K ą t y

K ą t y

Beata Nowakowska

Beata Nowakowska

Wybierz lekcję

Wybierz lekcję



Kąt i jego miara

Kąt i jego miara



Kąty przyległe i wierzchołkowe

Kąty przyległe i wierzchołkowe



Kąty naprzemianległe i odpowiadaj

Kąty naprzemianległe i odpowiadaj

ące

ące

Jak powstaje

Jak powstaje

kąt ?

kąt ?

Dwie półproste o wspólnym początku

dzielą płaszczyznę na dwie części.

Każdą z tych części, wraz z półprostymi,

nazywamy kątem.

O

.

A

.

B

.

Elementy kąta

Elementy kąta

Półproste tworzące kąt

nazywamy ramionami kąta,

a ich wspólny początek wierzchołkiem

kąta.

wierzchołek

ramiona

O

.

.

Oznaczanie kątów

Oznaczanie kątów

.

A

.

B

O

.

<

AOB

Kąty przystające

Kąty przystające

A

.

O

.

B

.

.

O

.

.

E

K

Kątami przystającymi nazywamy kąty,

które mają równe miary.

F

.

O

.

G

.

Miara kąta

Miara kąta

płaskiego

płaskiego

o

o

Miara stopniowa

1 = 60’ 1 stopień = 60

minut

1’ = 60’’ 1 minuta = 60

sekund

Miara łukowa

1 radian = 57,3

1 = 0,017

radiana

o

Zamień na minuty 42

o

37’.

42

o

37’=42

.

60’+37’ = 2520’+37’= 2557’

Kąt wypukły

Kąt wypukły

Kątem wypukłym nazywamy kąt,

którego każde dwa punkty

wyznaczają





0

o

< < 180

o

.

.

.

.

odcinek należący do tego

kąta.

Kąt wklęsły

Kąt wklęsły

Kątem wklęsłym nazywamy kąt,

w którym istnieją punkty wyznaczające



180

o

< < 360

o



.

.

odcinek nie zawarty w tym kącie.

Figury wypukłe

Figury wypukłe

Figurą wypukłą nazywamy taką figurę,

której każde dwa punkty wyznaczają odcinek

zawarty w tej figurze.

Wskaż figury wypukłe

.

.

.

.

.

.

.

a

b

c

d

e

f

g

.

.

.

.

.

.

. .

..

Wybierz lekcję

Wybierz lekcję



Kąt i jego miara

Kąt i jego miara



Kąty przyległe i wierzchołkowe

Kąty przyległe i wierzchołkowe



Kąty naprzemianległe i odpowiadaj

Kąty naprzemianległe i odpowiadaj

ące

ące

Definicja kąta

Definicja kąta

Kątem nazywamy część płaszczyzny powstałą

przez jej rozcięcie dwiema różnymi półprostymi

o wspólnym początku, wraz z tymi półprostymi.

A

O

B

.

.

ramiona

wierzchołek

.

Rodzaje kątów

Rodzaje kątów



prosty

Kąt płaski, którego miara wynosi 90

o

.

ostry

Kąt, którego miara jest mniejsza niż 90

o

.

rozwarty

Kąt, którego miara jest

większa od 90

o

i mniejsza od 180

o

.

półpełny

Kąt, którego miara wynosi 180

o

.

pełny

Kąt, którego miara wynosi 360

o

.

wypukły

Kąt, którego miara jest mniejsza niż 180

o

.

wklęsły

Kąt, którego miara jest

większa od 180

o

i mniejsza od 360

o

.















Półproste

Półproste

dopełniające się

dopełniające się

Dwie różne półproste leżące na jednej prostej

i mające wspólny początek nazywamy

półprostymi dopełniającymi się.

< BOA =

180

o

.

A

B

.

O

Kąty przyległe

Kąty przyległe

Kątami przyległymi nazywamy takie dwa kąty,

które mają jedno ramię wspólne,

= 180

o

półprostymi dopełniającymi się.

AOB +

<

COB

<

O

B

.

C

.

.

a pozostałe ramiona są

.

A

Kąty

Kąty

wierzchołkowe

wierzchołkowe

Kąty wypukłe, których ramiona wzajemnie się

przedłużają, nazywamy kątami wierzchołkowymi.

Kąty wierzchołkowe mają równe miary.

O

B

.

.

A

D

.

C

.

