Analiza konstrukcji

Imperfekcje geometryczne

Imperfekcje geometryczne - niekorzystne wpływy
możliwych geometrycznych odchyłek (odchyleń od
zaplanowanego kształtu)

Należy je uwzględniać w stanach granicznych
nośności,
w stałych i wyjątkowych sytuacjach obliczeniowych.

Nie wymaga się uwzględniania imperfekcji w stanach
granicznych użytkowalności.

Imperfekcje mogą być reprezentowane przez
kąt pochylenia θ

l

θ

l

= θ

0

α

h

α

m

• Θ

0

– wartość bazowa

• α

h

– współczynnik redukcyjny długości lub wysokości

• α

m

– współczynnik redukcyjny ze względu na liczbę

elementów

Zalecana jest wartość

θ

0

= 1/200

α

h

= 2/3 ≤ α

h

≤ 1

l – długość lub wysokość [m]

α

m

=

m – liczba elementów pionowych

l

2











 

m

1

1

5

,

0

• Jeżeli rozpatruje się

wydzielony element

to:
l – rzeczywista długość elementu; m = 1

• Jeżeli rozpatruje się

system usztywniający

to:
l – wysokość budynku;
m – liczba elementów pionowych,

przenoszących siły poziome,
• Jeżeli rozpatruje się

przepony utworzone

przez dachy lub stropy

to:

l – wysokość kondygnacji,
m – liczba elementów pionowych na piętrze

Definicje l i m

Wpływ imperfekcji na elementy wydzielone
można uwzględniać jako:

• mimośród e

i

e

i

= 0,5 θ

i

l

0

l

0

– długość

efektywna

jako uproszczenie można przyjmować

e

i

= l

0

/400

(zbrojenie symetryczne

e

0

= h /30 ≥ 20 mm)

• siłę H

i

, poprzecznie obciążającą układ, umieszczoną

tak, żeby uzyskać największy moment

- w elementach nieusztywnionych
H

i

= θ

i

N

- w elementach usztywnionych
H

i

= 2 θ

i

N

N – siła podłużne

Wpływ imperfekcji geometrycznych -

przykłady

a1) nieusztywnione

a2) usztywnione

a) wydzielone elementy z siłą przyłożoną mimośrodowo lub z siłą działającą poprzecznie

Wpływ pochylenia θ

i

na konstrukcję można

uwzględniać jako:

• wpływ na system usztywniający
H

i

= θ

i

(N

b

- N

a

)

• wpływ na przeponę stropową
H

i

= 0,5 θ

i

(N

b

+ N

a

)

• wpływ na przeponę dachową
H

i

= θ

i

N

a

N

a

i N

b

są siłami podłużnymi wpływającymi na H

i

Jako uproszczenie można stosować mimośród
e

i

= l

0

/400

Wpływ imperfekcji geometrycznych -

przykłady

b) system usztywnienia c1) przepona stropowa c2) przepona dachowa

Zginanie ukośne

M

Edy

- moment obliczeniowy względem osi y

M

Edz

- moment obliczeniowy względem osi x

N

Ed

- obliczeniowa siła podłużna

Momenty określa się z uwzględnieniem efektów
II rzędu

Ukośne zginanie i ściskanie

Pierwsze przybliżenie

– obliczanie oddzielne dla każdego

kierunku głównego.

Imperfekcje

tylko na kierunku, w którym ich

wpływ jest bardziej niekorzystny.

Dalsze sprawdzanie

nie jest konieczne

, gdy

λ

y

/ λ

z

≤ 2 i λ

z

/ λ

y

≤ 2

oraz gdy

0,2

/h

e

/b

e

lub

0,2

/b

e

/h

e

eq

y

eq

z

eq

z

eq

y





Dla przekroju prostokątnego oznacza to:

Jeżeli te warunki nie są spełnione, musimy
uwzględnić obciążenie ukośne, a wtedy:

)

tg(

EJ

EJ

)

tg(

y

x







)

tg(

b

h

)

tg(

2



















Powierzchnia interakcji M

Rd

- N

Ed

Przy danym
kącie β

Powierzchnia interakcji M

Rd

- N

Ed

Przy
danej
sile N

Ed

Powierzchnia interakcji M – N ma

postać:

