---

Overview

Poissona
Moivre'a-Laplace'a
Moivre'a-Laplace'a skrócone
Zadanie domowe z wykładu

---

Sheet 1: Poissona

Dokonano n=		1000	niezależnych doświadczeń.
Pstwo sukcesu w pojedyńczym doświadczeniu wynosi p=					0,001
Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy 0, 1, 2, 3, 4 sukcesy?
k	dwumianowy	Poissona	1/(n*p*q)^(1/2)	(k-n*p)/(n*p*q)^(1/2)	1/(2*PI())^(1/2)*EXP(-(E6^2)/2)		Lokalne tw. Moivre'a-Laplace'a	Jeszcze raz dwumianowy - dla łatwiejszego porównania	Stosunek
0	0,3676954	0,3678794	1,0005004	-1,0005004	0,241849648352284	0,241970663945722	0,24197066	0,3676954	1,5195867911221
1	0,3680635	0,3678794	1,0005004	0,0000000	0,398942280	0,399141901269767	0,39914190	0,3680635	0,922136931974127
2	0,1840317	0,1839397	1,0005004	1,0005004	0,241849648352284	0,241970663945722	0,24197066	0,1840317	0,76055394951056
3	0,0612825	0,0613132	1,0005004	2,0010008	0,053882984616192	0,053909946331472	0,05390995	0,0612825	1,13675700979254
4	0,0152900	0,0153283	1,0005004	3,0015011	0,004411930	0,00441413764658	0,00441414	0,0152900	3,463860
5	0,0030488	0,0030657	1,0005004	4,0020015	0,000132762791959	0,000132829223182	0,00013283	0,0030488	22,9528401560553
6	0,0005061	0,0005109	1,0005004	5,0025019	1,46823E-06	1,46896748437119E-06	1,46896748437119E-06	0,0005061	344,52776308484
7	0,0000719	0,0000730	1,0005004	6,0030023	5,96739E-09	5,97037378436234E-09	5,97037378436232E-09	0,0000719	12049,1869205697
8	0,0000089	0,0000091	1,0005004	7,0035026	8,91342E-12	8,91788051887094E-12	8,91788051887091E-12	0,0000089	1002285,36089515
9	0,0000010	0,0000010	1,0005004	8,0040030	4,89300E-15	4,89544940051439E-15	4,89544940051439E-15	0,0000010	201448549,686111
10	0,0000001	0,0000001	1,0005004	9,0045034	9,87136E-19	9,87629995670386E-19	9,87630E-19	0,0000001	99053677924,207
11	0,0000000	0,0000000	1,0005004	10,0050038	7,31896E-23	7,32262452789927E-23	7,32262E-23	0,0000000	120358047162620
12	0,0000000	0,0000000	1,0005004	11,0055041	1,99431E-27	1,99530848456128E-27	1,9953084845613E-27	0,0000000	3,64402549347317E+017
Suma	0,999999999940507	0,999999999936402					0,941541617309226	0,999999999940507
Wyjaśnienie. Lokalne twierdzenie graniczne Moivre'a-Laplace'a nie zapewnia dobrej jakości przybliżenia dla małych wartości k.
W istocie, k powinno być zbliżone do np. Zostało to zilustrowane na drugim arkuszu.

---

Sheet 2: Moivre'a-Laplace'a

Dokonano n=		200	niezależnych doświadczeń.
Pstwo sukcesu w pojedyńczym doświadczeniu wynosi p=					0,5	(rzut monetą)
Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy 0, 1, 2, 3, 4, ..., 80, ..., 100, ... sukcesów?
k	dwumianowy	Poissona	1/(n*p*q)^(1/2)	(k-n*p)/(n*p*q)^(1/2)	1/(2*PI())^(1/2)*EXP(-(E6^2)/2)		Lokalne tw. Moivre'a-Laplace'a	Jeszcze raz dwumianowy - dla łatwiejszego porównania	Stosunek
0	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-14,1421356	1,48410E-44	2,09882811567721E-45	2,09883E-45	0,0000000	2,96499519487965E-16
1	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-14,0007143	1,08570E-43	1,53540E-44	1,53540E-44	0,0000000	8,10602559215996E-15
2	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-13,8592929	7,78516862689848E-43	1,10098910575212E-43	1,10099E-43	0,0000000	1,12478864125397E-13
3	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-13,7178716	5,47195180406749E-42	7,73850845396406E-43	7,73851E-43	0,0000000	1,05618651379206E-12
4	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-13,5764502	3,76991E-41	5,33145332481492E-42	5,33145E-42	0,0000000	7,55020080967619E-12
5	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-13,4350288	2,54585153795898E-40	3,60037777276999E-41	3,60038E-41	0,0000000	4,38270368669929E-11
6	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-13,2936075	1,68519E-39	2,38322278689973E-40	2,38322278689973E-40	0,0000000	2,15183466401635E-10
7	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-13,1521861	1,09340E-38	1,54630558269396E-39	1,54630558269394E-39	0,0000000	9,19140511136481E-10
8	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-13,0107648	6,95385E-38	9,83422443272521E-39	9,83422443272535E-39	0,0000000	3,48661856714064E-09
9	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-12,8693434	4,33495E-37	6,13054404881034E-38	6,13054404881043E-38	0,0000000	1,19317530416254E-08
10	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-12,7279221	2,64885E-36	3,74603671412299E-37	3,74604E-37	0,0000000	3,72962022212922E-08
11	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-12,5865007	1,58651E-35	2,24367088365658E-36	2,24367E-36	0,0000000	1,07556931604782E-07
12	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-12,4450793	9,31420E-35	1,31722627491514E-35	1,31722627491514E-35	0,0000000	2,88547774658841E-07
