Metody numeryczne

projekt

Tomasz Rokosz 151341

Piotr Oleszczyk 157944

Temat:

Pojęcie interpolacji:

Interpolacją funkcji f(x) : [a,b]  R nazywa się
wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji f(x) dla
dowolnego argumentu x  [x

0

,x

n

]  [a,b] przy

znanych jej wartościach f(x

0

),f(x

1

),...,f(x

n

) w

ustalonych punktach zwanych węzłami interpolacji.

Metoda Newtona

• Metody polegajace na bezposrednim wyznaczaniu

wielomianów interpolacyjnych z danych
stablicowanych nazywane sa metodami ilorazów
róznicowych. Metody te były powszechnie
uzywane zanim komputery cyfrowe stały sie
powszechnie dostepne. Załózmy, ze mamy
wielomian Lagrange’a stopnia co najwyzej n
przechodzacy przez stablicowane wartosci funkcji
f. Aby wyznaczyc iloraz róznicowy funkcji f
przedstawmy wielomian Lagrange’a w postaci :

• Pn(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)(x − x1)

+ . . . + an(x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)

Węzły Czebyszewa

W interpolacji powstaje problem najbardziej racjonalnego
wyboru węzłów interpolacji xi , to jest takiego ich wyboru,
aby część błędu, na wielkość której możemy wpływać,
miała w przedziale [a,b] najmniejsze co do wartości
bezwzględnej maksimum. Inaczej mówiąc, chodzi o
znalezienie wielomianu, który w przedziale domkniętym
[a,b] “odchyla się najmniej od zera”.
Zagadnienie to zostało rozwiąane przez Czebyszewa.
Udowodnił on,że w omawianym
sensie najlepsze węzły interpolacji obliczone za pomocą
wzoru:

x

i

=0,5(b+a)+0,5(b-a) ξ

i

ξ=-cos((2i+1)/(2n+2)*π)