Wykład 15

MECHANIKA TEORETYCZNA

Studia stacjonarne I stopnia – rok akademicki 2014/15

Autor:

Henryk Laskowski

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych
Instytut Mechaniki Budowli
Wydział Inżynierii Lądowej

Dynamika układu o jednym stopniu swobody

Drgania tłumione harmonicznie wymuszone

Podsumowanie działu

Część 1

Drgania tłumione harmonicznie wymuszone

3

( )

( )

( )

c

s

mq t

cq t

kq t

P cosλt P sinλt

+

+

=

+

&&

&

1.1. Równanie ruchu

Ogólne równanie ruchu układu materialnego o jednym stopniu swobody
poddanego działaniu siły harmonicznej

Rozwiązaniem równania niejednorodnego, liniowego, drugiego rzędu o stałych
współczynnikach jest suma całki ogólnej równania jednorodnego

q

j

(t)

i całki

szczególnej równania niejednorodnego

q

n

(t)

.

( )

( )

( )

j

u

q t

q t

q t

=

+

Rozwiązanie równania jednorodnego:

( )

(

)

γωt

j

s

d

c

d

q t

e

A sinω t A cosω t

-

=

+

s

c

A , A

- stałe całkowania wyznaczane z warunków początkowych
lub brzegowych wprowadzonych do rozwiązania ogólnego
równania niejednorodnego

4

Całkę szczególną równania niejednorodnego przyjmuje się w
postaci:

- prędkość

- przyśpieszenie

(

)

(

)

(

)

2

2

s

c

s

c

s

c

c

s

m aλ sinλt a λ cosλt

c a λcosλt a λsinλt

k a sinλt a cosλt

P cosλt P sinλt

-

-

+

-

+

+

=

+

(

)

(

)

2

2

c

s

c

c

s

s

k mλ a

cλa

P

cλa

k mλ a

P

-

+

=

-

+ -

=

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2 2

2

2 2

c

s

s

c

c

s

k mλ P cλP

k mλ P cλP

a

, a

k mλ

c λ

k mλ

c λ

-

-

-

+

=

=

-

+

-

+

Jeśli powyższe równanie musi być
spełnione w każdej chwili czasu to:

(pogrupowano wyrazy przy sinus i
cosinus)

a stąd:

 

t

a

t

a

t

q

c

s

n





cos

sin 



 

t

a

t

a

t

q

c

s

n









sin

cos 





 

t

a

t

a

t

q

c

s

n









cos

sin

2

2









5

Rozwiązanie równania niejednorodnego

( )

(

)

γωt

s

d

c

d

s

c

q t

e

A sinω t A cosω t

a sinλt a cosλt

-

=

+

+

+

( )

(

)

(

)

γωt

γωt

s

d

c

d

s d

d

c d

d

s

c

q tγωe

A sinω t A cosω t

e

Aω cosω t A ω sinω t

aλcosλt a λsinλt

-

-

=-

+

+

-

+

+

-

&

0

c

s d

s

vγωA Aω

a λ

=-

+

+

0

c

c

q

A a

= +

( )

0

0

q t

q

=

( )

0

0

q t

v

=

&

0

0

t =

0

c

c

A

q a

= -

(

)

0

0

c

s

s

d

vγω q a

a λ

A

ω

+

-

-

=

Wyznaczenie stałych całkowania

A

s

i

A

c

6

Czas
[s]

P

o

ło

że

n

ie

[m

]

S

iła

w

y

m

u

sz

a

ją

ca

[N

/1

0

0

]

położenie
siła wymuszająca

1

m

kg

=

20

N

k

m

=

Przykład:

0 6

Ns

c

,

m

=

0 067

γ

,

=

0

0

q

m

=

0

0

m

v

s

=

( )

s

F t

P sinλt

=

( )

s

F t

P sinλt

=

1

s

P

N

=

6

s

rad

λ

s

=

( )

(

)

γωt

s

d

c

d

s

c

q t

e

A sinω t A cosω t

a sinλt a cosλt

-

=

+

+

+

0059

0013

0081

0013

s

c

s

c

a

.

m, a

.

m, A

.

m, A

.

m

=-

=-

=

=

7

Czas
[s]

funkcja
wykładnicza

( )

γωt

m

q t

Ae

-

=

( )

(

)

γωt

j

s

d

c

d

q t

e

A sinω t A cosω t

-

=

+

2

2

0081

0013

0 082

s

c

s

c

A

.