13	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-12,3036580	5,35995E-34	7,58011384653174E-35	7,58011384653163E-35	0,0000000	7,25131686088289E-07
14	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-12,1622366	3,02336E-33	4,27567987947711E-34	4,27567987947711E-34	0,0000000	1,71712139737017E-06
15	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-12,0208153	1,67161E-32	2,36400693442808E-33	2,36400693442812E-33	0,0000000	3,85104967968416E-06
16	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-11,8793939	9,05923E-32	1,28116899679293E-32	1,28116899679293E-32	0,0000000	8,21624143420044E-06
17	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-11,7379726	4,81242E-31	6,80578468751033E-32	6,80578468751033E-32	0,0000000	1,67405726273212E-05
18	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-11,5965512	2,50582E-30	3,5437583575996E-31	3,54375835759955E-31	0,0000000	3,2686092007251E-05
19	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-11,4551299	1,27894E-29	1,80868986899558E-30	1,80868986899558E-30	0,0000000	6,13452273582818E-05
20	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-11,3137085	6,39828E-29	9,04853398427992E-30	9,04853398428005E-30	0,0000000	0,00011097246774
21	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-11,1722871	3,13756E-28	4,43717388283398E-29	4,43717388283402E-29	0,0000000	0,000193972528883
22	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-11,0308658	1,50811E-27	2,13279338293902E-28	2,13279338293904E-28	0,0000000	0,000328343362532
23	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-10,8894444	7,10543E-27	1,00485924293441E-27	1,00485924293441E-27	0,0000000	0,000539341651661
24	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-10,7480231	3,28141E-26	4,64061766539339E-27	4,64061766539339E-27	0,0000000	0,000861301945347
25	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-10,6066017	1,48541E-25	2,10068268905749E-26	2,10068268905748E-26	0,0000000	0,001340
26	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-10,4651804	6,59089E-25	9,3209297464656E-26	9,32092974646553E-26	0,0000000	0,002031932806495
27	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-10,3237590	2,86653E-24	4,05389152007051E-25	4,05389152007054E-25	0,0000000	0,003010800212356
28	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-10,1823376	1,22204E-23	1,72822037821323E-24	1,72822037821324E-24	0,0000000	0,004363580688018
29	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-10,0409163	5,10652E-23	7,22171309790497E-24	7,22171309790497E-24	0,0000000	0,006193445936228
30	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-9,8994949	2,09161E-22	2,95798147900153E-23	2,95798147900153E-23	0,0000000	0,008618902881953
31	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-9,7580736	8,39750E-22	1,18758520977252E-22	1,18758520977252E-22	0,0000000	0,011772532140491
32	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-9,6166522	3,30471E-21	4,67356428120872E-22	4,67356428120872E-22	0,0000000	0,015798766152793
33	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-9,4752309	1,27477E-20	1,8027926177688E-21	1,80279261776881E-21	0,0000000	0,020850715481698
34	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-9,3338095	4,81995E-20	6,81643710657252E-21	6,81643710657256E-21	0,0000000	0,0270861235637
35	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-9,1923882	1,78636E-19	2,52629000153133E-20	2,52629000153133E-20	0,0000000	0,034662599379293
36	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-9,0509668	6,48945E-19	9,17747235349574E-20	9,17747235349574E-20	0,0000000	0,043732337344045
37	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-8,9095454	2,31080E-18	3,26796259458923E-19	3,26796259458921E-19	0,0000000	0,054436578598917
38	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-8,7681241	8,06548E-18	1,14063102272733E-18	1,14063102272732E-18	0,0000000	0,066900
39	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-8,6267027	2,75939E-17	3,90236054496301E-18	3,90236054496299E-18	0,0000000	0,081225972857564
40	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-8,4852814	9,25356E-17	1,30865061962463E-17	1,30865061962464E-17	0,0000000	0,097490990603813
41	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-8,3438600	3,04172E-16	4,30164085879839E-17	4,30164085879842E-17	0,0000000	0,11574178496237
42	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-8,2024387	9,80040E-16	1,38598551806419E-16	1,38598551806419E-16	0,0000000	0,135992032863932
43	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-8,0610173	3,09515E-15	4,37720963608301E-16	4,37720963608301E-16	0,0000000	0,158220751527383
