WYKŁAD II
UKŁADY TRÓJFAZOWE SYMETRYCZNE
(Obliczenie układów)
1
prof. dr hab. inż. T. Niedziela
ELEKTROTECHNIKA II
WYKŁAD II
UKŁADY TRÓJFAZOWE SYMETRYCZNE
(Obliczenie układów)
1
prof. dr hab. inż. T. Niedziela
ELEKTROTECHNIKA II
Połączenie odbiornika
w gwiazdę
Połączenie odbiornika w gwiazdę
Układ trójfazowy jest symetryczny,
jeśli prądnica trójfazowa symetryczna jest
połączona z odbiornikiem symetrycznym (tzn. złożonym z
trzech identycznych
impedancji zespolonych
(Z
A
= Z
B
= Z
C
).
Z punktu widzenia sposobu połączenia źródła i odbiornika (jak już powiedziano)
możemy wyróżnić
pięć różnych układów podstawowych.
Jednak dla obliczeń
zasadnicze znaczenie ma sposób połączenia odbiornika.
Podłączenie źródła jest tu mniej istotne, ponieważ przeważnie odbiorniki są
dołączone do sieci systemu, w którym punkt neutralny transformatora trójfazowego,
w zależności od sposobu jego połączenia, może być uziemiony lub izolowany.
3
Układ trójfazowy czteroprzewodowy, do
którego dołączono odbiornik połączony
w gwiazdę z uziemionym punktem
neutralnym
4
Ten sam układ (
układ trójfazowy symetryczny z
odbiornikiem połączonym w gwiazdę
) może być
przedstawiony następująco. Dorysowanie źródła
ułatwia zrozumienie zależności występujących w
tym układzie.
5
5
Obliczenie układu
polega na
wyznaczeniu
prądów przewodowych i fazowych odbiornika,
napięć fazowych odbiornika oraz mocy czynnej,
biernej i pozornej pobieranej przez odbiornik.
Dla uproszczenia załóżmy ze
faza początkowa
napięcia
źródłowego (fazy A) jest równa zeru.
Napięcia fazowe źródeł (E
A,
E
B
, E
C
)
przedstawimy
w postaci zespolonej:
6
A
E
E
=
2
3
1
3
2
2
j
B
A
A
E
E e
E
j
p
-
�
�
-
=
=
- -
�
�
�
�
�
�
2
3
1
3
2
2
j
C
A
A
E
E e
E
j
p
�
�
-
=
=
- +
�
�
�
�
�
�
gdyż:
7
2
2
3
3
1
3
1
3
;
2
2
2
2
j
j
e
j
e
j
p
p
-
=- -
=- +
Z powyższych zależności (po dodaniu stronami) wynika, że:
0
A
B
C
E
E
E
+
+
=
W układzie trójfazowym symetrycznym gwiazda - gwiazda
potencjał punktu neutralnego (N) źródła jest równy
potencjałowi punktu neutralnego odbiornika (N’).
W takim razie jeżeli
w układzie trójfazowym symetrycznym gwiazda-gwiazda
potencjał
punktu neutralnego źródła jest równy potencjałowi punktu neutralnego odbiornika , to
E
A
= U
A
E
B
= U
B
E
C
= U
C
zatem
stwierdzamy, że w układzie trójfazowym symetrycznym
przy połączeniu
odbiornika w gwiazdę:
Suma wartości skutecznych zespolonych napięć fazowych
odbiornika jest równa zeru.
