1
ELEKTROTECHNIKA II
prof. dr hab. inż. T. Niedziela
1
ELEKTROTECHNIKA II
prof. dr hab. inż. T. Niedziela
2
Układy trójfazowe
3
Literatura
1. Bolkowski S.: Elektrotechnika. Wydawnictwo
Szkolne i Pedagogiczne Spółka Akcyjna, Warszawa
1993.
2. Bolkowski S.: Elektrotechnika teoretyczna, Tom 1,
Teoria obwodów elektrycznych. Wydawnictwo
Naukowo – Techniczne, Warszawa 1986.
3. Goźlińska E. Maszyny elektryczne. Wydawnictwo
Szkolne i Pedagogiczne Spółka Akcyjna, Warszawa
1995r.
4. Lucyk C. Zasady energoelektryki. Oficyna
Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa
2000.
5. Lucyk C. Elektrotechnika podstawowa, Warszawa
2006. –
/-clucyk
4
Wstęp
Energia elektryczna
przy napięciu i prądzie
zmiennym
lepiej nadaje się do przesyłania na duże
odległości niż energia elektryczna przy napięciu i
prądzie zmiennym.
Zatem wytwarzanie, przesyłanie i rozdzielanie energii
elektrycznej aktualnie jest dokonywane przy użyciu
urządzeń prądu zmiennego.
Spośród wszystkich stosowanych w elektrotechnice
przebiegów zmiennych najbardziej rozpowszechnione
są
przebiegi o zmienności sinusoidalnej
w czasie.
5
5
5
Podstawowe pojęcia
Układ wielofazowy
to zbiór obwodów
elektrycznych, w których działają napięcia
źródłowe sinusoidalnie zmienne o jednakowej
częstotliwości, przesunięte względem siebie w
fazie i wytwarzane w jednym źródle energii
zwanym
prądnicą
lub
generatorem
wielofazowym.
Poszczególne obwody prądnicy wielofazowej
nazywamy
obwodami fazowymi
-
fazami
(według normy PN-90/E-01242 oznaczeniami
(według normy PN-90/E-01242 oznaczeniami
faz są
faz są
L
1
, L
2
, L
2
i
N
)
)
.
.
Początki uzwojeń kolejnych faz prądnicy
oznaczamy
U1, V1, W1
, a końce faz
U2, V2, W2
.
6
6
6
W prądnicy trójfazowej rozróżniamy
STATOR
(nazywany
stojanem) – w którym są
umieszczone uzwojenia, oraz
ROTOR
(wirnik)
pełniący rolę magneśnicy i wirujący ze stałą
prędkością kątową.
Zasada działania prądnicy
polega na
polega na
przecinaniu
trzech,
przesuniętych
przecinaniu
trzech,
przesuniętych
przestrzennie o kąt 2π/3, uzwojeń przez stały
przestrzennie o kąt 2π/3, uzwojeń przez stały
strumień magnetyczny wytworzony w wirniku.
strumień magnetyczny wytworzony w wirniku.
Do
wytwarzania
napięć
w
układzie
trójfazowym służą
prądnice trójfazowe
(generatory) .
7
W każdym
uzwojeniu fazowym indukuje się
napięcie źródłowe e sinusoidalnie zmienne
, przy
czym ze względu na symetrię układu i przesunięcie
przestrzenne uzwojeń o ten sam kąt, w fazach
indukują się napięcia o jednakowych amplitudach, o
tej samej częstotliwościach i przesunięte względem
siebie o 1/3 okresu. Równania chwilowe napięć
źródłowych wytwarzanych w prądnicy trójfazowej
mają postać:
8
sin
A
m
e
E
t
w
=
2
sin
3
B
m
e
E
t
p
w
�
�
=
-
�
�
�
�
2
sin
3
C
m
e
E
t
p
w
�
�
=
+
�
�
�
�
9
Równania napięć źródłowych
Równania napięć źródłowych
(napięć
(napięć
fazowych)
fazowych)
wytwarzanych w prądnicy
trójfazowej, można przedstawić również
w
w
postaci zespolonej
postaci zespolonej
Napięcie źródłowe fazy B
Napięcie źródłowe fazy B
opóźnia się o kąt
2π/3 względem napięcia źródłowego fazy A,
natomiast
napięcie źródłowe fazy C
opóźnia
się
o
kąt
2π/3
względem
napięcia
źródłowego fazy B, a wyprzedza o 2π/3
napięcie źródłowe fazy A.