m, A

.

m, A

A

A

,

m

=

=

=

+

=

0

2

4

6

8

10

12

14

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.1

0.1



q j t

( )

 t

( )

 t

( )



F t

( )

100

15

0

t

P

o

ło

że

n

ie

[m

]

S

iła

w

y

m

u

sz

a

ją

ca

[N

/1

0

0

]

siła wymuszająca

( )

s

F t

P sinλt

=

położenie

8

Czas
[s]

P

o

ło

że

n

ie

[m

]

S

iła

w

y

m

u

sz

a

ją

ca

[N

/1

0

0

]

siła wymuszająca

( )

s

F t

P sinλt

=

położenie

( )

u

s

c

q t

a sinλt a cosλt

=

+

2

2

0059

0013

0061

s

c

s

c

a

.

m, a

.

m, a

a

a

.

m

=-

=-

=

+

=

0

2

4

6

8

10

12

14

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.1

0.1



q u t

( )

F t

( )

100

15

0

t

9

Czas
[s]

całka szczególna równania
niejednorodnego

P

o

ło

że

n

ie

[m

]

S

iła

w

y

m

u

sz

a

ją

ca

[N

/1

0

0

]

siła wymuszająca

( )

s

F t

P sinλt

=

całka ogólna równania
jednorodnego

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.1

0.1



q t

( )

qj t

( )

qu t

( )

F t

( )

100

10

0

t

całka ogólna równania niejednorodnego

( )

(

)

γωt

j

s

d

c

d

q t

e

A sinω t A cosω t

-

=

+

( )

u

s

c

q t

a sinλt a cosλt

=

+

( )

( )

( )

j

u

q t

q t

q t

=

+

10

Alternatywna postać rozwiązania

( )

s

c

P t

P sinλt P cosλt

=

+

( )

(

)

0

P t

P sinλt θ

=

-

2

2

0

s

c

P

P

P

=

+

c

s

P

tgθ

P

=-

0

s

P

P cosθ

=

0

c

P

P sinθ

=-

( )

(

)

(

)

u

s

c

q t

a sinλt θ

a cos λt θ

=

-

+

-

%

%

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego
(opis ruchu ustalonego)

(

)

(

)

(

)

2

0

0

2

2

2

2 2

2

2 2

c

s

k mλ P

cλP

a

, a

k mλ

c λ

k mλ

c λ

-

-

=

=

-

+

-

+

%

%

11

s

a

a cosφ

=

0

%

( )

(

)

(

)

u

s

c

q t

a sinλt θ

a cos λt θ

=

-

+

-

%

%

c

a

a sinφ

=-

0

%

( )

(

)

0

u

q t

a sinλt θ φ

=

- -

(

)

2

2

0

0

2

2

2 2

s

c

P

k

a

a

a

k

k mλ

c λ

=

+

=

-

+

% %

2

c

s

a

λc

tgφ

a

k mλ

=-

=

-

%
%

0

st

P

a

k

=

2

kr

c

mω

=

kr

cγc

=

(

)

2

0

2

2

2

2 2

2

4

st

a

ω

η

a

ω

λ

λγ ω

=

=

-

+

2

2

2λγω

tgφ

ω

λ

=

-

Współczynnik
dynamiczny
(współczynnik zwielokrot-
nienia drgań)

Kąt fazowy

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3

0

e0p

( )

e25p

( )

e50p

( )

e100p

( )

lx p

( )

p

3

0

p p



p



p



p



ly p

( )



(

)

2

0

2

2

2

2 2

2

4

st

a

ω

η

a

ω

λ

λγ ω

=

=

-

+

2

2

2

2

2

2

1

1

4

η

λ

λ

γ

ω

ω

=

�

�

-

+

�

�

�

�

0

γ=

025

γ

.

=

05

γ

.

=

10

γ

.

=

(

)

η λ/ ω

λ/ ω

13

0

0.2 0.4 0.6 0.8

1

1.2 1.4 1.6 1.8

2

2.2 2.4 2.6 2.8

3

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

0.2



f0 p

( )

f25p

( )

f50p

( )

f100p

( )

l0 p

( )

l1 p

( )

l2 p

( )

3

0

p

2

2

2λγω

tgφ

ω

λ

=

-

2

2

2

1

λ

γ

ω

tgφ

λ

ω

=

-

2

2

2

1

λ

γ

ω

φ atan

λ

ω

�

�

�

�

�

�

=

�

�

-

�

�

�

�

(

)

φ λ/ ω

λ/ ω

0

γ=

025

γ

.

