Wykład 10
MECHANIKA TEORETYCZNA
Studia stacjonarne I stopnia – rok akademicki 2013/14
Autor:
Henryk Laskowski
Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych
Instytut Mechaniki Budowli
Wydział Inżynierii Lądowej
ZASADA PRAC WIRTUALNYCH
WARUNKI RÓWNOWAGI SIŁ
Część 1
Więzy
3
Więzy – ograniczenia nałożone na ciało materialne
1.1. Definicja
Ograniczenie nałożone na jeden
punkt bryły sztywnej:
1
A
Ruch swobodny (przy całkowitym
braku więzów)
( )
A
r t
const
=
Ograniczenie nałożone na wszystkie
punkty bryły sztywnej:
( )
0
z t
z
�
4
Kinematyczne
(nieholonomiczne):
Geometryczne
(holonomiczne):
(
)
1
1
1
n
n
n
f x ,y ,z , ... , x ,y ,z ,t
warunek nałożony na funkcję
(
)
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
f x ,y ,z , ... , x ,y ,z , x ,y ,z , ... , x ,y ,z ,t
& &
& &
&
&
warunek nałożony na funkcję
Stacjonarne (skleronomiczne,
nie zależne jawnie od czasu):
Niestacjonarne (reonomiczne,
zależne jawnie od czasu):
(
)
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
f x ,y ,z , ... , x ,y ,z , x ,y ,z , ... , x ,y ,z
& &
& &
&
&
warunek nałożony na funkcję
warunek nałożony na funkcję
(
)
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
f x ,y ,z , ... , x ,y ,z , x ,y ,z , ... , x ,y ,z , t
& &
& &
&
&
1.2. Rodzaje więzów
5
Szorstkie (chropowate):
Rodzaje więzów (cd.)
Gładkie (idealne):
więzy, których praca reakcji jest równa 0
Dwustronne (równościowe):
Jednostronne (nierównościowe):
warunek nałożony na ruch w postaci
równości
więzy, których praca reakcji jest różna od 0
warunek nałożony na ruch w postaci
nierówności
6
Rodzaje więzów (cd.)
Geometryczne
Kinematyczne
Stacjonarne
Niestacjonarne
Gładkie
Szorstkie
Jednostronne
Dwustronne
7
A
( )
A
r t
const
=
( )
( )
( )
1
2
3
0
0
0
A
x
A
y
A
z
f : x t C
f : y t C
f : z t C
-
=
-
=
-
=
geometryczne
stacjonarne
dwustronne
gładkie
Przykład 1:
Ruch bryły sztywnej wokół punktu
o ustalonym położeniu bez strat
energii
1.3. Przykłady ruchu z więzami
8
Przykład 2:
Ruch swobodny punktu materialnego
w polu grawitacyjnym ze zderzeniem
sprężysto-plastycznym z szorstką
powierzchnią
( )
0
A
z t
z
�
( )
1
0
0
A
f : z t
z
-
�
geometryczne
stacjonarne
jednostronne
szorstkie
Praca więzów jest różna od 0
9
Przykład 3:
Ruch punktu materialnego w polu grawitacyjnym bez tarcia po prostej
poruszającej się w płaszczyźnie Oxy równoległej do linii sił pola
( )
( ) ( )
(
)
ρ t
ξ t , η t
=
φ ω t
= �
cosφ sinφ
α
sinφ cosφ
�
�
=�
�
-
�
�
%
( )
( )
( )
( )
x tξ t cosωt
sinωt
y tη t sinωt
cosωt
�
�
� �
-
�
�
=
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� �
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
0
0
f : x t
cosωt ξ t
sinωt η t
f : y t
sinωt ξ t
cosωt η t
-
�
+
�
=
-
�
-
�
=
geometryczne
niestacjonarne
dwustronne
gładkie
( )
( )
10
η t
ξ t
= -
10
Aksjomat o więzach
W ruchu ciała nieswobodnego nic się nie zmieni, gdy więzy
myślowo zostaną usunięte i ich działanie zostanie
zastąpione siłami reakcji
Ruch w polu grawitacyjnym pod działaniem siły grawitacji i reakcji więzów
Ruch swobodny, gdy na punkt materialny nie działają żadne siły
Ruch po poziomej powierzchni (bez tarcia) w polu grawitacyjnym
11
Część 2
Zasada prac wirtualnych
12
2.1. Przemieszczenie wirtualne
Przemieszczenie rzeczywiste
– wektor łączący dwa rzeczywiste położenia
ciała. Jest zależne od więzów i działających
sił
Przemieszczenie wirtualne jest współliniowe z prędkością możliwą, na jaką
pozwalają więzy
Przemieszczenie wirtualne
– wektor łączący dwa możliwe
położenia
ciała. Jest zależne wyłącznie od więzów
{ }
0
s
ˆ
δ
k υ, k R
= �
� -
13
Problem
1. Układ materialny jest zdefiniowany za pomocą n punktów materialnych
2. Więzy opisane są przez m niezależnych równań
3. Więzy są geometryczne, stacjonarne, gładkie
Jaki warunek musi spełniać przemieszczenie wirtualne punktu i
gdzie:
(
)
1
1
1
0
1
j
n
n
n
d
f x ,y ,z , ... , x ,y ,z
j
, ...,m
dt
�
�=
=
�
�
( )
( )
( )
1
i
i
i
i
i
i
x
x t , y
y t , z
z t
i
, ..., n
=
=
=
=
Różniczkowanie po t:
(
)
1
1
1
0
1
j
n
n
n
f x ,y ,z , ... , x ,y ,z
j
, ...,m
=
=
Równanie więzów:
1
0
1
n
j
j
j
i
i
i
i
i
i
i
ff
f
x
y
z
j
, ...,m
x
y
z
=
�
�
�
�
�
+
+
=
=
�
�
�
�
�
�
�
�
&
&
&
1
1
1
1
1
1
0
1
j
j
j
j
j
j
n
n
n
n
n
n
ff
ff
ff
dx
dy
dz
dx
dy
dz
...