A
E
E
=
2
3
j
B
E
Ee
p
-
=
2
3
j
C
E
Ee
p
=
10
3
2
л
3
2
3
2
л
A
E
C
E
B
E
a)
Układ napięć będziemy nazywać układem
symetrycznym zgodnym (rys. 2a), gdy przy
(zaznaczonym na rys. 2a) dodatnim kierunku
wirowania, następstwo faz jest zgodne, przez
co rozumiemy następstwo A, B, C. Rys 2.
11
Układ napięć nazywamy układem symetrycznym
przeciwnym, gdy przy (zaznaczonym na rys. 2b)
dodatnim kierunku wirowania, następstwo faz jest
przeciwne w stosunku do przyjętego za zgodne, czyli
A
,
C, B.
Rys 2
3
2
л
3
2
3
2
л
A
E
B
E
C
E
b)
A
E
C
E
c)
12
Układ trójfazowy
został po raz pierwszy
zastosowany w 1889 r. Ważnym osiągnięciem było
wówczas opracowanie urządzeń do wytwarzania i
przetwarzania energii prądu trójfazowego.
Zostały
zbudowane,
oprócz
prądnicy
trójfazowej
,
transformator trójfazowy
oraz
silnik indukcyjny trójfazowy
.
Silnik trójfazowy
okazał się najtańszym i bardzo
wygodnym przetwornikiem energii elektrycznej w
mechaniczną.
Również
przesyłanie energii elektrycznej
za
pomocą linii trójfazowych jest zarówno ze względów
technicznych jak i ekonomicznych aktualnie
niezastąpione.
13
Klasyfikacja układów
Klasyfikacja układów
trójfazowych
trójfazowych
Układ trójfazowy jest symetryczny,
jeśli
prądnica trójfazowa symetryczna jest połączona z
odbiornikiem złożonym z
trzech identycznych
impedancji
zespolonych
.
Fazy
prądnicy
oraz
impedancje
odbiornika
można kojarzyć w gwiazdę lub w trójkąt.
Prądnica
jest połączona w
gwiazdę
,
jeśli końce
uzwojeń
U2, V2, W2
trzech faz są ze sobą
połączone we wspólny punkt oznaczonym literą
N
,
a
początki uzwojeń
U1, V1, W1
tworzą zaciski
prądnicy.
14
Z punktu widzenia
sposobu połączenia
źródła i odbiornika
można wyróżnić pięć
różnych układów podstawowych:
- układ trójfazowy gwiazda - gwiazda
trójprzewodowy,
- układ trójfazowy gwiazda - gwiazda
czteroprzewodowy,
-układ trójfazowy trójkąt – trójkąt,
-układ trójfazowy trójkąt –gwiazda,
-układ trójfazowy gwiazda – trójkąt.
15
Wspólny punkt trzech faz przy skojarzeniu w gwiazdę
nazywamy
punktem zerowym lub punktem
neutralnym
.
Jeśli są połączone w gwiazdę fazy zarówno źródła, jak i
odbiornika, to ponadto mogą być ze sobą połączone
punkty zerowe.
Przewód łączący punkty zerowe źródła i odbiornika
nazywamy
przewodem zerowym lub przewodem
neutralnym
.
Pozostałe trzy przewody nazywamy
przewodami fazowymi
.
16
W układzie gwiazdowym napięcia
pomiędzy
punktem zerowym i końcem uzwojenia fazy
lub
między przewodem zerowym, a jednym z przewodów
fazowych nazywamy
napięciem fazowym
Napięcie
pomiędzy końcami faz
źródła lub
odbiornika
,
a także napięcie pomiędzy
przewodami fazowymi
nazywamy
napięciem
międzyfazowym
Prąd płynący w przewodzie fazowym nazywamy
prądem przewodowym
17
W układzie gwiazda—gwiazda
czteroprzewodowym prąd płynący w
przewodzie zerowym (neutralnym) nazywamy
prądem zerowym
lub neutralnym i
oznaczamy I
0
lub I
N
.
W układzie trójkątowym prąd płynący w
fazie źródła lub odbiornika nazywamy
prądem fazowym.
18
Odbiornik
Odbiornik
można skojarzyć w gwiazdę łącząc jedne
można skojarzyć w gwiazdę łącząc jedne
końcówki impedancji (
końcówki impedancji (
Z
Z
A
A
,
,
Z
Z
B
B
,
,
Z
Z
C
C
)
)
we wspólny punkt,
we wspólny punkt,
a trzy pozostałe końcówki wyprowadzając na
a trzy pozostałe końcówki wyprowadzając na
zewnątrz.
zewnątrz.