44	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-7,9195959	9,58154E-15	1,35503374623489E-15	1,35503374623489E-15	0,0000000	0,182371787320824
45	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-7,7781746	2,90738E-14	4,11165802263146E-15	4,11165802263148E-15	0,0000000	0,208354490097436
46	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-7,6367532	8,64735E-14	1,22291978519587E-14	1,22291978519587E-14	0,0000000	0,236045510800766
47	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-7,4953319	2,52103E-13	3,5652752718763E-14	3,56527527187629E-14	0,0000000	0,265291608261261
48	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-7,3539105	7,20423E-13	1,01883128668803E-13	1,01883128668803E-13	0,0000000	0,295913310056513
49	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-7,2124892	2,01795E-12	2,85381350846433E-13	2,85381350846433E-13	0,0000000	0,32770924357378
50	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-7,0710678	5,54049E-12	7,83543326550867E-13	7,83543326550864E-13	0,0000000	0,360460937397607
51	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-6,9296465	1,49108E-11	2,10870E-12	2,10870E-12	0,0000000	0,393937889296785
52	0,0000000	0,0000000	0,1414214	-6,7882251	3,93337E-11	5,56263034490543E-12	5,56263034490543E-12	0,0000000	0,427902704094254
53	0,0000000	0,0000001	0,1414214	-6,6468037	1,01706E-10	1,43833470140254E-11	1,43833470140254E-11	0,0000000	0,462116120728553
54	0,0000000	0,0000002	0,1414214	-6,5053824	2,57774E-10	3,64547250119098E-11	3,64547250119099E-11	0,0000000	0,496341770707948
55	0,0000000	0,0000003	0,1414214	-6,3639610	6,40393E-10	9,05652947954345E-11	9,05652947954345E-11	0,0000000	0,530350537673018
56	0,0000000	0,0000005	0,1414214	-6,2225397	1,55944E-09	2,20538234734171E-10	2,20538234734171E-10	0,0000000	0,563924417754553
57	0,0000000	0,0000009	0,1414214	-6,0811183	3,72225E-09	5,26405106104078E-10	5,26405106104078E-10	0,0000000	0,596860
58	0,0000000	0,0000016	0,1414214	-5,9396970	8,70874E-09	1,23160E-09	1,23160E-09	0,0000000	0,628970
59	0,0000000	0,0000027	0,1414214	-5,7982756	1,99719E-08	2,82445606028583E-09	2,82445606028582E-09	0,0000000	0,660088222534886
60	0,0000000	0,0000045	0,1414214	-5,6568542	4,48950E-08	6,34911733593328E-09	6,3491173359333E-09	0,0000000	0,690067090001504
61	0,0000000	0,0000073	0,1414214	-5,5154329	9,89216E-08	1,3989622447875E-08	1,3989622447875E-08	0,0000000	0,718781475524515
62	0,0000000	0,0000118	0,1414214	-5,3740115	2,13647E-07	3,02143144661124E-08	3,02143144661124E-08	0,0000000	0,746127823927017
63	0,0000000	0,0000188	0,1414214	-5,2325902	4,52292E-07	6,39637042267004E-08	6,39637042267003E-08	0,0000000	0,772024194869418
64	0,0000001	0,0000293	0,1414214	-5,0911688	9,38542E-07	1,32730E-07	1,32730E-07	0,0000001	0,796410
65	0,0000002	0,0000451	0,1414214	-4,9497475	1,90899E-06	2,69971338869239E-07	2,69971338869239E-07	0,0000002	0,819243495810038
66	0,0000005	0,0000683	0,1414214	-4,8083261	3,80597E-06	5,38246051834034E-07	5,38246051834034E-07	0,0000005	0,840503725028862
67	0,0000009	0,0001020	0,1414214	-4,6669048	7,43778E-06	1,05186052217902E-06	1,05186052217902E-06	0,0000009	0,860185931517619
68	0,0000018	0,0001500	0,1414214	-4,5254834	1,42474E-05	2,01488177666178E-06	2,01488177666178E-06	0,0000018	0,878301552345234
69	0,0000034	0,0002174	0,1414214	-4,3840620	2,67510E-05	3,7831633398271E-06	3,78316333982709E-06	0,0000034	0,894876219390908
70	0,0000063	0,0003106	0,1414214	-4,2426407	4,92334E-05	6,96265259733739E-06	6,96265259733741E-06	0,0000063	0,90994802955914
71	0,0000116	0,0004374	0,1414214	-4,1012193	8,88165E-05	1,25605446260365E-05	1,25605446260365E-05	0,0000116	0,923565812137386
72	0,0000208	0,0006075	0,1414214	-3,9597980	1,57051E-04	2,22103972102833E-05	2,22103972102833E-05	0,0000208	0,935787430262761
73	0,0000364	0,0008322	0,1414214	-3,8183766	2,72210E-04	3,84962379927572E-05	3,84962379927572E-05	0,0000364	0,946678146536404
74	0,0000625	0,0011246	0,1414214	-3,6769553	4,62466E-04	6,54025024861641E-05	6,54025024861641E-05	0,0000625	0,956309076224691
75	0,0001051	0,0014995	0,1414214	-3,5355339	7,70140E-04	0,000108914211518	0,000108914211518	0,0001051	0,964755745381629
76	0,0001728	0,0019730	0,1414214	-3,3941125	1,25711E-03	0,000177782434044	0,000177782434044	0,0001728	0,972096765726719
77	0,0002783	0,0025623	0,1414214	-3,2526912	2,01137E-03	0,000284450862126	0,000284450862126	0,0002783	0,978412633280715
78	0,0004389	0,0032850	0,1414214	-3,1112698	3,15446E-03	0,000446107753246	0,000446107753246	0,0004389	0,983784653621891
79	0,0006778	0,0041583	0,1414214	-2,9698485	4,84921E-03	0,00068578249999	0,00068578249999	0,0006778	0,988293993170794
80	0,0010251	0,0051979	0,1414214	-2,8284271	7,30688E-03	0,001033349267705	0,001033349267705	0,0010251	0,992020853111228
