Wykład 10

MECHANIKA TEORETYCZNA

Studia stacjonarne I stopnia – rok akademicki 2013/14

Autor:

Henryk Laskowski

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych
Instytut Mechaniki Budowli
Wydział Inżynierii Lądowej

ZASADA PRAC WIRTUALNYCH

WARUNKI RÓWNOWAGI SIŁ

Część 1

Więzy

3

Więzy  – ograniczenia nałożone na ciało materialne

1.1. Definicja 

Ograniczenie nałożone na jeden 
punkt bryły sztywnej:

1

A

Ruch swobodny (przy całkowitym 
braku więzów) 

( )

A

r t

const

=

Ograniczenie nałożone na wszystkie 
 punkty bryły sztywnej:

( )

0

z t

z

�

4

Kinematyczne 
(nieholonomiczne):

Geometryczne 
(holonomiczne):

(

)

1

1

1

n

n

n

f x ,y ,z , ... , x ,y ,z ,t

warunek nałożony na funkcję

(

)

1

1

1

1

1

1

n

n

n

n

n

n

f x ,y ,z , ... , x ,y ,z , x ,y ,z , ... , x ,y ,z ,t

& &

& &

&

&

warunek nałożony na funkcję

Stacjonarne (skleronomiczne,
nie zależne jawnie od czasu):

Niestacjonarne (reonomiczne,
zależne jawnie od czasu):

(

)

1

1

1

1

1

1

n

n

n

n

n

n

f x ,y ,z , ... , x ,y ,z , x ,y ,z , ... , x ,y ,z

& &

& &

&

&

warunek nałożony na funkcję

warunek nałożony na funkcję

(

)

1

1

1

1

1

1

n

n

n

n

n

n

f x ,y ,z , ... , x ,y ,z , x ,y ,z , ... , x ,y ,z , t

& &

& &

&

&

1.2. Rodzaje więzów 

5

Szorstkie (chropowate):

Rodzaje więzów (cd.)

Gładkie (idealne):

więzy, których praca reakcji jest równa 0

Dwustronne (równościowe):

Jednostronne (nierównościowe):

warunek nałożony na ruch w postaci 
równości

więzy, których praca reakcji jest różna od 0

warunek nałożony na ruch w postaci 
nierówności

6

Rodzaje więzów (cd.)

Geometryczne

Kinematyczne

Stacjonarne

Niestacjonarne

Gładkie

Szorstkie

Jednostronne

Dwustronne

7

A

( )

A

r t

const

=

( )

( )

( )

1

2

3

0

0

0

A

x

A

y

A

z

f : x t C
f : y t C
f : z t C

-

=

-

=

-

=

geometryczne

stacjonarne

dwustronne

gładkie

Przykład 1:

Ruch bryły sztywnej wokół punktu
o ustalonym położeniu bez strat 
energii

1.3. Przykłady ruchu z więzami 

8

Przykład 2:

Ruch swobodny punktu materialnego 
w polu grawitacyjnym ze zderzeniem 
sprężysto-plastycznym z szorstką 
powierzchnią

( )

0

A

z t

z

�

( )

1

0

0

A

f : z t

z

-

�

geometryczne

stacjonarne

jednostronne

szorstkie

Praca więzów jest różna od 0

9

Przykład 3:

Ruch punktu materialnego w polu grawitacyjnym bez tarcia po prostej 
poruszającej się w płaszczyźnie Oxy równoległej do linii sił pola

( )

( ) ( )

(

)

ρ t

ξ t , η t

=

φ ω t

= �

cosφ sinφ

α

sinφ cosφ

�

�

=�

�

-

�

�

%

( )

( )

( )

( )

x tξ t cosωt

sinωt

y tη t sinωt

cosωt

�

�

� �

-

�

�

=

�

�

�

� �

�

�

�

�

�

�

� �

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1

2

0

0

f : x t

cosωt ξ t

sinωt η t

f : y t

sinωt ξ t

cosωt η t

-

�

+

�

=

-

�

-

�

=

geometryczne

niestacjonarne

dwustronne

gładkie

( )

( )

10

η t

ξ t

= -

10

Aksjomat o więzach

W ruchu ciała nieswobodnego nic się nie zmieni, gdy więzy 
myślowo zostaną usunięte i ich działanie zostanie 
zastąpione siłami reakcji

Ruch w polu grawitacyjnym pod działaniem siły grawitacji i reakcji więzów

Ruch swobodny, gdy na punkt materialny nie działają żadne siły

Ruch po poziomej powierzchni (bez tarcia) w polu grawitacyjnym

11

Część 2

Zasada prac wirtualnych  

12

2.1. Przemieszczenie wirtualne 

Przemieszczenie rzeczywiste 

– wektor łączący dwa rzeczywiste położenia 
   ciała. Jest zależne od więzów i działających 

sił

Przemieszczenie wirtualne jest współliniowe z prędkością możliwą, na jaką 
pozwalają więzy

Przemieszczenie wirtualne

 