Układ trójfazowy gwiazda – gwiazda
Układ trójfazowy gwiazda – gwiazda
trójprzewodowy
trójprzewodowy
19
Napięcia fazowe źródłowe
oznacza się jako
(E
A
,E
B
,E
C
),
impedancje fazowe odbiornikowe
(Z
A
,Z
B
,Z
C
),
napięcia fazowe odbiornikowe
(U
A
,U
B
,U
C
),
napięcia
międzyfazowe
(U
AB
,U
BC
,U
CA
),
prądy przewodowe
(I
A
,I
B
,I
C
).
20
Jeśli połączymy bezimpedancyjnie lub przez
pewną impedancję punkty neutralne źródła i
odbiornika, to otrzymamy
układ trójfazowy
gwiazda
–
gwiazda czteroprzewodowy.
21
22
Prądnica może być połączona w trójkąt
jeśli koniec
pierwszej fazy połączymy z początkiem drugiej, koniec
drugiej fazy z początkiem trzeciej, a koniec trzeciej fazy
z początkiem z początkiem pierwszej.
Odbiornik też
można połączyć w trójkąt
.
Jeżeli źródło jest połączone w
Jeżeli źródło jest połączone w
trójkąt, a odbiornik również w trójkąt, to mamy
trójkąt, a odbiornik również w trójkąt, to mamy
układ
układ
trójfazowy trójkąt – trójkąt.
trójfazowy trójkąt – trójkąt.
23
Jeżeli źródło jest połączone w trójkąt, a odbiornik w
Jeżeli źródło jest połączone w trójkąt, a odbiornik w
gwiazdę, to mamy
gwiazdę, to mamy
układ trójfazowy trójkąt –
układ trójfazowy trójkąt –
gwiazda
gwiazda
.
.
24
Jeśli źródło jest połączone w gwiazdę, a odbiornik w
Jeśli źródło jest połączone w gwiazdę, a odbiornik w
trójkąt, to mamy
trójkąt, to mamy
układ trójfazowy gwiazda –
układ trójfazowy gwiazda –
trójkąt
trójkąt
.
.
25
W układzie gwiazdowym
W układzie gwiazdowym
napięcie występujące
napięcie występujące
między punktem neutralnym prądnicy i końcem
między punktem neutralnym prądnicy i końcem
uzwojenia fazy
uzwojenia fazy
nazywamy napięciem fazowym
nazywamy napięciem fazowym
źródła
źródła
(
(
E
E
A
A
,
,
E
E
B
B
,
,
E
E
C
C
). Analogicznie dla odbiornika
). Analogicznie dla odbiornika
określamy
określamy
napięcie fazowe odbiornika
napięcie fazowe odbiornika
(
(
U
U
A
A
,
,
U
U
B
B
,
,
U
U
C
C
).
).
Napięcia międzyfazowe
Napięcia międzyfazowe
(
(
U
U
AB
AB
,
,
U
U
BC
BC
,
,
U
U
CA
CA
) lub
) lub
liniowe
liniowe
– napięcie występujące między kolejnymi parami
– napięcie występujące między kolejnymi parami
zacisków prądnicy lub odbiornika, czyli
zacisków prądnicy lub odbiornika, czyli
napięcia
napięcia
między przewodami fazowymi.
między przewodami fazowymi.
Prądy przewodowe
Prądy przewodowe
(
(
I
I
A
A
,
,
I
I
B
B
,
,
I
I
C
C
) – prądy płynące w
) – prądy płynące w
przewodach fazowych.
przewodach fazowych.
Prądy fazowe
Prądy fazowe
(
(
I
I
AB
AB
,
,
I
I
BC
BC
,
,
I
I
CA
CA
,) – prądy płynące w
,) – prądy płynące w
fazach odbiornika trójkątowego.
fazach odbiornika trójkątowego.
26
UKŁADY
UKŁADY
TRÓJFAZOWE
TRÓJFAZOWE
SYMETRYCZNE
SYMETRYCZNE
27
A.
A.
Połączenie odbiornika w gwiazdę
Połączenie odbiornika w gwiazdę
Układ trójfazowy jest symetryczny,
jeśli prądnica
trójfazowa symetryczna jest połączona z odbiornikiem
symetrycznym (tzn. złożonym z
trzech identycznych
impedancji
zespolonych
(
(
Z
Z
A =
A =
Z
Z
B =
B =
Z
Z
C
C
)
).