81	0,0015187	0,0064171	0,1414214	-2,6870058	1,07921E-02	0,001526237021772	0,001526237021772	0,0015187	0,995043760362209
82	0,0022039	0,0078257	0,1414214	-2,5455844	1,56241E-02	0,002209586166601	0,002209586166601	0,0022039	0,997438968371602
83	0,0031333	0,0094286	0,1414214	-2,4041631	2,21717E-02	0,003135552024843	0,003135552024843	0,0031333	0,999280
84	0,0043642	0,0112245	0,1414214	-2,2627417	3,08401E-02	0,004361452931697	0,004361452931697	0,0043642	1,00063703876673
85	0,0059559	0,0132053	0,1414214	-2,1213203	4,20482E-02	0,005946514461181	0,005946514461181	0,0059559	1,00157701273852
86	0,0079643	0,0153550	0,1414214	-1,9798990	5,61944E-02	0,007947085383864	0,007947085383864	0,0079643	1,00216293845333
87	0,0104359	0,0176495	0,1414214	-1,8384776	7,36126E-02	0,010410399339804	0,010410399339804	0,0104359	1,00245393839953
88	0,0134007	0,0200562	0,1414214	-1,6970563	9,45205E-02	0,013367217350177	0,013367217350177	0,0134007	1,00250506909884
89	0,0168638	0,0225351	0,1414214	-1,5556349	1,18964E-01	0,016823980	0,016823980	0,0168638	1,00236723569487
90	0,0207987	0,0250389	0,1414214	-1,4142136	1,46763E-01	0,02075537487103	0,02075537487103	0,0207987	1,00208714424816
91	0,0251413	0,0275153	0,1414214	-1,2727922	1,77473E-01	0,025098428712018	0,025098428712018	0,0251413	1,0017072842171
92	0,0297869	0,0299080	0,1414214	-1,1313708	2,10359E-01	0,029749289312874	0,029749289312874	0,0297869	1,00126593426336
93	0,0345913	0,0321591	0,1414214	-0,9899495	2,44403E-01	0,034563743020527	0,034563743020527	0,0345913	1,00079718519851
94	0,0393752	0,0342118	0,1414214	-0,8485281	2,78333E-01	0,039362171585714	0,039362171585714	0,0393752	1,00033097456706
95	0,0439344	0,0360124	0,1414214	-0,7071068	3,10697E-01	0,043939128946772	0,043939128946772	0,0439344	0,999893128029802
96	0,0480533	0,0375129	0,1414214	-0,5656854	3,39956E-01	0,048077064941965	0,048077064941965	0,0480533	0,999505403361536
97	0,0515210	0,0386731	0,1414214	-0,4242641	3,64606E-01	0,051563045480948	0,051563045480948	0,0515210	0,999185533504304
98	0,0541497	0,0394624	0,1414214	-0,2828427	3,83300E-01	0,054206739355243	0,054206739355243	0,0541497	0,998947265719265
99	0,0557906	0,0398610	0,1414214	-0,1414214	3,94973E-01	0,055857580	0,055857580	0,0557906	0,998800
100	0,0563485	0,0398610	0,1414214	0,0000000	3,98942E-01	0,056418958354776	0,056418958354776	0,0563485	0,998750786126251
101	0,0557906	0,0394663	0,1414214	0,1414214	3,94973E-01	0,055857580	0,055857580	0,0557906	0,998800
102	0,0541497	0,0386925	0,1414214	0,2828427	3,83300E-01	0,054206739355243	0,054206739355243	0,0541497	0,998947265719265
103	0,0515210	0,0375655	0,1414214	0,4242641	3,64606E-01	0,051563045480948	0,051563045480948	0,0515210	0,999185533504303
104	0,0480533	0,0361207	0,1414214	0,5656854	3,39956E-01	0,048077064941965	0,048077064941965	0,0480533	0,999505403361536
105	0,0439344	0,0344007	0,1414214	0,7071068	3,10697E-01	0,043939128946772	0,043939128946772	0,0439344	0,999893128029802
106	0,0393752	0,0324535	0,1414214	0,8485281	2,78333E-01	0,039362171585714	0,039362171585714	0,0393752	1,00033097456706
107	0,0345913	0,0303303	0,1414214	0,9899495	2,44403E-01	0,034563743020527	0,034563743020527	0,0345913	1,00079718519851
108	0,0297869	0,0280836	0,1414214	1,1313708	2,10359E-01	0,029749289312874	0,029749289312874	0,0297869	1,00126593426336
109	0,0251413	0,0257648	0,1414214	1,2727922	1,77473E-01	0,025098428712018	0,025098428712018	0,0251413	1,0017072842171
110	0,0207987	0,0234225	0,1414214	1,4142136	1,46763E-01	0,02075537487103	0,02075537487103	0,0207987	1,00208714424816
111	0,0168638	0,0211014	0,1414214	1,5556349	1,18964E-01	0,016823980	0,016823980	0,0168638	1,00236723569487
112	0,0134007	0,0188405	0,1414214	1,6970563	9,45205E-02	0,013367217350177	0,013367217350177	0,0134007	1,00250506909884
113	0,0104359	0,0166730	0,1414214	1,8384776	7,36126E-02	0,010410399339804	0,010410399339804	0,0104359	1,00245393839953
114	0,0079643	0,0146255	0,1414214	1,9798990	5,61944E-02	0,007947085383864	0,007947085383864	0,0079643	1,00216293845333
115	0,0059559	0,0127178	0,1414214	2,1213203	4,20482E-02	0,005946514461181	0,005946514461181	0,0059559	1,00157701273852
116	0,0043642	0,0109636	0,1414214	2,2627417	3,08401E-02	0,004361452931697	0,004361452931697	0,0043642	1,00063703876673
117	0,0031333	0,0093706	0,1414214	2,4041631	2,21717E-02	0,003135552024843	0,003135552024843	0,0031333	0,999280
118	0,0022039	0,0079412	0,1414214	2,5455844	1,56241E-02	0,002209586166601	0,002209586166601	0,0022039	0,997438968371602
119	0,0015187	0,0066733	0,1414214	2,6870058	1,07921E-02	0,001526237021772	0,001526237021772	0,0015187	0,995043760362209
120	0,0010251	0,0055611	0,1414214	2,8284271	7,30688E-03	0,001033349267705	0,001033349267705	0,0010251	0,992020853111227