j
, ...,m
x dt
y dt
z dt
x dt
y dt
z dt
�
�
�
�
�
�
+
+
+ +
+
+
=
=
�
�
�
�
�
�
14
1
0
1
n
j
j
j
i
i
i
i
i
i
i
ff
f
x
y
z
j
, ...,m
x
y
z
=
�
�
�
�
�
+
+
=
=
�
�
�
�
�
�
�
�
&
&
&
Przesunięcie wirtualne punktu A
i
:
(
)
(
)
si
i
i
i
i
xi
yi
zi
δ
k υ
kx , ky , kz
δ , δ , δ
= � =
=
& & &
k
�
1
0
1
n
j
j
j
xi
yi
zi
i
i
i
i
ff
f
δ
δ
δ
j
, ...,m
x
y
z
=
�
�
�
�
�
+
+
=
=
�
�
�
�
�
�
�
�
j
j
j
i
j
i
i
i
ff
f
grad f
,
,
x
y
z
� � �
�
�
=�
�
� � �
�
�
1
0
n
si
i
j
i
grad fδ
=
� =
�
15
Problem
1. Układ materialny jest zdefiniowany za pomocą n punktów materialnych
2. Więzy opisane są przez m niezależnych równań
3. Więzy są geometryczne, stacjonarne, gładkie i dwustronne
4. Układ materialny jest obciążony układem sił czynnych i reakcji więzów
5. Układ materialny znajduje się w spoczynku
Jaki warunek musi spełniać układ sił aby układ materialny pozostawał w
równowadze
Zerowanie się pracy sił
czynnych na przemieszczeniach
wirtual-nych jest warunkiem
koniecznym równowagi układu
materialnego
1
1
1
1
0
0
0
i
i
i
i
n
n
n
n
m r
F R
...
m r F R
...
m r
F
R
� = + =
� = + =
� = + =
&&
&&
&&
Równania ruchu:
1
s
δ
�
si
δ
�
sn
δ
�
1
1
0
n
n
i
si
i
si
i
i
δL
F δ
R δ
-
-
=
� +
� =
�
�
2.2. Zasada prac wirtualnych
16
Problem
1. Układ materialny jest zdefiniowany za pomocą n punktów materialnych
2. Więzy opisane są przez m niezależnych równań
3. Więzy są geometryczne, stacjonarne, gładkie i dwustronne
4. Układ materialny jest obciążony układem sił czynnych i reakcji więzów
5. Układ materialny znajduje się w ruchu rzeczywistym
Jaki warunek spełnia teraz układ sił?