AOB =

<

COD

<

Budowa

Budowa

twierdzenia

twierdzenia



W matematyce używamy zdań opisujących własności



(aksjomaty i twierdzenia) i zdań określających nowe

pojęcia (definicje). Oto najczęściej stosowany sposób

formułowania twierdzeń.

Jeżeli

, to

.

założenie

teza

Każde twierdzenie matematyczne musi mieć dowód,

czyli logiczne uzasadnienie.

Aksjomaty są też zdaniami opisującymi

pewne pojęcia i własności, ale przyjmujemy je za

prawdziwe bez dowodu.

Dowód

Dowód

twierdzenia

twierdzenia

Jeżeli kąty są wierzchołkowe

,

to

Twierdzenie:

Dowó

d:

mają równe miary.

BOA =

<

KOT

<

Niech kąty BOA i KOT

będą kątami

wierzchołkowymi.

Wtedy kąt BOA i kąt KOA

są kątami przyległymi

ora

z

kąt KOT i kąt KOA są kątami przyległymi.

Zate

m

BOA +

<

KOA

<

KOT +

<

KOA

<

=

180

o

=

180

o

i

Z równości tych wynika, że

BOA +

<

KOA

<

KOT +

<

KOA

<

=

czyli

.

.

K

T

O

A

.

B

.

co kończy dowód.

Wybierz lekcję

Wybierz lekcję



Kąt i jego miara

Kąt i jego miara



Kąty przyległe i wierzchołkowe

Kąty przyległe i wierzchołkowe



Kąty naprzemianległe i odpowiadaj

Kąty naprzemianległe i odpowiadaj

ące

ące

Kąty

Kąty

odpowiadające

odpowiadające



1









1









1





1





Dwie różne proste przecięte trzecią

prostą

tworzą m.in. kąty odpowiadające.

Wskaż kąty

Wskaż kąty

odpowiadające

odpowiadające

1

2

3

4

5

6

8

1 i

5

2 i 6

3 i

7

4 i 8

7

Twierdzenie o kątach

Twierdzenie o kątach

odpowiadających

odpowiadających

k ll m

Jeżeli dwie proste równoległe są

przecięte trzecią prostą, to utworzone

przez nie kąty











k

m

odpowiadające są przystające.

Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne

o kątach

o kątach

odpowiadających

odpowiadających

Jeżeli dwie proste k i m są przecięte trzecią

prostą

i utworzone przez nie kąty odpowiadające

są przystające,



k ll m









to proste k i m są równoległe.

k

m

Kąty naprzemianległe

Kąty naprzemianległe



wewnętrzne

wewnętrzne



zewnętrzne

zewnętrzne

k

m

c

k

m

c

Dwie różne proste przecięte trzecią prostą

tworzą m.in. kąty naprzemianległe

wewnętrzne i zewnętrzne.

Twierdzenie o kątach

Twierdzenie o kątach

naprzemianległych

naprzemianległych

wewnętrznych

wewnętrznych

k ll m

Jeżeli dwie proste równoległe są

przecięte

trzecią prostą, to utworzone przez nie

kąty











k

m

naprzemianległe wewnętrzne są przystające.

Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne

o kątach naprzemianległych

o kątach naprzemianległych

wewnętrznych

wewnętrznych

Jeżeli dwie proste k i m są przecięte trzecią prostą

i utworzone przez nie kąty naprzemianległe
wewnętrzne
są przystające,



k ll m

k









m

to proste k i m są równoległe.

Twierdzenie o kątach

Twierdzenie o kątach

naprzemianległych

naprzemianległych

zewnętrznych

zewnętrznych

k ll m

Jeżeli dwie proste równoległe są przecięte

trzecią prostą, to utworzone przez nie kąty











k

m

naprzemianległe zewnętrzne są przystające.

Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne

o kątach naprzemianległych

o kątach naprzemianległych

zewnętrznych

zewnętrznych

Jeżeli dwie proste k i m są przecięte trzecią prostą

i utworzone przez nie kąty naprzemianległe

zewnętrzne



k ll m









m

k

są przystające, to proste k i m są równoległe.

Wybierz lekcję

Wybierz lekcję



Kąt i jego miara

Kąt i jego miara



Kąty przyległe i wierzchołkowe

Kąty przyległe i wierzchołkowe



Kąty naprzemianległe i odpowiadaj

Kąty naprzemianległe i odpowiadaj

ące

ące