Z punktu widzenia sposobu połączenia źródła i odbiornika
Z punktu widzenia sposobu połączenia źródła i odbiornika
( jak już powiedziano) możemy wyróżnić
( jak już powiedziano) możemy wyróżnić
pięć różnych
pięć różnych
układów podstawowych
układów podstawowych
.
.
Jednak
Jednak
dla obliczeń
dla obliczeń
zasadnicze znaczenie ma sposób
zasadnicze znaczenie ma sposób
połączenia odbiornika. Podłączenie źródła jest tu mniej
połączenia odbiornika. Podłączenie źródła jest tu mniej
istotne, ponieważ przeważnie odbiorniki są dołączone do sieci
istotne, ponieważ przeważnie odbiorniki są dołączone do sieci
systemu, w którym punkt neutralny transformatora
systemu, w którym punkt neutralny transformatora
trójfazowego, w zależności od sposobu jego połączenia, może
trójfazowego, w zależności od sposobu jego połączenia, może
być uziemiony lub izolowany.
być uziemiony lub izolowany.
28
Układ trójfazowy czteroprzewodowy, do
Układ trójfazowy czteroprzewodowy, do
którego dołączono odbiornik połączony w
którego dołączono odbiornik połączony w
gwiazdę z uziemionym punktem neutralnym
gwiazdę z uziemionym punktem neutralnym
29
Ten sam układ
Ten sam układ
(układ trójfazowy symetryczny z
(układ trójfazowy symetryczny z
odbiornikiem połączonym w gwiazdę)
odbiornikiem połączonym w gwiazdę)
może być
może być
przedstawiony następująco. Dorysowanie źródła ułatwia
przedstawiony następująco. Dorysowanie źródła ułatwia
zrozumienie zależności występujących w tym układzie.
zrozumienie zależności występujących w tym układzie.
30
Obliczenie układu
Obliczenie układu
polega na
polega na
wyznaczeniu
wyznaczeniu
prądów przewodowych i fazowych, napięć
prądów przewodowych i fazowych, napięć
fazowych odbiornika oraz mocy czynnej,
fazowych odbiornika oraz mocy czynnej,
biernej i pozornej pobieranej przez odbiornik
biernej i pozornej pobieranej przez odbiornik
.
.
Dla uproszczenia załóżmy ze faza początkowa
napięcia źródłowego (fazy A) jest równa zeru
.
Napięcia fazowe źródła (
Napięcia fazowe źródła (
E
E
A,
A,
E
E
B
B
,
,
E
E
C
C
)
)
przedstawimy w
przedstawimy w
postaci zespolonej:
postaci zespolonej:
A
E
E
=
2
3
1
3
2
2
j
B
A
A
E
E e
E
j
p
-
�
�
-
=
=
- -
�
�
�
�
�
�
2
3
1
3
2
2
j
C
A
A
E
E e
E
j
p
�
�
-
=
=
- +
�
�
�
�
�
�
31
gdyż:
gdyż:
2
2
3
3
1
3
1
3
;
2
2
2
2
j
j
e
j
e
j
p
p
-
=- -
=- +
Z powyższych zależności (po dodaniu stronami)
Z powyższych zależności (po dodaniu stronami)
wynika, że:
wynika, że:
0
A
B
C
E
E
E
+
+
=
W układzie trójfazowym symetrycznym
gwiazda-gwiazda
potencjał
punktu
neutralnego
(N)
źródła
jest
równy
potencjałowi punktu neutralnego odbiornika
(N’).
32
W takim razie jeżeli
W takim razie jeżeli
w uk
w ukł
adzie trójfazowym symetrycznym gwiazda-gwiazda
adzie trójfazowym symetrycznym gwiazda-gwiazda
potencja
potencjał punktu neutralnego źródła jest równy potencjałowi punktu neutralnego odbiornika , to
E
A
= U
A
E
B
= U
B
E
C
= U
C
zatem
stwierdzamy, że w układzie trójfazowym symetrycznym
przy połączeniu odbiornika w gwiazdę:
Suma wartości skutecznych zespolonych napięć fazowych odbiornika jest równa zeru.