Iloraz różnicowy:
(
)
( )
i
i
i
r tΔt
r t
r
Δt
+
-
�&
(
)
( )
( )
2
0
i
i
i
i
Δr r t Δt
r t
rΔt
Δt
=
+
-
=
+
&
( )
(
)
2
1
1
1
0
n
n
n
i
i
i
i
i
si
i
i
i
δL
F Δr
F rΔt
Δt
F δ
ΔL
=
=
=
=
� =
�
+
=
� +
�
�
�
&
W ruchu
rzeczywistym:
0
δL �
17
Zasada prac wirtualnych
Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu
sił działających na układ materialny swobodny lub
nieswobodny o więzach geometrycznych, stacjonarnych,
dwustronnych i gład-kich jest, by suma prac wirtualnych
wszystkich sił czynnych, na wszystkich przemieszczeniach
wirtualnych, była równa 0
1
0
n
i
si
si
i
δL
F δ
,
δ
-
=
� =
"
�
18
2.3. Równania równowagi
i
A
A
i
υ υ
ω
AA
= + �
{ }
0
k,
k R
�
� -
si
sAωA
i
δ
δ
δ
AA
=
+
�
(
)
1
1
1
n
n
n
i
si
i
sA
iωA
i
i
i
i
δL
F δ
F δ
F δ
AA
=
=
=
״+�=�=
�
�
�
(
)
1
1
0
n
n
sA
iωA
i
i
sA
ωA
i
i
δL δ
F δ
F AA
δ ,δ
=
=
"=״+�=
�
�
(
)
1
1
n
n
i
A
i
i
i
i
S
F , M
F AA
=
=
=
=
�
�
�
0
0
A
S
M
=
�
=
Warunki równowagi sił działających na ciało sztywne swobodne
O
x
y
z
r
A
F
1
F
i
F
n
A
i
A
1
A
n
A
19
Warunki równowagi sił działających na ciało sztywne nieswobodne
A
A
i
A
1
A
n
O
x
y
z
r
A
F
1
F
i
F
n
R
1
R
j
B
1
B
j
Postulat o więzach
Ciało zostaje oswobodzone
z więzów, jednocześnie
poddane jest działaniu
układu sił czynnych i
reakcji
(
)
(
)
1
1
1
1
0
0
n
m
i
j
i
j
n
m
A
i
i
j
j
i
j
S
F
R
M
F AA
R B A
=
=
=
=
=
+
=
=
�
+
�
=
� �
�
�
Warunki równowagi ciała swobodnego
20
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
n
m
x
ix
jx
i
j
n
m
y
iy
jy
i
j
n
m
z
iz
jz
i
j
n
m
Ax
Ax
i
Ax
j
i
j
n
m
Ay
Ay
i
Ay
j
i
j
n
m
Az
Az
i
Az
j
i
j
S
F
R
S
F
R
S
F
R
M
M
F
M
R
M
M
F
M
R
M
M
F
M
R
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= �
+
=
= �
+
=
= �
+
=
= �
+
=
= �
+
=
= �
+
=
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
Równania równowagi – postać ogólna
21
0
0
0
x
y
Az
S
S
M
� =
�
=
�
�
=
�
0
0
0
0
Az
Bz
Cz
M
M
AB AC
M
=
�
�
=
�
�
�
�
=
�
0
0
0
l
Az
Bz
S
M
AB l
M
=
�
�
=
^
�
�
=
�
0
0
0
B
C
Az
Bz
M
S AB
AB AC
ACλ AB
M
M
M
Sλ AB
�
�
= �
�
= �
= � � �
�
� �
= �
= �
= � �
�
� �
Gdy A, B, C współliniowe to jedno z równań jest
zależne
Uzasadnienie warunku nie współliniowości punktów
Uzasadnienie warunku nie prostopadłości prostej l i wektora
AB
0
l
S =
Jeśli punkty A i B leżą na prostej działania wypadkowej (układ
nie jest w równowadze) oraz prosta l jest prostopadła do AB
to:
Bez sformułowanego warunku układ równań 3 nie stanowi
jednoznacznego warunku równowagi układu sił
Układ 1
Układ 2
Układ 3
2.3. Równania równowagi w odniesieniu do układów płaskich
22
2.4. Równania równowagi dwóch tarcz połączonych przegubem
A
A
i
B
B
j
F
i
F
j
i
A
A
i
υ υ
ω
AA
= + �
j
B
B
j
υ
υ
ω BB
= + �
B
A
A
υ
υ
ω
AB
= + �
i
AωA
i
δ δ
δ
AA
= +
�
j
AωA
ωB
j
δ
δ
δ
AB δ
BB
= +
� +
�
(
)
(
)
(
)
i
A
iωA
i
j
A
j
ωA
j
ωB
j
i
i
j
j
j
δL
F δ
F δ
AA
F δ
F δ
AB
F δ
BB
״+״+�+״+�=
�
�
�
�
�
i
j
AωA
i
i
ωA
j
ωB
j
j
i
j
i
j
j
δL
F
F δ
δ
F AA
δ
F BA
δ
F B B
�
�
�
�
�
�
�
�
״+״+״+�+=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
i
i
j
j
i
j
δL
F δ
F δ
=
�+
�
�
�
23
A
A
i
B
B
j
F
i
F
j
ωA
i
i
ωA
j
i
j
ωA
i
i
ωA
j
j
ωA
j
j
i
j
j
δ
F A A
δ
F BA
δ
F AA
δ
F B A
δ
F B B
�
�
�
�
=
״
+
״
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
״
-
״
+
״
=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
j
j
BA B A B B
=
-
( )
( )
( )
ωA
A
i
A
j
ωA
B
j
δ
M F
M F
δ
M F
�
�
=
�
+
-
�
�
�
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
i
j
AωA
A
i
A
j
ωA
B
j
ωB
B
j
δL
S F
S F
δ
δ
M F
M F
δ
M F
δ
M F
�
�
�
�
=
+
� +
�
+
-
�
+
�
=
�
�
�
�
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
0
i
j
A
i
A
j
B
j
S F
S F
, M F
M F
, M F
+
=
+
=
=