– wektor łączący dwa możliwe 

położenia 

   ciała. Jest zależne wyłącznie od więzów

{ }

0

s

ˆ

δ

k υ, k R

= �

� -

13

Problem 

1. Układ materialny jest zdefiniowany za pomocą n punktów materialnych

2. Więzy opisane są przez m niezależnych równań

3. Więzy są geometryczne, stacjonarne, gładkie

Jaki warunek musi spełniać przemieszczenie wirtualne punktu i

gdzie: 

(

)

1

1

1

0

1

j

n

n

n

d

f x ,y ,z , ... , x ,y ,z

j

, ...,m

dt

�

�=

=

�

�

( )

( )

( )

1

i

i

i

i

i

i

x

x t , y

y t , z

z t

i

, ..., n

=

=

=

=

Różniczkowanie po t:

(

)

1

1

1

0

1

j

n

n

n

f x ,y ,z , ... , x ,y ,z

j

, ...,m

=

=

Równanie więzów:

1

0

1

n

j

j

j

i

i

i

i

i

i

i

ff

f

x

y

z

j

, ...,m

x

y

z

=

�

�

�

�

�

+

+

=

=

�

�

�

�

�

�

�

�

&

&

&

1

1

1

1

1

1

0

1

j

j

j

j

j

j

n

n

n

n

n

n

ff

ff

ff

dx

dy

dz

dx

dy

dz

...

j

, ...,m

x dt

y dt

z dt

x dt

y dt

z dt

�

�

�

�

�

�

+

+

+ +

+

+

=

=

�

�

�

�

�

�

14

1

0

1

n

j

j

j

i

i

i

i

i

i

i

ff

f

x

y

z

j

, ...,m

x

y

z

=

�

�

�

�

�

+

+

=

=

�

�

�

�

�

�

�

�

&

&

&

Przesunięcie wirtualne punktu A

i

:

(

)

(

)

si

i

i

i

i

xi

yi

zi

δ

k υ

kx , ky , kz

δ , δ , δ

= � =

=

& & &

k

�

1

0

1

n

j

j

j

xi

yi

zi

i

i

i

i

ff

f

δ

δ

δ

j

, ...,m

x

y

z

=

�

�

�

�

�

+

+

=

=

�

�

�

�

�

�

�

�

j

j

j

i

j

i

i

i

ff

f

grad f

,

,

x

y

z

� � �

�

�

=�

�

� � �

�

�

1

0

n

si

i

j

i

grad fδ

=

� =

�

15

Problem 

1. Układ materialny jest zdefiniowany za pomocą n punktów materialnych

2. Więzy opisane są przez m niezależnych równań

3. Więzy są geometryczne, stacjonarne, gładkie i dwustronne

4. Układ materialny jest obciążony układem sił czynnych i reakcji więzów

5. Układ materialny znajduje się w spoczynku

Jaki warunek musi spełniać układ sił aby układ materialny pozostawał w 

równowadze

Zerowanie się pracy sił 
czynnych na przemieszczeniach 
wirtual-nych jest warunkiem 
koniecznym równowagi układu 
materialnego 

1

1

1

1

0

0

0

i

i

i

i

n

n

n

n

m r

F R

...

m r F R

...

m r

F

R

� = + =

� = + =

� = + =

&&

&&

&&

Równania ruchu:

1

s

δ

�

si

δ

�

sn

δ

�

1

1

0

n

n

i

si

i

si

i

i

δL

F δ

R δ

-

-

=

� +

� =

�

�

2.2. Zasada prac wirtualnych 

16

Problem 

1. Układ materialny jest zdefiniowany za pomocą n punktów materialnych

2. Więzy opisane są przez m niezależnych równań

3. Więzy są geometryczne, stacjonarne, gładkie i dwustronne

4. Układ materialny jest obciążony układem sił czynnych i reakcji więzów

5. Układ materialny znajduje się w ruchu rzeczywistym

Jaki warunek spełnia teraz układ sił?

Iloraz różnicowy:

(

)

( )

i

i

i

r tΔt

r t

r

Δt

+

-

�&

(

)

( )

( )

2

0

i

i

i

i

Δr r t Δt

r t

rΔt

Δt

=

+

-

=

+

&

( )

(

)

2

1

1

1

0

n

n

n

i

i

i

i

i

si

i

i

i

δL

F Δr

F rΔt

Δt

F δ

ΔL

=

=

=

=

� =

�

+

=

� +

�

�

�

&

W ruchu 
rzeczywistym:

0

δL �

17

Zasada prac wirtualnych

Warunkiem  koniecznym  i  wystarczającym równowagi układu 
sił działających   na  układ   materialny  swobodny  lub  
nieswobodny          o więzach geometrycznych, stacjonarnych, 
dwustronnych i gład-kich jest,  by suma prac wirtualnych 
wszystkich sił  czynnych,  na wszystkich przemieszczeniach 
wirtualnych, była równa 0

1

0

n

i

si

si

i

δL

F δ

,

δ

-

=

� =

"

�

18

2.3. Równania równowagi 

i

A

A

i

υ υ

ω

AA

= + �

{ }

0

k,

k R

�

� -

si

sAωA

i

δ

δ

δ

AA

=

+

�

(

)