0
A
B
C
U
U
U
+
+
=
33
0
A
B
C
U
U
U
+
+
=
Wobec równości potencjałów punktów neutralnych N i
N’ można te punkty zewrzeć,
zatem prądy fazowe
odbiornikowe:
A
A
A
B
B
B
C
C
C
E
U
I
Z
Z
E
U
I
Z
Z
E
U
I
Z
Z
=
=
=
=
=
=
34
Ponieważ impedancja każdej fazy odbiornika wynosi:
Ponieważ impedancja każdej fazy odbiornika wynosi:
j
Z Ze
R jX
j
=
= +
zatem
zatem
prądy
prądy
fazowe
fazowe
:
:
2
2
3
3
2
2
3
3
j
j
A
A
A
j
j
j
B
B
A
j
j
j
C
C
A
E
I
e
I e
Z
E
I
e
e
I e
Z
E
I
e e
I e
Z
j
j
p
p
j
j
p
p
j
j
-
-
�
�
-
+
-
�
�
-
�
�
�
�
+
�
�
-
�
�
=
=
=
=
=
=
35
a
moduły prądów przewodowych (I
A
, I
B
, I
C
) są
odpowiednio:
A
A
B
C
p
E
I
I
I
I
Z
= = =
=
Wniosek
Wniosek
.
.
Moduły prądów we wszystkich fazach są
Moduły prądów we wszystkich fazach są
jednakowe
jednakowe
,
,
ponadto
wartości
skuteczne
ponadto
wartości
skuteczne
zespolone:
zespolone:
2
3
1
3
2
2
j
B
A
A
I
I e
I
j
p
-
�
�
-
=
=
- -
�
�
�
�
�
�
2
3
1
3
2
2
j
C
A
A
I
I e
I
j
p
�
�
=
=
- +
�
�
�
�
�
�
36
Zatem:
Zatem:
0
A
B
C
I
I
I
+ + =
Wniosek.
Suma wartości skutecznych zespolonych
prądów przewodowych jest równa zeru.
Stąd wynika, że w układzie symetrycznym
prąd w przewodzie neutralnym jest równy
zeru.
Napięcie międzyfazowe
jest różnicą napięć
fazowych,
przy
czym
działania
należy
przeprowadzać na wartościach skutecznych
zespolonych.
37
Zatem:
Zatem:
AB
A
B
BC
B
C
CA
C
A
U
U
U
U
U
U
U
U
U
=
-
=
-
=
-
Modu
Moduł
y napięć międzyfazowych są sobie
y napięć międzyfazowych są sobie
równe
równe
:
:
AB
BC
CA
p
U
U
U
U
=
=
=
a
suma wartości skutecznych zespolonych
napięć międzyfazowych jest równa zeru,
czyli:
0
AB
BC
CA
U
U
U
+
+
=
38
Na kolejnym rysunku zobrazujemy wyniki
naszych obliczeń w postaci wykresu
wektorowego napięć i prądów dla układu
trójfazowego symetrycznego przy
podłączeniu odbiornika w gwiazdę
39
Wykres wektorowy napięć i prądów dla
Wykres wektorowy napięć i prądów dla
uk
ukł
adu trójfazowego symetrycznego przy
adu trójfazowego symetrycznego przy
po
poł
ączeniu odbiornika w gwiazdę
ączeniu odbiornika w gwiazdę
40
Na wykresie wektorowym przedstawiliśmy
Na wykresie wektorowym przedstawiliśmy
napięcia
fazowe
napięcia
fazowe
(
(
U
U
A
A
,
,
U
U
B
B
,
,
U
U
C
C
)
)
,
,
międzyfazowe
międzyfazowe
(
(
U
U
AB
AB
,
,
U
U
BC
BC
,
,
U
U
CA
CA
)
)
oraz prądy
oraz prądy
przewodowe, które są równe prądom
przewodowe, które są równe prądom
fazowym odbiornika
fazowym odbiornika
(
(
I
I
A
A
,
,
I
I
B
B
,
,
I
I
C
C
) przy
) przy
po
po
łączeniu
impedancji
fazowych
w
gwiazdę
.
.
Ponieważ
Ponieważ
trzy
wektory
napięć
trzy
wektory
napięć
międzyfazowych
międzyfazowych
(
(
U
U
AB
AB
,
,
U
U
BC
BC
,
,
U
U
CA
CA
)
)
tworzą
tworzą
trójkąt
trójkąt
, zatem ich suma jest równa zeru.
, zatem ich suma jest równa zeru.
