Data przesłania projektu: 22.12.2013r.

PROJEKT METODY NUMERYCZNE

ANALIZA RUCHU WAHADŁA MATEMATYCZNEGO

Grupa 5

Przygotowali:

1. Cel

• Wykorzystanie metod numerycznych do rozwiązania równań różniczkowych

• Rozwiązywanie problemu w Matlabie

• Napisanie odpowiedniej funkcji

• Rozwiązanie zagadnienia za pomocą napisanej procedury numerycznej

• Sporządzenie wykresu funkcji

• Stablicowanie wartości funkcji [x, f(x)] i zapisanie tablicy w pliku

1. Wprowadzenie teoretyczne

Wahadło matematyczne - ciało wykonujące drgania pod wpływem siły grawitacji.

Zmienność kąta wychylenia wahadła przy uwzględnieniu oporów ośrodka, siły grawitacji oraz działającej na nie siły wymuszającej opisuje równanie postaci:

Rys. 1. Schemat wahadła matematycznego.

(1)

gdzie:

Ө ‒ kąt odchylenia wahadła od położenia w stanie równowagi

l ‒ długość wahadła

m ‒ masa wahadła

g ‒ przyspieszenie ziemskie ( g = 9,81 m / s2 )

A ‒ amplituda siły wymuszającej

γ ‒ współczynnik oporu ośrodka

ϖ ‒ częstotliwość siły wymuszającej, gdzie

(2) (ϖ – częstość kołowa drgań; T – okres)

(3)

Z powyższego równania różniczkowego opisującego ruch wahadła wyprowadzić można następującą zależność:

(4)

Po podstawieniu ω ze wzoru numer 2 otrzymujemy:

(5)

1. Procedura numeryczna.

Podstawowe równanie, z którego korzystamy:

Zmienne wektory y:

Napisałyśmy funkcję:

1. Wykorzystanie funkcji ode45

Rozwiązanie zadania otrzymałyśmy poprzez wywołanie funkcji ode45, przeznaczonej do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych, która używa jednokrotnej metody Rungego – Kutty rzędu 45:

1. Wykres funkcji

Wykres 1. Rozwiązanie równania za pomocą funkcji ode45

1. Procedura numeryczna. Wykorzystanie metody Eulera

Wykorzystując możliwość programowania w Matlabie, użytkownik może zaprogramować

swoje własne skrypty realizujące znane metody numeryczne rozwiązywania równań

różniczkowych zwyczajnych. Do najprostszych, lecz niestety niezbyt dokładnych, należa

metody Eulera, wyprowadzane wprost ze wzoru Taylora. Ulepszona metoda Eulera (znana również pod nazwa metody Heuna lub trapezowej) jest bardziej dokładna i stabilna niż zwykła i wsteczna metoda Eulera.

1. Wykres funkcji

Wykres2. Rozwiązanie równania metodą Eulera.

1. Wnioski

Przeprowadzona przez nas analiza ruchu wahadła matematycznego wykazała, że ruch ten jest ruchem harmonicznym. Wykres jest tego dowodem. Poprawność naszego wyniku z teorią świadczy

o prawidłowym wykonaniu doświadczenia. Napisany przez nas program działaj poprawnie.

Na podstawie wykresów możemy wnioskować, że funkcja ode45 jak i ulepszona metoda Eulera dały takie same wyniki. Obie metody są równie skuteczne.

Możemy także stwierdzić, że program Matlab jest niezwykle pomocny w rozwiązaniu rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego.

Literatura:

www.is.pw.edu.pl/moodle

W. Treicher M. Stachurski „Matlab dla studentów – ćwiczenia, zadania, rozwiązania”