Całka krzywoliniowa w

przestrzeni

)

(t

x

x 

)

(t

y

y 

)

(t

z

z 

b

t

a





Jeżeli

wted
y

długość krzywej

Przykład

C
jest

Obliczy
ć

Całka krzywoliniowa
skierowana

Całka krzywoliniowa pola

wektorowego

Ciągłe pole
wektorowe

Podzielmy C na odcinki P

i-1

P

i

o długości

s

i

Praca jest całką liniową wzdłuż łuku stycznej składowej
wektora siły

Związek z całką z funkcji

skalarnej

Przykład

Oblicz pracę wykonana przez pole sił
które działa wzdłuż ¼ okręgu

Podstawowe
twierdzenie

dla całek krzywoliniowych

Dla całek funkcji jednej
zmiennej

Niech C będzie krzywą gładką daną przez funkcję wektorową

Niech f będzie różniczkowalną funkcją dwóch lub trzech zmiennych
posiadającą na C ciągły gradient

wtedy

Wartość całki nie zależy od drogi
całkowania

Przykład

Oblicz pracę w polu grawitacyjnym wykonaną podczas
przesunięcia masy m z punktu (3,4,12) do punktu (2,2,0).

Dowód:

Przykład

Obliczy
ć

a)

odcinek łączący
punkty

i

b)

parabola między
punktami

Załóżmy, że C

1

i C

2

są dwiema krzywymi kawałami gładkimi. Mają te same

punkty początkowe A i końcowe B. W przypadku ogólnym
Ale zachodzi:

Całka liniowa z potencjalnego pola wektorowego
zależy tylko od początkowego i końcowego punktu
krzywej.

Krzywa zamknięta koniec =
początek

Twierdzenie

Greena

Twierdzenie Greena podaje związki między całką liniową i
całką podwójną.

1. Dodatnia orientacja krzywej zamkniętej(idąc po krzywej obszar mamy po

lewej ręce).

Niech C będzie dodatnio zorientowaną, kawałkami gładką
zamkniętą krzywą i niech D będzie obszarem ograniczoną tą
krzywą. Jeżeli P(x,y) i Q(x,y)mają ciągłe pochodne w każdym
zbiorze otwartym zawartym w D wtedy:

Dowód

Zauważmy, że C

3

idzie z „prawa na lewo” natomiast –C

3

idzie z

„lewej do prawej”.
Można zatem zapisać równanie dla –C

3

jako x = x, y = y(x) : a≤ x≤

b.

Przykład

Oblicz całkę gdzie C jest
krzywą łamaną (0,0), (1,0), (0,1), (0,0).

Przykład

Oblicz całkę gdzie C jest
okręgiem

Jeżeli funkcja ma w pewnym obszarze ciągłe pochodne mieszane
rzędu drugiego to zachodzi równość w każdym punkcie tego obszaru:

)

,

( y

x

f

x

y

f

y

x

f















2

2

Przykład

Wyznaczyć potencjał V pola wektorowego
W(x,y,z)=[y

2

,z

2

,xy]

Jako potencjał funkcja poszukiwana V powinna spełniać
warunek:

xy

z

V

z

y

V

y

x

V

z

y

x

V





















);

,

,

(

grad

2

2

W

Policzmy drugie pochodne mieszane, np.:

zatem

0

2

2

2

2

2

x

y

V

y

x

V

x

y

V

y

y

x

V































Pole wektorowe W nie
jest potencjalne.