=

05

γ

.

=

10

γ

.

=

14

 CreateSpace

0 200



(

)



CreateSpace

Lx 200



(

)



CreateSpace

Lz 100



(

)



CreateSpace

25 200



(

)



CreateSpace

50 200



(

)



CreateSpace

100200



(

)



15

 CreateSpace

0 200



(

)



CreateSpace

25 200



(

)



CreateSpace

50 200



(

)



CreateSpace

100 200



(

)



16

Wpływ parametrów

m

,

k

,

c

układu na amplitudę drgań

wymuszonych

(

)

0

0

2

2

2 2

P

k

a

k

k mλ

c λ

=

-

+

0

0

2

2

2

2

2

2

1

1

4

P

a

k

λ

λ

γ

ω

ω

=

�

�

-

+

�

�

�

�

λ ω

=

0

0

P

a

k

�

w strefie przedrezonansowej amplituda
drgań zależy głównie od sztywności układu

λ ω

=

w strefie rezonansowej amplituda drgań
zależy głównie od współczynnika tłumienia

0

dη

dλ

=

0

0

2

P

a

mλ

=

w strefie pozarezonansowej amplituda
drgań zależy głównie od masy układu

Amplituda drgań
rezonansowych

2

1 2

eks

λ

ω

γ

=

-

2

1

2 1

max

η

γ

γ

=

-

1

2

max

η

γ

=

eks

λ

ω

�

λ ω

?

Gdy



jest bliskie 0 to:



c

P

a

0

0



Część 2

Redukcja drgań

18

Redukcja drgań w budynkach wysokich

– konstrukcje wiotkie i tym samym podatne na działanie obciążeń
dynamicznych
– zbyt duże amplitudy drgań mogą utrudniać lub nawet uniemożliwiać
prawidłową
eksploatację budynku
– wpływ dużych przemieszczeń i przyspieszeń na samopoczucie
użytkowników
– duże przyspieszenia mogą wywoływać wzrost sił wewnętrznych w
elementach
konstrukcyjnych
– konieczność redukcji drgań budynków posadowionych na terenach
górniczych
– konieczność redukcji drgań wywołanych ruchem pojazdów

Redukcja drgań platform wiertniczych

Redukcja drgań mostów, kładek dla pieszych,
masztów, kominów

Redukcja drgań konstrukcji wsporczych pod maszyny

19

Z systemem sterowania

Bez systemu sterowania

TMD-RP lub
AMD

20

21

22

Klasyfikacja obciążeń dynamicznych

Podział sił wymuszających ze względu na pochodzenie

- siły wywołane działaniem maszyn

- siły wywołane parciem wiatru

- siły aerodynamiczne wywołane opływem powietrza

- siły wywołane trzęsieniami ziemi

- siły wywołane ruchem pojazdów lub ludzi

Podział sił wymuszających ze względu na ich charakter

- obciążenia deterministyczne (np. działanie maszyn)

- obciążenia o charakterze losowym

• obciążenia niestacjonarne (trzęsienie ziemi)
• obciążenia stacjonarne (parcie wiatru)

Podział sił wymuszających ze względu na okresowość

- obciążenia okresowe

- obciążenia nieokresowe (np. impulsowe)

23

24

Klasyfikacja metod redukcji drgań

- metody pasywne
- metody aktywne
- metody półaktywne

Redukcja drgań

- poprzez zwiększenie możliwości rozpraszania energii
- poprzez modyfikację sztywności konstrukcji

- poprzez modyfikację obciążenia dynamicznego konstrukcji

- poprzez modyfikację częstości drgań własnych konstrukcji

25

Eliminator drgań

Urządzenie wbudowane w konstrukcję w celu zmniejszenia
efektów dynamicznego oddziaływania obciążenia na
konstrukcję

- Pasywne eliminatory drgań

- Aktywne eliminatory drgań

- Półaktywne eliminatory drgań

26

27

Pasywne eliminatory drgań

- Działanie nie wymaga dostarczania energii ze źródeł
zewnętrznych

- Zasada działania może polegać na rozpraszaniu energii
(lepkosprężyste
tłumiki drgań, lepkie tłumiki drgań, metalowe tłumiki
drgań,
wibroizolatory)