8
0
A
B
C
U
U
U
+
+
=
Wobec
równości
potencjałów
punktów
neutralnych N i N’ można te punkty zewrzeć,
zatem prądy fazowe odbiornikowe:
9
0
A
B
C
U
U
U
+
+
=
A
A
A
B
B
B
C
C
C
E
U
I
Z
Z
E
U
I
Z
Z
E
U
I
Z
Z
=
=
=
=
=
=
Ponieważ impedancja każdej fazy odbiornika
wynosi:
zatem
prądy fazowe
:
10
j
Z Ze
R jX
j
=
= +
2
2
3
3
2
2
3
3
j
j
A
A
A
j
j
j
B
B
A
j
j
j
C
C
A
E
I
e
I e
Z
E
I
e
e
I e
Z
E
I
e e
I e
Z
j
j
p
p
j
j
p
p
j
j
-
-
�
�
-
+
-
�
�
-
�
�
�
�
+
�
�
-
�
�
=
=
=
=
=
=
a
moduły prądów przewodowych (I
A
, I
B
, I
C
) są
odpowiednio:
Wniosek. Moduły prądów we wszystkich
fazach są jednakowe
, ponadto wartości
skuteczne zespolone:
11
A
A
B
C
p
E
I
I
I
I
Z
= = =
=
2
3
1
3
2
2
j
B
A
A
I
I e
I
j
p
-
�
�
-
=
=
- -
�
�
�
�
�
�
2
3
1
3
2
2
j
C
A
A
I
I e
I
j
p
�
�
=
=
- +
�
�
�
�
�
�
Zatem:
Wniosek.
Suma
wartości
skutecznych
zespolonych
prądów
fazowych
(przewodowych) jest równa zeru.
Stąd wynika,
że w układzie symetrycznym
prąd w przewodzie
neutralnym jest równy zeru.
Napięcie międzyfazowe
jest różnicą napięć
fazowych,
przy
czym
działania
należy
przeprowadzać
na
wartościach
skutecznych
zespolonych.
12
0
A
B
C
I
I
I
+ + =
Zatem:
Moduły napięć międzyfazowych są
sobie równe:
a
suma wartości skutecznych zespolonych
napięć międzyfazowych jest równa zeru,
czyli:
13
AB
A
B
BC
B
C
CA
C
A
U
U
U
U
U
U
U
U
U
=
-
=
-
=
-
AB
BC
CA
p
U
U
U
U
=
=
=
0
AB
BC
CA
U
U
U
+
+
=
Na kolejnym rysunku zobrazujemy wyniki
naszych
obliczeń
w
postaci
wykresu
wektorowego napięć i prądów dla układu
trójfazowego symetrycznego przy podłączeniu
odbiornika w gwiazdę
14
Wykres wektorowy napięć i prądów dla
układu trójfazowego symetrycznego
przy połączeniu odbiornika w gwiazdę
15
Na wykresie wektorowym przedstawiliśmy
napięcia
fazowe
(U
A
, U
B
, U
C
),
międzyfazowe
(U
AB
, U
BC
, U
CA
)
oraz
prądy przewodowe, które są równe prądom
fazowym odbiornika
(I
A
, I
B
, I
C
) przy połączeniu
impedancji fazowych w gwiazdę.
Ponieważ
trzy wektory napięć międzyfazowych
(U
AB
,
U
BC
, U
CA
)
tworzą trójkąt
, zatem ich suma jest równa
zeru.
16
Z zależności dla trójkąta równoramiennego o
bokach U
A
, U
B
, U
AB
i o kątach 2π/3, π/6 i π/6
wynika że
moduł napięcia międzyfazowego
U
AB
= U
p
jest pierwiastek z 3 razy większy
od modułu napięcia fazowego U
f
,
czyli:
17
3
f
Up
U
=
Z zależności tej wynika, że w sieci o napięciu
fazowym U
f
= 220V, napięcie międzyfazowe:
Moc czynną P pobraną przez odbiornik
trójfazowy symetryczny
możemy obliczyć
jako potrójną wartość (3P
f
) mocy pobieranej
przez jedną fazę odbiornika:
przy czym R, jest rezystancją jednej fazy
odbiornika.
18
3 220 380
P
U
V
=
�
=
2
P
ff
ff
U I cos
RI
j
=
=
Zatem moc czynna
pobierana przez
odbiornik
trójfazowy symetryczny:
Po podstawieniu otrzymujemy ,
moc czynną P
jako:
Wzór ten jest najczęściej stosowany do
obliczania mocy czynnej P pobieranej przez
odbiornik trójfazowy symetryczny, gdyż
uzależnia moc od wartości związanych z
parametrami sieci zasilającej odbiornik (U
p
oraz
I
p
).
