+18)/2=

25,5

X

(8)

=

18

OBLICZANIE KWARTYLI DLA DANYCH NIECIĄGŁYCH

)

5

,

2

(

)

1

9

(

1

4

X

X

Q







(2+4)/2=

3

)

5

,

7

(

)

5

,

2

(

)

1

9

(

1

X

X

X

Q









)

3

(

)

75

,

2

(

)

1

10

(

1

4

X

X

X

Q









(2+4)/2=

3

)

8

(

)

3

(

)

1

10

(

1

X

X

X

Q









Jeśli występują rangi wiązane, lub gdy dane pogrupowane są w
szereg przedziałowy, to do wyznaczenia kwartyli zaleca się stosować
wzór interpolacyjny











 





o

o

o

1

F

4

N

*

n

h

x

Q



















o

o

o

3

F

4

3N

*

n

h

x

Q

x

0

- dolna granica przedziału pierwszego lub trzeciego

kwartyla
h - szerokość przedziału
n

0

- liczebność przedziału pierwszego lub trzeciego

kwartyla
N - liczebność próby
F

0

- liczebność skumulowana przedziału poprzedniego

OBLICZANIE KWARTYLI DLA DANYCH CIĄGŁYCH

WYZNACZANIE PIERWSZEGO I

TRZECIEGO KWARTYLA

WYZNACZANIE PIERWSZEGO I

TRZECIEGO KWARTYLA

Liczba

dni

N

2

2

3

32

4

16

5

2

Ciężar

nasiona

[g]

N

2

2

3

32

4

16

5

2

Me=3

N=52

Dane nieciągłe

Me=3,3

N=52

Dane ciągłe

Q

1

=3

Q

3

=4

Q

1

=2,8

Q

3

=3,7

MIARY ROZPROSZENIA

Rozkład liczby nasion w strąkach pewnej rośliny

0

2

4

6

1

2

3

3

4

5

6

7

8

9

N

N

0

2

4

6

8

10

1 2 3 3 4 5 6 7 8 9

Rozstęp

- różnica między największą i najmniejszą

wartością w zbiorze danych
Określają go tylko dwie skrajne wartości, a pozostałe
pomiary nie mają wpływu na jego wartość
Częściej podaje się zamiast niego zakres od 5% do 95%
wszystkich wartości wokół średniej arytmetycznej (lub
mediany)

Rozstęp międzykwartylarny

(międzykwartylowy)

(kwartylny) (odchylenie ćwiartkowe)

- różnica miedzy

trzecim i pierwszym kwartylem.
Jest to część zbioru danych zawierająca 50% wszystkich
wartości wokół średniej arytmetycznej (lub mediany)

Me

Q

3

Q

1

Rozstęp

Odchylenie ćwiartkowe

Odchylenie standardowe i wariancja

1. Obliczyć średnią arytmetyczną
2. Odjąć od każdego elementu szeregu średnią - otrzymuje się
odchylenia od

średniej

3. Podnosimy każdą wartość odchylenia od średniej do kwadratu i
sumujemy je otrzymując sumę kwadratów odchyleń
4. Obliczamy wariancję

 

2

1

1

2

n

x

x

s

n

i

i











Odchylenie standardowe wyrażone jest w tych samych jednostkach,
co średnia arytmetyczna

.

Informuje o ile średnio poszczególne pomiary różnią się od średniej,
czyli jaki jest błąd bezwzględny pojedynczego wyniku.

Jest najważniejszą miarą rozrzutu danych wokół średniej

5. Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji

Współczynnik zmienności

•

Dotyczy tylko skali ilorazowej

•

Wynik często mnoży się przez 100 aby wyrazić go w procentach

•

Umożliwia porównanie zmienności szeregów statystycznych

różniących się

znacznie wartością średniej

x

s

V 

W przypadku małych prób stosuje się zmodyfikowany wzór

x

s

*

n

*

4

1

1

V











 









n

x

s

odchylenie standardowe

średnia arytmetyczna

liczebność próby

Wskaźnik różnorodności biologicznej

Dla danych w skali nominalnej

WSKAŹNIK RÓŻNORODNOŚCI SHANNON-

WIENERA

(wskaźnik Shanon-Weavera)

log - logarytm o podstawie dziesiętnej ale może być dowolny
logarytm, ponieważ można przeliczać wartości logarytmów o różnej
podstawie:

n

)

f

log(

*

f

)

n

log(

*

n

'