121	0,0006778	0,0045959	0,1414214	2,9698485	4,84921E-03	0,00068578249999	0,00068578249999	0,0006778	0,988293993170793
122	0,0004389	0,0037671	0,1414214	3,1112698	3,15446E-03	0,000446107753246	0,000446107753246	0,0004389	0,983784653621891
123	0,0002783	0,0030627	0,1414214	3,2526912	2,01137E-03	0,000284450862126	0,000284450862126	0,0002783	0,978412633280715
124	0,0001728	0,0024699	0,1414214	3,3941125	1,25711E-03	0,000177782434044	0,000177782434044	0,0001728	0,972096765726719
125	0,0001051	0,0019760	0,1414214	3,5355339	7,70140E-04	0,000108914211518	0,000108914211518	0,0001051	0,964755745381629
126	0,0000625	0,0015682	0,1414214	3,6769553	4,62466E-04	6,54025024861641E-05	6,54025024861641E-05	0,0000625	0,95630907622469
127	0,0000364	0,0012348	0,1414214	3,8183766	2,72210E-04	3,84962379927572E-05	3,84962379927572E-05	0,0000364	0,946678146536403
128	0,0000208	0,0009647	0,1414214	3,9597980	1,57051E-04	2,22103972102833E-05	2,22103972102833E-05	0,0000208	0,935787430262761
129	0,0000116	0,0007478	0,1414214	4,1012193	8,88165E-05	1,25605446260365E-05	1,25605446260365E-05	0,0000116	0,923565812137386
130	0,0000063	0,0005753	0,1414214	4,2426407	4,92334E-05	6,96265259733739E-06	6,96265259733741E-06	0,0000063	0,90994802955914
131	0,0000034	0,0004391	0,1414214	4,3840620	2,67510E-05	3,7831633398271E-06	3,78316333982709E-06	0,0000034	0,894876219390908
132	0,0000018	0,0003327	0,1414214	4,5254834	1,42474E-05	2,01488177666178E-06	2,01488177666178E-06	0,0000018	0,878301552345233
133	0,0000009	0,0002501	0,1414214	4,6669048	7,43778E-06	1,05186052217902E-06	1,05186052217902E-06	0,0000009	0,860185931517619
134	0,0000005	0,0001867	0,1414214	4,8083261	3,80597E-06	5,38246051834034E-07	5,38246051834034E-07	0,0000005	0,840503725028862
135	0,0000002	0,0001383	0,1414214	4,9497475	1,90899E-06	2,69971338869239E-07	2,69971338869239E-07	0,0000002	0,819243495810038
136	0,0000001	0,0001017	0,1414214	5,0911688	9,38542E-07	1,32730E-07	1,32730E-07	0,0000001	0,796410
137	0,0000000	0,0000742	0,1414214	5,2325902	4,52292E-07	6,39637042267004E-08	6,39637042267003E-08	0,0000000	0,772024194869418
138	0,0000000	0,0000538	0,1414214	5,3740115	2,13647E-07	3,02143144661124E-08	3,02143144661124E-08	0,0000000	0,746127823927016
139	0,0000000	0,0000387	0,1414214	5,5154329	9,89216E-08	1,3989622447875E-08	1,3989622447875E-08	0,0000000	0,718781475524515
140	0,0000000	0,0000276	0,1414214	5,6568542	4,48950E-08	6,34911733593328E-09	6,3491173359333E-09	0,0000000	0,690067090001504
141	0,0000000	0,0000196	0,1414214	5,7982756	1,99719E-08	2,82445606028583E-09	2,82445606028582E-09	0,0000000	0,660088222534886
142	0,0000000	0,0000138	0,1414214	5,9396970	8,70874E-09	1,23160E-09	1,23160E-09	0,0000000	0,628970
143	0,0000000	0,0000097	0,1414214	6,0811183	3,72225E-09	5,26405106104078E-10	5,26405106104078E-10	0,0000000	0,596860
144	0,0000000	0,0000067	0,1414214	6,2225397	1,55944E-09	2,20538234734171E-10	2,20538234734171E-10	0,0000000	0,563924417754553
145	0,0000000	0,0000046	0,1414214	6,3639610	6,40393E-10	9,05652947954345E-11	9,05652947954345E-11	0,0000000	0,530350537673017
146	0,0000000	0,0000032	0,1414214	6,5053824	2,57774E-10	3,64547250119098E-11	3,64547250119099E-11	0,0000000	0,496341770707948
147	0,0000000	0,0000022	0,1414214	6,6468037	1,01706E-10	1,43833470140254E-11	1,43833470140254E-11	0,0000000	0,462116120728553
148	0,0000000	0,0000015	0,1414214	6,7882251	3,93337E-11	5,56263034490543E-12	5,56263034490543E-12	0,0000000	0,427902704094254
149	0,0000000	0,0000010	0,1414214	6,9296465	1,49108E-11	2,10870E-12	2,10870E-12	0,0000000	0,393937889296784
150	0,0000000	0,0000007	0,1414214	7,0710678	5,54049E-12	7,83543326550867E-13	7,83543326550864E-13	0,0000000	0,360460937397607
151	0,0000000	0,0000004	0,1414214	7,2124892	2,01795E-12	2,85381350846433E-13	2,85381350846433E-13	0,0000000	0,32770924357378
152	0,0000000	0,0000003	0,1414214	7,3539105	7,20423E-13	1,01883128668803E-13	1,01883128668803E-13	0,0000000	0,295913310056513
153	0,0000000	0,0000002	0,1414214	7,4953319	2,52103E-13	3,5652752718763E-14	3,56527527187629E-14	0,0000000	0,265291608261261
154	0,0000000	0,0000001	0,1414214	7,6367532	8,64735E-14	1,22291978519587E-14	1,22291978519587E-14	0,0000000	0,236045510800766
Suma	1,0000000	0,9999998					9,16646422989525E-35	1,0000000
Widać, że akceptowalną jakość przybliżenia za pomocą lokalnego twierdzenia Moivre'a-Laplace'a otrzymujemy dla k w granicach 80-120
Przybliżenie rozkładem Poissona nie daje dobrych rezultatów w tym przypadku.

---

Sheet 3: Moivre'a-Laplace'a skrócone

Dokonano n=		200	niezależnych doświadczeń.
Pstwo sukcesu w pojedyńczym doświadczeniu wynosi p=					0,5	(rzut monetą)
Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy 0, 1, 2, 3, 4, ..., 80, ..., 100, ... sukcesów?