41
Z zależności dla trójkąta równoramiennego o
Z zależności dla trójkąta równoramiennego o
bokach
bokach
U
U
A
,
,
U
U
B
B
,
,
U
U
AB
AB
i o kątach 2π/3, π/6 i π/6
i o kątach 2π/3, π/6 i π/6
wynika że
wynika że
moduł napięcia
moduł napięcia
międzyfazowego U
międzyfazowego U
AB
AB
= U
= U
p
p
jest pierwiastek
jest pierwiastek
z 3 razy większy od modułu napięcia
z 3 razy większy od modułu napięcia
fazowego U
fazowego U
f
f
,
,
czyli:
czyli:
3
f
Up
U
=
42
Z zależności tej wynika, że w sieci o napięciu
Z zależności tej wynika, że w sieci o napięciu
fazowym U
fazowym U
f
f
= 220V, napięcie międzyfazowe:
= 220V, napięcie międzyfazowe:
3 220 380
P
U
V
=
�
=
Moc czynną P pobraną przez odbiornik
Moc czynną P pobraną przez odbiornik
trójfazowy symetryczny
trójfazowy symetryczny
możemy obliczyć
możemy obliczyć
jako potrójną wartość (3P
jako potrójną wartość (3P
f
f
) mocy pobieranej
) mocy pobieranej
przez jedną fazę odbiornika:
przez jedną fazę odbiornika:
2
P
ff
ff
U I cos
RI
j
=
=
przy czym R, jest rezystancją jednej fazy odbiornika.
przy czym R, jest rezystancją jednej fazy odbiornika.
43
Zatem moc czynna
Zatem moc czynna
pobierana przez
pobierana przez
odbiornik
odbiornik
trójfazowy symetryczny
trójfazowy symetryczny
:
:
2
3P
3
ff
ff
P
U I cos
RI
j
=
=
=
Po podstawieniu otrzymujemy ,
Po podstawieniu otrzymujemy ,
moc czynną
moc czynną
P
P
jako:
jako:
3
cos
3
cos
3
p p
p p
P
U I
U I
j
j
=
=
Wzór ten jest najczęściej stosowany do
Wzór ten jest najczęściej stosowany do
obliczania mocy czynnej P pobieranej przez
obliczania mocy czynnej P pobieranej przez
odbiornik
trójfazowy
symetryczny,
gdyż
odbiornik
trójfazowy
symetryczny,
gdyż
uzależnia moc od wartości związanych z
uzależnia moc od wartości związanych z
parametrami sieci zasilającej odbiornik (
parametrami sieci zasilającej odbiornik (
U
U
p
p
oraz
oraz
I
I
p
p
).
).
44
Podobnie
Podobnie
moc bierną Q
moc bierną Q
obliczamy jako potrójną
obliczamy jako potrójną
wartość mocy biernej pobieranej przez jedną
wartość mocy biernej pobieranej przez jedną
fazę. Przy czym X jest reaktancją jednej fazy
fazę. Przy czym X jest reaktancją jednej fazy
odbiornika.
odbiornika.
2
3
sin
3
ff
f
Q
U I
XI
j
=
=
Po podstawieniu otrzymujemy
Po podstawieniu otrzymujemy
wzór na moc
wzór na moc
bierną pobieraną przez odbiornik
bierną pobieraną przez odbiornik
trójfazowy symetryczny
trójfazowy symetryczny
:
:
3
sin
p p
Q
U I
j
=
Moc pozorna:
Moc pozorna:
2
2
3
p p
S
P
Q
S
U I
=
+
=
Zatem
Zatem
moc pozorna
moc pozorna
:
:
45
Na kolejnym rysunku zilustrujemy
układ
trójfazowy symetryczny
, w którym
odbiornik połączono w trójkąt,
natomiast
źródło w gwiazdę.
Punktem wyjścia do naszych obliczeń
prądów
fazowych, napięć fazowych oraz mocy
czynnej, biernej i pozornej odbiornika
są
napięcia międzyfazowe.
Gdyby źródło było połączone np. w trójkąt,
Gdyby źródło było połączone np. w trójkąt,
wówczas napięcia międzyfazowe są
wówczas napięcia międzyfazowe są
jednocześnie napięciami fazowymi źródła
jednocześnie napięciami fazowymi źródła
.
.
Połączenie odbiornika w trójkąt
46
B.
B.