19
2
3P
3
ff
ff
P
U I cos
RI
j
=
=
=
3
cos
3
cos
3
p p
p p
P
U I
U I
j
j
=
=
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ
WYKŁAD III
UKŁADY TRÓJFAZOWE SYMETRYCZNE
Połączenie odbiornika w trójkąt
21
prof. dr hab. inż. T. Niedziela
ELEKTROTECHNIKA II
Połączenie odbiornika w trójkąt
Na kolejnym rysunku zilustrujemy
układ
trójfazowy symetryczny
, w którym
odbiornik
połączono w trójkąt,
natomiast źródło w
gwiazdę.
Punktem wyjścia do naszych obliczeń
prądów
fazowych, napięć fazowych oraz mocy
czynnej, biernej i pozornej odbiornika
są
napięcia międzyfazowe.
Gdyby źródło było połączone np. w trójkąt,
wówczas napięcia międzyfazowe są
jednocześnie napięciami fazowymi źródła
.
22
B. Połączenie odbiornika w
trójkąt
Układ trójfazowy symetryczny z
odbiornikiem
połączonym w
trójkąt
23
Wyznaczone za pomocą powyższych równań
napięcia międzyfazowe tworzą układ
trójfazowy symetryczny napięć
, przy czym
po założeniu
, że faza początkowa napięcia
międzyfazowego
U
AB
jest
równa
zeru
otrzymamy:
24
AB
A
B
BC
B
C
CA
C
A
U
E
E
U
E
E
U
E
E
=
-
=
-
=
-
Z powyższych zależności wynika, że wektory
napięć fazowych (U
AB,
U
BC
, U
CA
) odbiornika tworzą
gwiazdę symetryczną gdzie ich suma jest równa
zero.
25
2
3
2
3
1
3
2
2
1
3
2
2
AB
AB
j
BC
AB
AB
j
CA
AB
AB
U
U
U
U e
U
j
U
U e
U
j
p
p
-
=
�
�
=
=
- -
�
�
�
�
�
�
�
�
=
=
- +
�
�
�
�
�
�
a moduły tych napięć (napięć
międzyfazowych) są jednakowe
(U
AB
= U
BC
= U
CA
= U
f
)
26
0
AB
BC
CA
U
U
U
+
+
=
Obliczone
napięcia międzyfazowe występują
na zaciskach odbiornika
, którego
impedancja każdej fazy
wynosi:
Prądy fazowe odbiornika (I
AB
, I
BC
, I
CA
)
możemy wyznaczyć z prawa Ohma dla
wartości skutecznych zespolonych:
27
j
Z Ze
R jX
j
=
= +
j
j
AB
AB
AB
AB
U
U
I
e
I e
Z
Z
j
j
-
-
=
=
=
Powyższe wyrażenia wskazują, że
wektory
prądów fazowych odbiornika tworzą gwiazdę
symetryczna ale opóźnioną o kąt
φ
w stosunku
do gwiazdy napięć fazowych.
28
2
2
3
3
2
2
3
3
j
j
j
BC
AB
BC
AB
j
j
j
CA
AB
CA
AB
U
U
I
e
e
I e
Z
Z
U
U
I
e e
I e
Z
Z
p
p
j
j
p
p
j
j
�
�
-
+
-
�
�
-
�
�
�
�
+
�
�
-
�
�
=
=
=
=
=
=
Przy czym:
Stwierdzamy więc, moduły prądów
fazowych płynących w gałęziach
odbiornika połączonego w trójkąt są
jednakowe i równe prądowi fazowemu I
f
.
29
AB
AB
BC
CA
f
U
I
I
I
I
Z
=
=
=
=
Zatem:
Wniosek.