(Treść lokalnego twierdzenia Moivre'a - Laplace'a jest podana poniżej.)
k	dwumianowy	Poissona	1/(n*p*q)^(1/2)	(k-n*p)/(n*p*q)^(1/2)	1/(2*PI())^(1/2)*EXP(-(E6^2)/2)		Lokalne tw. Moivre'a-Laplace'a	Jeszcze raz dwumianowy - dla łatwiejszego porównania	Stosunek
64	0,0000001	0,0000293	0,1414214	-5,0911688	9,38542E-07	1,32730E-07	1,32730E-07	0,0000001	0,796410
65	0,0000002	0,0000451	0,1414214	-4,9497475	1,90899E-06	2,69971338869239E-07	2,69971338869239E-07	0,0000002	0,819243495810038
66	0,0000005	0,0000683	0,1414214	-4,8083261	3,80597E-06	5,38246051834034E-07	5,38246051834034E-07	0,0000005	0,840503725028862
67	0,0000009	0,0001020	0,1414214	-4,6669048	7,43778E-06	1,05186052217902E-06	1,05186052217902E-06	0,0000009	0,860185931517619
68	0,0000018	0,0001500	0,1414214	-4,5254834	1,42474E-05	2,01488177666178E-06	2,01488177666178E-06	0,0000018	0,878301552345234
69	0,0000034	0,0002174	0,1414214	-4,3840620	2,67510E-05	3,7831633398271E-06	3,78316333982709E-06	0,0000034	0,894876219390908
70	0,0000063	0,0003106	0,1414214	-4,2426407	4,92334E-05	6,96265259733739E-06	6,96265259733741E-06	0,0000063	0,90994802955914
71	0,0000116	0,0004374	0,1414214	-4,1012193	8,88165E-05	1,25605446260365E-05	1,25605446260365E-05	0,0000116	0,923565812137386
72	0,0000208	0,0006075	0,1414214	-3,9597980	1,57051E-04	2,22103972102833E-05	2,22103972102833E-05	0,0000208	0,935787430262761
73	0,0000364	0,0008322	0,1414214	-3,8183766	2,72210E-04	3,84962379927572E-05	3,84962379927572E-05	0,0000364	0,946678146536404
74	0,0000625	0,0011246	0,1414214	-3,6769553	4,62466E-04	6,54025024861641E-05	6,54025024861641E-05	0,0000625	0,956309076224691
75	0,0001051	0,0014995	0,1414214	-3,5355339	7,70140E-04	0,000108914211518	0,000108914211518	0,0001051	0,964755745381629
76	0,0001728	0,0019730	0,1414214	-3,3941125	1,25711E-03	0,000177782434044	0,000177782434044	0,0001728	0,972096765726719
77	0,0002783	0,0025623	0,1414214	-3,2526912	2,01137E-03	0,000284450862126	0,000284450862126	0,0002783	0,978412633280715
78	0,0004389	0,0032850	0,1414214	-3,1112698	3,15446E-03	0,000446107753246	0,000446107753246	0,0004389	0,983784653621891
79	0,0006778	0,0041583	0,1414214	-2,9698485	4,84921E-03	0,00068578249999	0,00068578249999	0,0006778	0,988293993170794
80	0,0010251	0,0051979	0,1414214	-2,8284271	7,30688E-03	0,001033349267705	0,001033349267705	0,0010251	0,992020853111228
81	0,0015187	0,0064171	0,1414214	-2,6870058	1,07921E-02	0,001526237021772	0,001526237021772	0,0015187	0,995043760362209
82	0,0022039	0,0078257	0,1414214	-2,5455844	1,56241E-02	0,002209586166601	0,002209586166601	0,0022039	0,997438968371602
83	0,0031333	0,0094286	0,1414214	-2,4041631	2,21717E-02	0,003135552024843	0,003135552024843	0,0031333	0,999280
84	0,0043642	0,0112245	0,1414214	-2,2627417	3,08401E-02	0,004361452931697	0,004361452931697	0,0043642	1,00063703876673
85	0,0059559	0,0132053	0,1414214	-2,1213203	4,20482E-02	0,005946514461181	0,005946514461181	0,0059559	1,00157701273852
86	0,0079643	0,0153550	0,1414214	-1,9798990	5,61944E-02	0,007947085383864	0,007947085383864	0,0079643	1,00216293845333
87	0,0104359	0,0176495	0,1414214	-1,8384776	7,36126E-02	0,010410399339804	0,010410399339804	0,0104359	1,00245393839953
88	0,0134007	0,0200562	0,1414214	-1,6970563	9,45205E-02	0,013367217350177	0,013367217350177	0,0134007	1,00250506909884
89	0,0168638	0,0225351	0,1414214	-1,5556349	1,18964E-01	0,016823980	0,016823980	0,0168638	1,00236723569487
90	0,0207987	0,0250389	0,1414214	-1,4142136	1,46763E-01	0,02075537487103	0,02075537487103	0,0207987	1,00208714424816
91	0,0251413	0,0275153	0,1414214	-1,2727922	1,77473E-01	0,025098428712018	0,025098428712018	0,0251413	1,0017072842171
92	0,0297869	0,0299080	0,1414214	-1,1313708	2,10359E-01	0,029749289312874	0,029749289312874	0,0297869	1,00126593426336
93	0,0345913	0,0321591	0,1414214	-0,9899495	2,44403E-01	0,034563743020527	0,034563743020527	0,0345913	1,00079718519851
94	0,0393752	0,0342118	0,1414214	-0,8485281	2,78333E-01	0,039362171585714	0,039362171585714	0,0393752	1,00033097456706
95	0,0439344	0,0360124	0,1414214	-0,7071068	3,10697E-01	0,043939128946772	0,043939128946772	0,0439344	0,999893128029802
96	0,0480533	0,0375129	0,1414214	-0,5656854	3,39956E-01	0,048077064941965	0,048077064941965	0,0480533	0,999505403361536
97	0,0515210	0,0386731	0,1414214	-0,4242641	3,64606E-01	0,051563045480948	0,051563045480948	0,0515210	0,999185533504304
98	0,0541497	0,0394624	0,1414214	-0,2828427	3,83300E-01	0,054206739355243	0,054206739355243	0,0541497	0,998947265719265
99	0,0557906	0,0398610	0,1414214	-0,1414214	3,94973E-01	0,055857580	0,055857580	0,0557906	0,998800