Twierdzenie
Schwarza

Rotacja pola wektorowego

Dane jest pole wektorowe

k

j

i

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

)]

,

,

(

),

,

,

(

),

,

,

(

[

)

,

,

(

z

y

z

R

z

y

x

Q

z

y

x

P

z

y

x

W

z

y

z

R

z

y

x

Q

z

y

x

P

z

y

x

W









Wir lub rotacja tego pola to pole wektorowe o współrzędnych:











































y

P

x

Q

x

R

z

P

z

Q

y

R

,

,

k

j

i







































































y

P

x

Q

x

R

z

P

z

Q

y

R

Piszemy













































y

P

x

Q

x

R

z

P

z

Q

y

R

rotW

,

,

R

Q

P

rotW

z

y

x

k

j

i















Operator różniczkowy nabla
(Hamiltona)

z

k

y

j

x

i





















f

gradf 



W

divW 



W

rotW







Przykład

Twierdzenie

Jeżeli f jest funkcją trzech zmiennych, która ma ciągłe pochodne
cząstkowe drugiego rzędu wtedy:

Twierdzenie Jeżeli F jest polem wektorowym określonym na całej R

3

którego pochodne cząstkowe są ciągłe i curl F = 0 to F jest polem
wektorowym potencjalnym.

Przykład

a) Pokazać, że jest polem
potencjalnym

b) Znaleźć potencjał, tzn. funkcję f taką, że

Ale

Dywergencja

z

R

y

Q

x

P



















W

div



własności







grad

W

div

W

(

div

W





)

k

j

i

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

)]

,

,

(

),

,

,

(

),

,

,

(

[

)

,

,

(

z

y

z

R

z

y

x

Q

z

y

x

P

z

y

x

W

z

y

z

R

z

y

x

Q

z

y

x

P

z

y

x

W









Twierdzenie Jeżeli jest polem
wektorowym w R

3

i P,Q,R posiadają ciągłe pochodne

drugiego rzędu wtedy:

Przykład

Pokazać, że pole wektorowe nie
może być przedstawione jako rotacja innego pola wektorowego.

************************************************

operator
Laplace’a

Równanie
Laplace’a

Parametryzacja
powierzchni

Płaszczyzna styczna

Przykład. Znajdź styczną płaszczyznę do powierzchni danej
równaniami

w punkcie (1,1,3).

Wektory
styczne

Punkt (1,1,3) dla u= 1 i
v = 1

Pole powierzchni

Jeżeli gładka powierzchnia S jest dana równaniem

i S jest pokryta jednoznacznie gdy (u,v)

przebiega zbiór D wtedy

miara powierzchni:

gdzie

Przykład. Znajdź powierzchnię kuli o promieniu a

Całka powierzchniowa

f(x,y,z
)

Przykład

Oblicz gdzie S jest powierzchnią:

Powierzchnia

Załóżmy, że powierzchnia S jest dana
równaniem wektorowym:

S jest kawałkami gładka i składa się ze skończonej ilości gładkich
płatów S

1

, S

2

,..., S

n

Przykład

Oblicz całkę gdzie S jest sumą dwóch płatów: S

1

walcem

spodem S

2

jest koło na płaszczyźnie xy a wierzchem S

3

płaszczyzna

S

1

S

2

S

3

Powierzchnia
zorientowana

Dodatnia
orientacja

Ujemna orientacja

Powierzchnia zamknięta
ma dodatnia orientację,
jeżeli wektor jest
skierowany na zewnątrz.

Całka powierzchniowa z funkcji

wektorowej

Załóżmy, żę S jest zorientowaną powierzchnią z wektorem normalnym n i
wyobraźmy sobie ciecz o gęstości

(x,y,z) i prędkości v(x,y,z) przepływającą

przez S. Szybkość przepływu (masa na jednostkę czasu) na jednostkę
powierzchni dana jest wzorem

v. Jeżeli podzielimy S na małe „łuski” S

ij

możemy aproksymować masę cieczy przepływającej przez S

ij

w kierunku n w

jednostce czasu przez wyrażenie gdzie

 , v, n obliczamy

dla jakiegoś punktu z S

ij.

Fizycznie – szybkość przepływu przez
S.

Całka powierzchniowa z
pola wektorowego F przez
S.

Strumień przez
powierzchnię

Jeżeli S jest wykresem funkcji z = g(x,y)

jest normalny do powierzchni w punkcie
(x,y,z)

Przykład

Oblicz ,gdzie

S jest brzegiem obszaru E ograniczonego paraboloidą
i z = 0 .