Połączenie odbiornika w trójkąt
Połączenie odbiornika w trójkąt
Uk
Ukł
ad trójfazowy symetryczny z odbiornikiem
ad trójfazowy symetryczny z odbiornikiem
po
poł
ączonym w trójkąt
ączonym w trójkąt
47
Wyznaczone za pomocą powyższych równań
Wyznaczone za pomocą powyższych równań
napięcia międzyfazowe tworzą układ
napięcia międzyfazowe tworzą układ
trójfazowy symetryczny napięć
trójfazowy symetryczny napięć
,
,
przy czym
przy czym
po założeniu, że faza początkowa napięcia
po założeniu, że faza początkowa napięcia
międzyfazowego
międzyfazowego
U
U
AB
AB
jest
równa
zeru
jest
równa
zeru
otrzymamy:
otrzymamy:
AB
A
B
BC
B
C
CA
C
A
U
E
E
U
E
E
U
E
E
=
-
=
-
=
-
48
Z powyższych zależności wynika, że wektory napięć
fazowych (U
AB,
U
BC
,
U
CA
) odbiornika tworzą gwiazdę
symetryczną gdzie ich suma jest równa zero.
2
3
2
3
1
3
2
2
1
3
2
2
AB
AB
j
BC
AB
AB
j
CA
AB
AB
U
U
U
U e
U
j
U
U e
U
j
p
p
-
=
�
�
=
=
- -
�
�
�
�
�
�
�
�
=
=
- +
�
�
�
�
�
�
49
0
AB
BC
CA
U
U
U
+
+
=
a moduły tych napięć (napięć
międzyfazowych) są jednakowe
(U
AB
= U
BC
= U
CA
= U
f
)
50
j
j
AB
AB
AB
AB
U
U
I
e
I e
Z
Z
j
j
-
-
=
=
=
Prądy fazowe odbiornika (
Prądy fazowe odbiornika (
I
I
AB
AB
, I
BC
, I
CA
)
)
możemy wyznaczyć z prawa Ohma dla wartości
możemy wyznaczyć z prawa Ohma dla wartości
skutecznych zespolonych:
skutecznych zespolonych:
j
Z Ze
R jX
j
=
= +
Obliczone
napięcia międzyfazowe występują na
zaciskach odbiornika
, którego
impedancja każdej
fazy
wynosi:
51
2
2
3
3
2
2
3
3
j
j
j
BC
AB
BC
AB
j
j
j
CA
AB
CA
AB
U
U
I
e
e
I e
Z
Z
U
U
I
e e
I e
Z
Z
p
p
j
j
p
p
j
j
�
�
-
+
-
�
�
-
�
�
�
�
+
�
�
-
�
�
=
=
=
=
=
=
Powyższe
wyrażenia wskazują, że
wektory
prądów
fazowych odbiornika tworzą gwiazdę
symetryczna ale opóźnioną o kąt
φ
w stosunku
do gwiazdy napięć fazowych.
52
AB
AB
BC
CA
f
U
I
I
I
I
Z
=
=
=
=
Przy czym:
Stwierdzamy więc, moduły prądów fazowych
Stwierdzamy więc, moduły prądów fazowych
płynących w gałęziach odbiornika
płynących w gałęziach odbiornika
po
po
ł
ł
ączonego w trójkąt są jednakowe i równe
ączonego w trójkąt są jednakowe i równe
prądowi fazowemu I
prądowi fazowemu I
f
f
.
.
53
2
3
2
3
1
3
2
2
1
3
2
2
j
BC
AB
AB
j
CA
AB
AB
I
I e
I
j
I
I e
I
j
p
p
-
�
�
-
=
=
- -
�
�
�
�
�
�
�
�
=
=
- +
�
�
�
�
�
�
Wniosek.
Suma
wartości
skutecznych
zespolonych prądów fazowych jest równa
zeru.
Prądy przewodowe
obliczamy jako różnicę
odpowiednich
prądów fazowych
.
Korzystając z
prawa
Kirchhoffa
dla
kolejnych
węzłów
otrzymujemy:
Zatem:
Zatem:
0
AB
BC
CA
I
I
I
+
+
=
54
A
AB
CA
B
BC
AB
C
CA
BA
I
I
I
I
I
I
I
I
I
=
-
=
-
=
-
A
B
C
P
I
I
I
I
= = =
0
A
B
C
I
I
I
+ + =
Moduły prądów przewodowych są sobie
równe,
tzn:
a
suma
ich
wartości
skutecznych
zespolonych jest równa zeru,
czyli:
55
Obliczenia
przedstawimy
na
wykresie
wektorowym.
Wykreślamy trzy wektory napięć
międzyfazowych
(faza początkowa U
AB
jest
równa zeru).