- Zasada działania może polegać na modyfikacji częstości
drgań
własnych konstrukcji (dynamiczne (masowe) tłumiki drgań)

- Charakteryzują się stałością parametrów, co oznacza, że w
trakcie
eksploatacji te parametry nie mogą być w sposób
zamierzony
zmieniane

- Są to najczęściej stosowane eliminatory drgań

28

LRB

- Lead Rubber Bearing
- łożysko ołowiano – gumowe

29

RB

- Rubber Bearing
- łożysko gumowe

30

SSR

- Sliding Support With Rubber-pad

31

32

FPS

- Friction Pendulum System
- system wahadłowy z tarciem

33

VWD

- Vibration Wall Damper
- tłumik drgań ścian

34

CVD

- Cylindrical Viscous Damper
- wiskotyczny tłumik cylindryczny

35

BMD

- Binghum Material Damper
- Tłumik z materiałem Binghama

36

LED

- Lead Extrusion Damper
- tłumik z wyciskanym ołowiem

37

TMD-RP- Tuned Mass Damper – Roller Pendulum type

- dostrojony tłumik masowy

38

Lepkosprężyste tłumiki drgań

39

Lepki tłumik drgań

40

Metalowy tłumiki drgań

41

Typ

i wielkość

Wymiary (mm) 

Waga

(kg)

Max.

obciążenie

jednostkow

e (kg)

Dw

Dz

Dt

Hmi

n

Hma

x

Gmax

M

L*

TC-160

160

190

60

50

65

65

20

 

150

3,0

1800

TC-B-160

160

190

60

50

85

65

20*

150

3,0

TC-160W

160

190

60

68

83

65

20

150

3,4

TC-B-160W

160

190

60

68

83

65

20

150

3,4

TC-200

200

230

65

52

70

80

24 

175

5,0

2800

TC-B-200

200

230

65

52

90

80

24*

175

5,0

TC-200W

200

230

65

72

90

80

24

175

5,5

TC-B-200W

200

230

65

72

110

80

24

175

5,5

4000

TC-200WW

200

230

65

72

90

80

24

175

6,2

Wibroizolatory talerzowe

42

Zastosowanie:
Bardzo ciężkie wentylatory, sprężarki i inne maszyny do trudnych
warunków wibroizolacji

Wibroizolatory sprężynowe

43

Masowy eleminator drgań (TAIPEI 101 TOWER)

44

Aktywne eliminatory drgań

- Zasada działania polega na generowaniu dodatkowych sił
działających
na konstrukcję w celu przeciwdziałania niekorzystnym
obciążeniom
dynamicznym

- Stanowią układ automatycznej regulacji obciążenia
dynamicznego
konstrukcji

- Działanie wymaga dostarczenia energii ze źródła
zewnętrznego

45

czujniki

komputer

czujniki

siłowniki

konstrukcja

wymuszenie

odpowiedź

Schemat blokowy systemu sterowania

System sterowania

46

Schemat ideowy
systemu
sterowania

47

48

49

50

51

52

53

Aktywny eleminator drgań (TAIPEI 101 TOWER)

54

Półaktywne eliminatory drgań

- Stanowią układ automatycznej regulacji obciążenia
dynamicznego
konstrukcji, które łączą cechy pasywnych i aktywnych
eleminatorów
drgań

- Charakteryzują się bardzo małym, w porównaniu z
eliminatorami
aktywnymi, zapotrzebowanie na energię. Siły generowane
w tych
eliminatorach mają charakter sił tłumienia

- Parametry urządzenia generującego siły regulacji można w
sposób
zamierzony zmieniać

- Półaktywny eliminator drgań to każdy układ pasywny, w
którym
możliwa jest zmiana parametrów w czasie rzeczywistym

55

Rodzaje półaktywnych eliminatorów drgań

- Półaktywne tłumiki hydrauliczne

- Półaktywne tłumiki wiskotyczne

- Półaktywne tłumiki elektroreologiczne

- Półaktywne tłumiki magnetoreologiczne

- Półaktywne tłumiki tarciowe

- Półaktywne tłumiki zmieniające sztywność konstrukcji

- Półaktywne tłumiki cieczowe

56

Półaktywny tłumik hydrauliczny

57

Półaktywny tłumik hydrauliczny opracowany przez
Kawashima

58

Schemat urządzenia półaktywnej regulacji sztywności

59

Schemat półaktywnego wzbudnika ER

60

Magnetoreologiczny tłumik drgań firmy Lord Corporation