100	0,0563485	0,0398610	0,1414214	0,0000000	3,98942E-01	0,056418958354776	0,056418958354776	0,0563485	0,998750786126251
101	0,0557906	0,0394663	0,1414214	0,1414214	3,94973E-01	0,055857580	0,055857580	0,0557906	0,998800
102	0,0541497	0,0386925	0,1414214	0,2828427	3,83300E-01	0,054206739355243	0,054206739355243	0,0541497	0,998947265719265
103	0,0515210	0,0375655	0,1414214	0,4242641	3,64606E-01	0,051563045480948	0,051563045480948	0,0515210	0,999185533504303
104	0,0480533	0,0361207	0,1414214	0,5656854	3,39956E-01	0,048077064941965	0,048077064941965	0,0480533	0,999505403361536
105	0,0439344	0,0344007	0,1414214	0,7071068	3,10697E-01	0,043939128946772	0,043939128946772	0,0439344	0,999893128029802
106	0,0393752	0,0324535	0,1414214	0,8485281	2,78333E-01	0,039362171585714	0,039362171585714	0,0393752	1,00033097456706
107	0,0345913	0,0303303	0,1414214	0,9899495	2,44403E-01	0,034563743020527	0,034563743020527	0,0345913	1,00079718519851
108	0,0297869	0,0280836	0,1414214	1,1313708	2,10359E-01	0,029749289312874	0,029749289312874	0,0297869	1,00126593426336
109	0,0251413	0,0257648	0,1414214	1,2727922	1,77473E-01	0,025098428712018	0,025098428712018	0,0251413	1,0017072842171
110	0,0207987	0,0234225	0,1414214	1,4142136	1,46763E-01	0,02075537487103	0,02075537487103	0,0207987	1,00208714424816
111	0,0168638	0,0211014	0,1414214	1,5556349	1,18964E-01	0,016823980	0,016823980	0,0168638	1,00236723569487
112	0,0134007	0,0188405	0,1414214	1,6970563	9,45205E-02	0,013367217350177	0,013367217350177	0,0134007	1,00250506909884
113	0,0104359	0,0166730	0,1414214	1,8384776	7,36126E-02	0,010410399339804	0,010410399339804	0,0104359	1,00245393839953
114	0,0079643	0,0146255	0,1414214	1,9798990	5,61944E-02	0,007947085383864	0,007947085383864	0,0079643	1,00216293845333
115	0,0059559	0,0127178	0,1414214	2,1213203	4,20482E-02	0,005946514461181	0,005946514461181	0,0059559	1,00157701273852
116	0,0043642	0,0109636	0,1414214	2,2627417	3,08401E-02	0,004361452931697	0,004361452931697	0,0043642	1,00063703876673
117	0,0031333	0,0093706	0,1414214	2,4041631	2,21717E-02	0,003135552024843	0,003135552024843	0,0031333	0,999280
118	0,0022039	0,0079412	0,1414214	2,5455844	1,56241E-02	0,002209586166601	0,002209586166601	0,0022039	0,997438968371602
119	0,0015187	0,0066733	0,1414214	2,6870058	1,07921E-02	0,001526237021772	0,001526237021772	0,0015187	0,995043760362209
120	0,0010251	0,0055611	0,1414214	2,8284271	7,30688E-03	0,001033349267705	0,001033349267705	0,0010251	0,992020853111227
121	0,0006778	0,0045959	0,1414214	2,9698485	4,84921E-03	0,00068578249999	0,00068578249999	0,0006778	0,988293993170793
122	0,0004389	0,0037671	0,1414214	3,1112698	3,15446E-03	0,000446107753246	0,000446107753246	0,0004389	0,983784653621891
123	0,0002783	0,0030627	0,1414214	3,2526912	2,01137E-03	0,000284450862126	0,000284450862126	0,0002783	0,978412633280715
124	0,0001728	0,0024699	0,1414214	3,3941125	1,25711E-03	0,000177782434044	0,000177782434044	0,0001728	0,972096765726719
125	0,0001051	0,0019760	0,1414214	3,5355339	7,70140E-04	0,000108914211518	0,000108914211518	0,0001051	0,964755745381629
126	0,0000625	0,0015682	0,1414214	3,6769553	4,62466E-04	6,54025024861641E-05	6,54025024861641E-05	0,0000625	0,95630907622469
127	0,0000364	0,0012348	0,1414214	3,8183766	2,72210E-04	3,84962379927572E-05	3,84962379927572E-05	0,0000364	0,946678146536403
128	0,0000208	0,0009647	0,1414214	3,9597980	1,57051E-04	2,22103972102833E-05	2,22103972102833E-05	0,0000208	0,935787430262761
129	0,0000116	0,0007478	0,1414214	4,1012193	8,88165E-05	1,25605446260365E-05	1,25605446260365E-05	0,0000116	0,923565812137386
130	0,0000063	0,0005753	0,1414214	4,2426407	4,92334E-05	6,96265259733739E-06	6,96265259733741E-06	0,0000063	0,90994802955914
131	0,0000034	0,0004391	0,1414214	4,3840620	2,67510E-05	3,7831633398271E-06	3,78316333982709E-06	0,0000034	0,894876219390908
132	0,0000018	0,0003327	0,1414214	4,5254834	1,42474E-05	2,01488177666178E-06	2,01488177666178E-06	0,0000018	0,878301552345233
133	0,0000009	0,0002501	0,1414214	4,6669048	7,43778E-06	1,05186052217902E-06	1,05186052217902E-06	0,0000009	0,860185931517619
134	0,0000005	0,0001867	0,1414214	4,8083261	3,80597E-06	5,38246051834034E-07	5,38246051834034E-07	0,0000005	0,840503725028862
135	0,0000002	0,0001383	0,1414214	4,9497475	1,90899E-06	2,69971338869239E-07	2,69971338869239E-07	0,0000002	0,819243495810038
Suma	0,9999997	0,9995913					0,9999996	0,9999997
Widać, że akceptowalną jakość przybliżenia za pomocą lokalnego twierdzenia Moivre'a-Laplace'a otrzymujemy dla k w granicach 80-120
Przybliżenie rozkładem Poissona nie daje dobrych rezultatów w tym przypadku.