Prąd fazowy
w każdej fazie jest opóźniony
względem napięcia fazowego o kąt φ.
Wektory prądów fazowych
( I
AB
, I
BC
, I
CA
)
tworzą
gwiazdę symetryczną.
Wektor prądu przewodowego
opóźnia się
względem wektora prądu fazowego o 30
0
.
56
Wykres wektorowy prądów i napięć dla układu
trójfazowego symetrycznego przy połączeniu
odbiornika w trójkąt
57
Ponieważ
trzy
wektory
prądów
Ponieważ
trzy
wektory
prądów
przewodowych
przewodowych
(
(
I
I
A
A
,
,
I
I
B
B
,
,
I
I
C
C
)
)
tworzą trójkąt,
tworzą trójkąt,
zatem ich suma jest równa zeru
zatem ich suma jest równa zeru
,
,
co jest
co jest
zgodne z obliczeniami. Z zależności trójkąta
zgodne z obliczeniami. Z zależności trójkąta
równoramiennego i kątów wynika, że
równoramiennego i kątów wynika, że
moduł
moduł
prądu przewodowego (I
prądu przewodowego (I
A
A
=I
=I
B
B
=I
=I
C
C
=I
=I
p
p
)
)
jest
jest
pierwiastek z trzech razy większy od modułu
pierwiastek z trzech razy większy od modułu
prądu fazowego
prądu fazowego
(I
(I
AB
AB
=I
=I
BC
BC
=I
=I
CA
CA
=I
=I
f
f
)
)
.
.
3
f
Ip
I
=
Dla odbiornika połączonego w trójkąt
, moc
pobieraną przez odbiornik trójfazowy symetryczny
połączony w trójkąt obliczamy jako potrójną wartość
mocy pobieranej przez jedną fazę a zatem
moc
czynna P
:
2
3P
3
3
ff
ff
P
U I cos
RI
j
=
=
=
58
Przy czym R jest rezystancją jednej fazy
Przy czym R jest rezystancją jednej fazy
odbiornika.
odbiornika.
Po podstawieniu I
Po podstawieniu I
f
f
=I
=I
p
p
/3
/3
1/2
1/2
oraz U
oraz U
p
p
=U
=U
f
f
moc
moc
czynna P jest równa
czynna P jest równa
:
:
3
cos
3
cos
3
p p
p p
P
U I
U I
j
j
=
=
Podobnie
moc bierną
Q
obliczymy jako
potrójną wartość mocy biernej, pobieranej przez
jedną fazę.
2
3
sin
3
ff
f
Q
U I
XI
j
=
=
Po uwzględnieniu zależności na
I
I
f
f
oraz U
oraz U
f
f
,
moc
pozorna S
:
3
p p
S
U I
=
59
WNIOSKI:
WNIOSKI:
1. Niezależnie od sposobu połączenia faz
1. Niezależnie od sposobu połączenia faz
odbiornika trójfazowego symetrycznego,
odbiornika trójfazowego symetrycznego,
odpowiednio
odpowiednio
moc czynną, bierną i pozorną
moc czynną, bierną i pozorną
obliczamy z tych samych wzorów
obliczamy z tych samych wzorów
.
.
2.
Do
obliczania
mocy
odbiornika
2.
Do
obliczania
mocy
odbiornika
trójfazowego symetrycznego po
trójfazowego symetrycznego poł
ączonego
ączonego
w gwiazdę i trójkąt jest potrzebna
w gwiazdę i trójkąt jest potrzebna
znajomość napięcia międzyfazowego, prądu
znajomość napięcia międzyfazowego, prądu
przewodowego i kata fazowego odbiornika.
przewodowego i kata fazowego odbiornika.
3. Suma prądów fazowych i napięć fazowych
3. Suma prądów fazowych i napięć fazowych
odbiornika trójfazowego symetrycznego
odbiornika trójfazowego symetrycznego
po
poł
ączonego zarówno w gwiazdę i trójkąt
ączonego zarówno w gwiazdę i trójkąt
jest równa zero.
jest równa zero.
60
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ
61
Źródła:
Źródła:
„
„
Elektrotechnika” – Bolkowski
Elektrotechnika” – Bolkowski
Równania matematyczne napisano w programie:
Równania matematyczne napisano w programie:
MathType 5.0
MathType 5.0
Schematy układów elektrycznych w nakładce
Schematy układów elektrycznych w nakładce
programu MS Word.
programu MS Word.