DWÓJNIKI PRĄDU

SINUSOIDALNEGO

FUNKCJA SINUS

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0

5

10

15

20

25

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

t=0

t=3.4

t=6.6

t=8.4

t=10

t=13.2

t=16.8

 

















I

j

t

j

I

e

e

I

t

I

t

i









max

max

Im

sin





I

e

t

j

2

Im



Wartości skuteczne

zespolone oznaczamy

następująco:

• Prąd:

• Napięcie:

I

j

Ie

I





U

j

Ue

U





Związek przebiegu prądu

z przebiegiem napięcia:

• Postać impedancyjna

• Postać admitancyjna

Postać impedancyjna

• Moduł impedancji

I

Z

U 

Z

j

Ze

Z





I

U

Z 

I

U

Z











•Kąt obciążenia

Postać admitancyjna

U

Y

I 

Y

j

Ye

Y





U

I

Y 

U

I

Y











• Moduł impedancji • Kąt przesunięcia

Przykładowe wektory

wodzące

• Prąd:

• Napięcie



150

2

1

j

e

I 



210

2

1

j

e

U 

-1

-0,5

0

0,5

1

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

I

U

=314 rd/s

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0

5

10

15

20

25

i(t)

u(t )

Uzyskane wartości

• impedancji

• admitancji



60

1

j

e

Z 



60

1

j

e

Y





Zadanie

Wartość

skuteczna

prądu

sin

zmiennego płynącego przez układ
szeregowy elementów R, L, C wynosi
0.707 A. Wyznaczyć moc pozorną w
układzie.

Narysować

wykresy

wskazowe oraz przebiegi chwilowe
prądów, napięć i mocy przyjmując: R
= 2 , L = 2 mH, C = 2 mF,



I

=0,



=314 rd/s.

Element R

• Wartości chwilowe

•

wartości zespolone

Ri

u 

Gu

i 

I

R

U 

U

G

I 

Przebiegi chwilowe i

wykres wskazowy

• Prąd:

• Napięcie:

 





t

t

i

314

sin

1



 





t

t

u

314

sin

2



• Moc:

 





t

t

p

628

cos

1

1



-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0

5

10

15

20

25

i (t)

u(t)

p(t)

I = 0.707 A

U

R

= 1.414 V

P=1 W

-1

-0,5

0

0,5

1

-0,5 0

0,5

1

1,5

2

2,5

I

U

=314 rd/s

Element L

• Wartości chwilowe

•

wartości zespolone

dt

di

L

u 





t

udt

L

i

0

1

I

jX

I

L

j

U

L







U

jB

U

L

j

I

L











1

Wyprowadzenie:















t

j

I

Max

e

I

dt

d

L

t

I

dt

d

L







2

Im

sin



 



t

j

t

j

e

U

e

I

L

j







2

Im

2

Im



Stąd:

I

jX

I

L

j

U

L











dt

di

L

u

Przebiegi chwilowe i

wykres wskazowy

• Prąd:

• Napięcie:

 





t

t

i

314

sin

1



 





t

t

u

314

cos

628

.

0



• Moc:

 





t

t

p

628

sin

314

.

0



I = 0.707e

j0

A

U

L

= 0.444e

j90

V

Q

L

=0.314 Var

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0

5

10

15

20

25

i (t) u(t)

p(t)

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-0,5 0

0,5

1

1,5

2

2,5

I

U

=314 rd/s

Element C

• Wartości chwilowe

•

wartości zespolone

dt

du

C

i 





t

idt

C

u

0

1

U

jB

U

C

j

I

C







I

jX

I

C

j

U

C











1

Wyprowadzenie:



















t

t

j

t

I

Max

dt

e

I

C

dt

t

I

C

0

0

2

Im

1

sin

1











t

j

t

j

e

U

e

I

C

j







2

Im

1

2

Im















Stąd:

I

jX

I

C

j

U

C











1







t

idt

C

u

0

1

Przebiegi chwilowe i

wykres wskazowy

• Prąd:

• Napięcie:

 





t

t

i

314

sin

1



 





t

t

u

314

cos

59

.

1





• Moc:

 





t

t

p

628

sin

795

.

0





I = 0.707e

j0

A

U

C

= 1.124e

-j90

V

Q

C

=0.795 Var

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0

5

10

15

20

25

i (t)

u(t)

p(t)

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-0,5 0

0,5

1

1,5

2

2,5

I

U

=314 rd/s

Przebiegi chwilowe i

wykres wskazowy całości

• Prąd:

• Napięcie:

 





t

t

i

314

sin

1



 







30

314

sin

22

.

2





t

t

u

• Moc:

 







30

628

sin

11

.

1

1







t

t

p

I = 0.707e

j0

A

S=1.11e

-j30

VA

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0

5

10

15

20

25

p(t)

u(t)

i (t)

ur(t)

ul (t)

uc(t)

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

Ur

Ul

=314 rd/s

I

Uc

U

U = 1.569e

-j30

A

Co to jest ?

• Moc czynna
• Moc bierna
• Moc pozorna
• Moc pozorna zespolona

Wzory na moce:

• czynna:
• bierna:

• pozorna:
• pozorna zespolona:

2

RI

P 

Z

UI

P



cos



2

L

L

L

I

X

Q 

2

C

C

C

I

X

Q 

Z

C

L

UI

Q

Q

Q



sin







UI

S 

2

2

Q

P

S





*

I

U

jQ

P

S







Zadanie

Obliczyć wartość skuteczną prądu i
moc pozorną w układzie elementów
R, L, C połączonym szeregowo,
zasilanym ze źródła napięcia u(t) =
25sin(1000t+30

o

).

Narysować

wykresy wskazowe oraz przebiegi
chwilowe prądów, napięć i mocy
przyjmując: R = 2 , L = 2 mH, C = 2

mF.

Impedancja zespolona

Dwójnika szeregowego R, L,

C:









Z

j

Z

Z

C

L

Ze

j

Z

X

X

j

R

Z



















sin

cos





2

2

C

L

X

X

R

Z























R

X

X

tg

arc

C

L

Z



Dzielnik napięcia

Elementów szeregowych R,

L, C:

Z

j

R

e

Z

R

Z

R

U

U













Z

j

L

L

L

e

Z

X

Z

jX

U

U











90





Z

j

C

C

C

e

Z

X

Z

jX

U

U















90

Zadanie

Obliczyć wartości skuteczne prądów i
moc pozorną w układzie elementów
R, L, C połączonym równolegle,
zasilanym ze źródła prądu i(t) =
5cos(1000t+30

o

). Narysować wykresy

wskazowe oraz przebiegi chwilowe
prądów, napięć i mocy przyjmując: R
= 2 , L = 2 mH, C = 2 mF.

Admitancja zespolona

Dwójnika równoległego R, L,

C:









Y

j

Y

Y

L

C

Ye

j

Y

B

B

j

G

Y



















sin

cos





2

2

L

C

B

B

G

Y























G

B

B

tg

arc

L

C

Y



Dzielnik prądu

Elementów równoległych R,

L, C:

Y

j

R

e

Y

G

Y

G

I

I













Y

j

L

L

L

e

Y

B

Y

jB

I

I















90





Y

j

C

C

C

e

Y

B

Y

jB

I

I











90