H

k

i

1

i











k - liczba kategorii; f - liczba obserwacji w danej kategorii

Wartości do przeliczania logarytmów o różnej podstawie

Podstawa 2 (log

2

) Podstawa e (ln) Podstawa 10 (log)

Podstawa 2 (log

2

)

1,0000

1,4427

3,3219

Podstawa e (ln)

0,6931

1,0000

2,3026

Podstawa 10 (log)

0,3010

0,4343

1,0000

Przeliczanie z:

Przeliczanie na:

max

'

H

'

H

'

J 

Wskaźnik jednorodności

(J’)

odnosi

obserwowaną różnorodność do maksymalnej
możliwej różnorodności:

Teoretyczna, maksymalna

różnorodność

)

k

log(

'

H

max



•

Jeśli na 20 drzew aż 19 to brzozy, mówimy o bardzo niskiej

zmienności

(różnorodności)

• Jeśli na 20 drzew odnotowaliśmy po 5 brzóz, grabów, klonów i
buków,

mówimy o bardzo wysokiej zmienności

(różnorodności)

wartość współczynnika różnorodności zależy od liczby kategorii (gatunków)

PRZYKŁAD:

H’=0,68

(k=5)

H’=0,68

(k=10)

H’max= log 5 = 0,6989 = 0,70

H’max= log

10 = 1,00

J’ = 0,97

J’=0,68

PODSUMOWANIE

•

Rozkład jednomodalny i względnie symetryczny -

średnia arytmetyczna

•

Rozkład jednomodalny i niesymetryczny -

mediana

•

Rozkład wielomodalny -

wartości modalne

Do skali porządkowej nie stosuje się wzorów interpolacyjnych

Skala interwałowa

Skala ilorazowa

Skala porządkowa

Skala nominalna

Modalna

Mediana

(kwantyle)

Średnia arytmetyczna

Modalna

Mediana

(kwantyle)

Średnia arytmetyczna

Modalna

Mediana

(kwantyle)

Miary położenia

PODSUMOWANIE

•

Średnia arytmetyczna ------

Odchylenie standardowe

•

Mediana ------------------------

Odchylenie ćwiartkowe

Skala interwałowa Skala ilorazowa Skala porządkowa Skala nominalna

Rozstępy

Odchylenie

standardowe

Rozstępy

Odchylenie

standardowe

Współczynnik

zmienności

Rozstępy

Wskaźnik

różnorodności

Miary rozproszenia i zmienności

MIARA SKOŚNOŚCI (SYMETRII) ROZKŁADU

średnia arytmetyczna = 3,0
odchylenie standardowe = 1,11

N

N

N

MIARA SKOŚNOŚCI (SYMETRII) ROZKŁADU

Współczynnik skośności (asymetrii) rozkładu

• gdy jest równy 0 – rozkład idealnie symetryczny

(A)

• gdy jest dodatni – rozkład prawoskośny

(B)

• gdy jest ujemny – rozkład lewoskośny

(C)

(A)

(B)

(C)

MIARA KONCENTRACJI (SPŁASZCZENIA) ROZKŁADU

Kurtoza

• gdy jest równa 0 – rozkład normalny (mezokurtyczny)

(A)

• gdy jest dodatnia – rozkład wysmukły (leptokurtyczny)

(B)

• gdy jest ujemna – rozkład spłaszczony (platykurtyczny)

(C)

(A
)

(B
)

(C)

Wykres ramkowy

(wykres „pudełko z wąsami”)

10

20

12

14

16

18

[kg]

10

20

12

14

16

18

[kg]

x

+ s

- s

max

min

max

min

Me

Q3

Q1

Dla średniej arytmetycznej

Dla mediany

Skośność = 1,30

Rozkład prawoskośny

Rozkład symetryczny

Skośność = 0,11

Wykres ramkowy