Zbrojenie symetryczne

Metody sprawdzania nośności:

Metoda przyjęta w

PN 2002 i w Komentarzu do ACI 318-

02

gdzie:
N

Ed

- obliczeniowa siła podłużna

N

Rdx

- obliczeniowa nośność, z uwzględnieniem wpływu

smukłości, w płaszczyźnie x

N

Rdy

- jak wyżej, w płaszczyźnie y

N

Rd0

- obliczeniowa nośność przekroju obciążonego

osiowo, bez wpływu smukłości

0

1

1

1

1

Rd

Rdy

Rdx

Ed

N

N

N

N







Metoda według PN-EN

:

0

.

1

M

M

M

M

Rdy

Edy

Rdx

Edx



































Przy sile podłużnej N

Ed

musi być spełniony warunek:

gdzie:
M

Edx

M

Edy

- momenty obliczeniowe, z

uwzględnieniem

efektów II rzędu
M

Rdx

M

Rdy

- momenty graniczne (nośność przekroju)

w odpowiedniej płaszczyźnie)
α - wykładnik potęgi

Wartości wykładnika α zależą od siły obciążającej
przekrój:

gdzie:
N

Ed

- obliczeniowa siła podłużna

N

Rd

= A

c

f

cd

+ A

s

f

yd

A

c

- całkowite pole przekroju betonu

A

s

- pole przekroju zbrojenia podłużnego

N

Ed

/N

Rd

0,1

0,7

1,0

 =

1,0

1,5

2,0

Do wyznaczenia wartości pośrednich można stosować interpolację
liniową

Graficzna interpretacja tych zależności

Graficzna interpretacja tych zależności

Porównanie wyników

Porównanie wyników obliczeniowych

0

500

1000

1500

2000

2500

0

20

40

60

80

100

120

140

N, MPa

M

I

, MPa

a - według EC2 =1
b - według EC2  według tab. 7

c - według PN

c

a

b

=40
=0.009
=22.5°

Porównanie wyników obliczeniowych

0

500

1000

1500

2000

2500

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

N, MPa

M

I

, MPa

a - według EC2 =1
b - według EC2  według tab. 7

c - według PN

c

a

b

=80
=0.009
=22.5°

Minimalny stopień

zbrojenia przekroju

Elementy zginane

Minimalny przekrój zbrojenia

podłużnego

bd

0013

.

0

bd

f

f

26

.

0

A

yk

ctm

min

,

1

s





Minimalny przekrój zbrojenia podłużnego

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0

3

6

9

12

15

18



x

10

2

f

ctm

/f

yk

x

10

3

h/d=1.2

h/d=1.1

według (37) i (38)


Lmin

=0.335f

ctm

/f

yk



Lmin

=0.280f

ctm

/f

yk

PN 02: 

Lmin

=0.26f

ctm

/f

yk

Elementy zginane

bbb

0

0.1

0.2

0.3

0.4

15

20

25

30

35

40

45

50



Lmin

x

10

2

f

ck

, MPa

DIN 1045-1

MC 90

ACI belki

CSA

ACI płyty

PN 02

PN 02 i prEC2

Wpływ stopnia zbrojenia podłużnego na

sztywność belki żelbetowej

0

1

2

3

4

5

0

0.0015

0.003

0.0045

0.006

0.0075

0.009

(

k h)

10

=0.0120

(k h)

10

=0.0129

f

c,cube

=100MPa

f

c,cube

=30MPa

uplastycznienie zbrojenia

(

k h)

10

=0.0135

(k h)

cu

=0.0117

K h

(

k h)

10

=0.0124

(k h)

10

=0.0132

M/bh

2

, MPa

r

=0.015

r

=0.0015

r

=0.004

Elementy ściskane

Norma

A

s,min

Uwagi

PN 02

słupy zwykłe

EC2

N

Ed

= N

Sd

ACI 318-02

0.01A

c

 

MC 90

0.008A

c

 

DIN 1045-1

N

Ed

= N

Sd

c

yd

Sd

A

003

.