Suma
wartości
skutecznych
zespolonych prądów fazowych jest równa zeru.
Prądy
przewodowe
obliczamy
jako
różnicę
odpowiednich
prądów fazowych
. Korzystając z
prawa Kirchhoffa dla kolejnych węzłów otrzymujemy:
30
2
3
2
3
1
3
2
2
1
3
2
2
j
BC
AB
AB
j
CA
AB
AB
I
I e
I
j
I
I e
I
j
p
p
-
�
�
-
=
=
- -
�
�
�
�
�
�
�
�
=
=
- +
�
�
�
�
�
�
0
AB
BC
CA
I
I
I
+
+
=
Moduły prądów przewodowych są sobie
równe,
tzn:
a
suma ich wartości skutecznych
zespolonych jest równa zeru,
czyli:
31
A
AB
CA
B
BC
AB
C
CA
BA
I
I
I
I
I
I
I
I
I
=
-
=
-
=
-
A
B
C
P
I
I
I
I
= = =
0
A
B
C
I
I
I
+ + =
Obliczenia przedstawimy na wykresie wektorowym.
Wykreślamy trzy
wektory napięć międzyfazowych
( faza początkowa U
AB
jest równa zeru).
Prąd fazowy
w każdej fazie jest opóźniony względem napięcia fazowego o
kąt φ.
Wektory prądów fazowych
( I
AB
, I
BC
, I
CA
) tworzą gwiazdę symetryczną.
Wektor prądu przewodowego
opóźnia się względem wektora prądu
fazowego o 30
0
.
32
Wykres wektorowy prądów i napięć dla układu
trójfazowego symetrycznego przy połączeniu
odbiornika w trójkąt
33
Ponieważ trzy wektory prądów
przewodowych
(I
A
, I
B
, I
C
)
tworzą trójkąt,
zatem ich suma jest równa zeru
, co jest
zgodne z obliczeniami. Z zależności trójkąta
równoramiennego i kątów wynika, że
moduł
prądu przewodowego (I
A
=I
B
=I
C
=I
p
)
jest
pierwiastek z trzech razy większy od modułu
prądu fazowego
(I
AB
=I
BC
=I
CA
=I
f
) .
Dla odbiornika połączonego w trójkąt
, moc
pobieraną
przez
odbiornik
trójfazowy
symetryczny połączony w trójkąt obliczamy jako
potrójną wartość mocy pobieranej przez jedną
fazę a zatem
moc czynna P
:
34
3
f
Ip
I
=
2
3P
3
3
ff
ff
P
U I cos
RI
j
=
=
=
Przy czym R jest rezystancją jednej fazy
odbiornika.
Po podstawieniu I
f
=I
p
/3
1/2
oraz U
p
=U
f
moc
czynna P jest równa:
Podobnie
moc bierną Q
obliczymy jako potrójną
wartość mocy biernej, pobieranej przez jedną fazę.
Po uwzględnieniu zależności na I
f
oraz U
f
,
moc
pozorna S
:
35
3
cos
3
cos
3
p p
p p
P
U I
U I
j
j
=
=
2
3
sin
3
ff
f
Q
U I
XI
j
=
=
3
p p
S
U I
=
WNIOSKI:
1. Niezależnie od sposobu połączenia faz odbiornika
trójfazowego symetrycznego, odpowiednio moc czynną,
bierną i pozorną obliczamy z tych samych wzorów.
2. Do obliczania mocy odbiornika trójfazowego
symetrycznego połączonego w gwiazdę i trójkąt jest
potrzebna znajomość napięcia międzyfazowego, prądu
przewodowego i kata fazowego odbiornika.
3. Suma prądów fazowych i napięć fazowych odbiornika
trójfazowego symetrycznego połączonego zarówno w
gwiazdę i trójkąt jest równa zero.
36
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ
37
Źródła:
„Elektrotechnika” – Bolkowski
Równania matematyczne napisano w
programie: MathType 5.0
Schematy układów elektrycznych w nakładce
programu MS Word.
38