1

1

1

n

n

n

i

si

i

sA

iωA

i

i

i

i

δL

F δ

F δ

F δ

AA

=

=

=

״+�=�=

�

�

�

(

)

1

1

0

n

n

sA

iωA

i

i

sA

ωA

i

i

δL δ

F δ

F AA

δ ,δ

=

=

"=״+�=

�

�

(

)

1

1

n

n

i

A

i

i

i

i

S

F , M

F AA

=

=

=

=

�

�

�

0

0

A

S

M

=

�

=

Warunki równowagi sił działających na ciało sztywne swobodne

O

x

y

z

r

A

F

1

F

i

F

n

A

i

A

1

A

n

A

19

Warunki równowagi sił działających na ciało sztywne nieswobodne

A

A

i

A

1

A

n

O

x

y

z

r

A

F

1

F

i

F

n

R

1

R

j

B

1

B

j

Postulat o więzach

Ciało zostaje oswobodzone 

z więzów, jednocześnie 

poddane jest działaniu 

układu sił czynnych i 

reakcji

(

)

(

)

1

1

1

1

0

0

n

m

i

j

i

j

n

m

A

i

i

j

j

i

j

S

F

R

M

F AA

R B A

=

=

=

=

=

+

=

=

�

+

�

=

� �

�

�

Warunki równowagi ciała swobodnego

20

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

n

m

x

ix

jx

i

j

n

m

y

iy

jy

i

j

n

m

z

iz

jz

i

j

n

m

Ax

Ax

i

Ax

j

i

j

n

m

Ay

Ay

i

Ay

j

i

j

n

m

Az

Az

i

Az

j

i

j

S

F

R

S

F

R

S

F

R

M

M

F

M

R

M

M

F

M

R

M

M

F

M

R

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

= �

+

=

= �

+

=

= �

+

=

= �

+

=

= �

+

=

= �

+

=

� �

� �

� �

�

�

�

�

�

�

Równania równowagi – postać ogólna

21

0

0

0

x

y

Az

S
S
M

� =

�

=

�

�

=

�

0

0

0

0

Az

Bz

Cz

M
M

AB AC

M

=

�

�

=

�

�

�

�

=

�

0

0

0

l

Az

Bz

S
M

AB l

M

=

�

�

=

^

�

�

=

�

0

0

0

B

C

Az

Bz

M

S AB

AB AC

ACλ AB

M

M

M

Sλ AB

�

�

= �

�

= �

= � � �

�

� �

= �

= �

= � �

�

� �

Gdy A, B, C współliniowe to jedno z równań jest 
zależne

Uzasadnienie warunku nie współliniowości punktów

Uzasadnienie warunku nie prostopadłości prostej l i wektora 
AB 

0

l

S =

Jeśli punkty A i B leżą na prostej działania wypadkowej (układ 
nie jest w równowadze) oraz prosta l jest prostopadła do AB

 

to:

Bez sformułowanego warunku układ równań 3 nie stanowi 
jednoznacznego warunku równowagi układu sił 

Układ 1

Układ 2

Układ 3

2.3. Równania równowagi w odniesieniu do układów płaskich 

22

2.4. Równania równowagi dwóch tarcz połączonych przegubem 

A

A

i

B

B

j

F

i

F

j

i

A

A

i

υ υ

ω

AA

= + �

j

B

B

j

υ

υ

ω BB

= + �

B

A

A

υ

υ

ω

AB

= + �

i

AωA

i

δ δ

δ

AA

= +

�

j

AωA

ωB

j

δ

δ

δ

AB δ

BB

= +

� +

�

(

)

(

)

(

)

i

A

iωA

i

j

A

j

ωA

j

ωB

j

i

i

j

j

j

δL

F δ

F δ

AA

F δ

F δ

AB

F δ

BB

״+״+�+״+�=

�

�

�

�

�

i

j

AωA

i

i

ωA

j

ωB

j

j

i

j

i

j

j

δL

F

F δ

δ

F AA

δ

F BA

δ

F B B

�

�

�

�

�

�

�

�

״+״+״+�+=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� �

�

�

�

i

i

j

j

i

j

δL

F δ

F δ

=

�+

�

�

�

23

A

A

i

B

B

j

F

i

F

j

ωA

i

i

ωA

j

i

j

ωA

i

i

ωA

j

j

ωA

j

j

i

j

j

δ

F A A

δ

F BA

δ

F AA

δ

F B A

δ

F B B

�

�

�

�

=

״

+

״

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

״

-

״

+

״

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

j

j

BA B A B B

=

-

( )

( )

( )

ωA

A

i

A

j

ωA

B

j

δ

M F

M F

δ

M F

�

�

=

�

+

-

�

�

�

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

i

j

AωA

A

i

A

j

ωA

B

j

ωB

B

j

δL

S F

S F

δ

δ

M F

M F

δ

M F

δ

M F

�

�

�

�

=

+

� +

�

+

-

�

+

�

=

�

�

�

�

( )

( )

( )

( )

( )

0

0

0

i

j

A

i

A

j

B

j

S F

S F

, M F

M F

, M F

+

=

+

=

=