0

f

N

15

.

0



c

yd

Ed

A

002

.

0

f

N

10

.

0



yd

Ed

f

N

15

.

0

Beton skrępowany

Confined concrete

Beton skrępowany

W efekcie ograniczenia poprzecznych odkształceń

betonu zmienia się zależność σ

c

– ε

c

A - beton bez ograniczenia odkształceń
poprzecznych

Beton skrępowany

ck

2

2

cu

c

,

2

cu

2

ck

c

,

ck

2

c

c

,

2

c

ck

2

ck

2

ck

c

,

ck

ck

2

ck

2

ck

c

,

ck

f

2

,

0

f

f

f

05

,

0

dla

f

50

,

2

125

,

1

f

f

f

05

,

0

dla

f

0

,

5

0

,

1

f

f









































































Beton skrępowany

CFRP (Carbon Fiber Reinforced Polymer)
GFRP (Glass Fiber Reinforced Polymer)
AFRP (Aramid Fiber Reinforced Polymer)

STAL MIĘKKA

STAL MIĘKKA

CFRP

CFRP

AFRP

AFRP

GFRP

GFRP

 

 

GPa)

GPa)





4

4

2

2

6

6

0.02

0.02

0.04

0.04

Zakresy zależności σ-ε materiałów kompozytowych FRP i

Zakresy zależności σ-ε materiałów kompozytowych FRP i

stali

stali

Beton skrępowany

0

0

15

15

30

30

45

45

60

60

75

75

90

90

-20,0

-20,0

-16,0

-16,0

-12,0

-12,0

-8,0

-8,0

-4,0

-4,0

0,0

0,0





v

v

, ‰

, ‰





,

M

Pa

,

M

Pa

W-3m

W-3m

W-2m

W-2m

W-1m

W-1m

W-0

W-0

0

0

15

15

30

30

45

45

60

60

75

75

90

90

0,0

0,0

2,0

2,0

4,0

4,0

6,0

6,0

8,0

8,0

10,0

10,0

12,0

12,0





h

h

, ‰

, ‰





,

,

M

Pa

M

Pa

W-0

W-0

W-1m

W-1m

W-2m

W-2m

W-3m

W-3m

SERIA „W” – ŚREDNIE

SERIA „W” – ŚREDNIE

ODKSZTAŁCENIA PODŁUŻNE I

ODKSZTAŁCENIA PODŁUŻNE I

POPRZECZNE

POPRZECZNE

Beton skrępowany

0

0

10

10

20

20

30

30

40

40

50

50

-8,0

-8,0

-6,0

-6,0

-4,0

-4,0

-2,0

-2,0

0,0

0,0





v

v

, ‰

, ‰





,

M

Pa

,

M

Pa

0

0

10

10

20

20

30

30

40

40

50

50

0,0

0,0

2,0

2,0

4,0

4,0

6,0

6,0

8,0

8,0

10,0

10,0





h

h

, ‰

, ‰





,

M

Pa

,

M

Pa

K-2m

K-2m

K-0

K-0

K-2m

K-2m

K-0

K-0

SERIA „K” – ŚREDNIE

SERIA „K” – ŚREDNIE

ODKSZTAŁCENIA PODŁUŻNE I

ODKSZTAŁCENIA PODŁUŻNE I

POPRZECZNE (WZMOCNIENIE

POPRZECZNE (WZMOCNIENIE

MATĄ)

MATĄ)

Beton skrępowany

0

0

15

15

30

30

45

45

60

60

75

75

-5,0

-5,0

-4,0

-4,0

-3,0

-3,0

-2,0

-2,0

-1,0

-1,0

0,0

0,0





v

v

, ‰

, ‰





,

M

Pa

,

M

Pa

K-t2m

K-t2m

K-0

K-0

K-t

K-t

SERIA „K” – ŚREDNIE ODKSZTAŁCENIA PRÓBEK (BEZ WZMOCNIENIA, MATA, MATA+TAŚMA)

SERIA „K” – ŚREDNIE ODKSZTAŁCENIA PRÓBEK (BEZ WZMOCNIENIA, MATA, MATA+TAŚMA)