Jeżeli (Xn) jest ciągiem zmiennych o rozkładach Bernoulli'ego:
to jeżeli n dąży do nieskończoności, zaś k=k(n) zmienia się tak, że
to				,	gdzie - gęstość	rozkładu normalnego:

---

Sheet 4: Zadanie domowe z wykładu

Zadanie domowe z wykładu. W skład pewnego urządzenia wchodzi
	n=	192	elementów, pracujących niezależnie od siebie.
Prawdopodobieństwo zepsucia się elementu w czasie T wynosi					0,25
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w czasie T zepsuje się dokładnie 0, 1, 2, 3, 4, ..., 42, ..., 100, ... , 192 elementów
k	dwumianowy	Poissona	1/(n*p*q)^(1/2)	(k-n*p)/(n*p*q)^(1/2)	1/(2*PI())^(1/2)*EXP(-(E6^2)/2)		Lokalne tw. Moivre'a-Laplace'a	Jeszcze raz dwumianowy - dla łatwiejszego porównania	Stosunek
0	0,0000000	0,0000000	0,1666667	-8,0000000	5,05227E-15	8,42045180589482E-16	8,42045E-16	0,0000000	1,22019E-09
1	0,0000000	0,0000000	0,1666667	-7,8333333	1,89023E-14	3,15038E-15	3,15038E-15	0,0000000	2,08728E-08
2	0,0000000	0,0000000	0,1666667	-7,6666667	6,87824739106689E-14	1,14637456517781E-14	1,14637E-14	0,0000000	1,82599E-07
3	0,0000000	0,0000000	0,1666667	-7,5000000	2,43432053302901E-13	4,05720088838168E-14	4,05720E-14	0,0000000	1,08920E-06
4	0,0000000	0,0000000	0,1666667	-7,3333333	8,37942E-13	1,39657012169828E-13	1,39657E-13	0,0000000	4,98372E-06
5	0,0000000	0,0000000	0,1666667	-7,1666667	2,8053464057713E-12	4,67557734295214E-13	4,67558E-13	0,0000000	1,86573E-05
6	0,0000000	0,0000000	0,1666667	-7,0000000	9,13472E-12	1,5224534013941E-12	1,5224534013941E-12	0,0000000	5,95262E-05
7	0,0000000	0,0000000	0,1666667	-6,8333333	2,89295E-11	4,82157622034645E-12	4,82157622034644E-12	0,0000000	0,00016648
8	0,0000000	0,0000000	0,1666667	-6,6666667	8,91090E-11	1,48515003122536E-11	1,48515003122537E-11	0,0000000	0,00041662
9	0,0000000	0,0000000	0,1666667	-6,5000000	2,66956E-10	4,44926102460475E-11	4,44926102460475E-11	0,0000000	0,00094770
10	0,0000000	0,0000000	0,1666667	-6,3333333	7,77845E-10	1,29640801134494E-10	1,29641E-10	0,0000000	0,00198403
11	0,0000000	0,0000000	0,1666667	-6,1666667	2,20436E-09	3,67393773293604E-10	3,67394E-10	0,0000000	0,00386114
12	0,0000000	0,0000000	0,1666667	-6,0000000	6,07588E-09	1,01264714163721E-09	1,01264714163721E-09	0,0000000	0,00704313
13	0,0000000	0,0000000	0,1666667	-5,8333333	1,62882E-08	2,71469320126425E-09	2,71469320126426E-09	0,0000000	0,01212581
14	0,0000000	0,0000000	0,1666667	-5,6666667	4,24689E-08	7,07814791075814E-09	7,07814791075817E-09	0,0000000	0,01982054
15	0,0000000	0,0000000	0,1666667	-5,5000000	1,07698E-07	1,79496000709055E-08	1,79496000709055E-08	0,0000000	0,03091633
16	0,0000000	0,0000001	0,1666667	-5,3333333	2,65630E-07	4,42716984753652E-08	4,42716984753652E-08	0,0000000	0,04622198
17	0,0000000	0,0000002	0,1666667	-5,1666667	6,37214E-07	1,06202283694514E-07	1,06202283694515E-07	0,0000000	0,06649414
18	0,0000000	0,0000004	0,1666667	-5,0000000	1,48672E-06	2,4778658578905E-07	2,4778658578905E-07	0,0000000	0,09235995
19	0,0000001	0,0000010	0,1666667	-4,8333333	3,37372E-06	5,62286934357802E-07	5,62286934357803E-07	0,0000001	0,12424471
20	0,0000002	0,0000025	0,1666667	-4,6666667	7,44605E-06	1,241007645105E-06	1,241007645105E-06	0,0000002	0,16231411
21	0,0000005	0,0000056	0,1666667	-4,5000000	1,59837E-05	2,66395685115091E-06	2,66395685115091E-06	0,0000005	0,20643886
22	0,0000014	0,0000123	0,1666667	-4,3333333	3,33709E-05	5,56181039927306E-06	5,56181039927307E-06	0,0000014	0,25618555
23	0,0000035	0,0000257	0,1666667	-4,1666667	6,77630E-05	1,12938349814696E-05	1,12938349814696E-05	0,0000035	0,31083449
24	0,0000082	0,0000514	0,1666667	-4,0000000	1,33830E-04	2,23050376274809E-05	2,23050376274809E-05	0,0000082	0,36942126
25	0,0000185	0,0000987	0,1666667	-3,8333333	2,57070E-04	4,28450591770511E-05	4,28450591770511E-05	0,0000185	0,43079645
26	0,0000395	0,0001822	0,1666667	-3,6666667	4,80271E-04	8,004510860347E-05	8,00451086034701E-05	0,0000395	0,49369637
27	0,0000810	0,0003239	0,1666667	-3,5000000	8,72683E-04	0,000145447115841	0,000145447115841	0,0000810	0,55681726
28	0,0001591	0,0005552	0,1666667	-3,3333333	1,54228E-03	0,000257046499382	0,000257046499382	0,0001591	0,61888616
29	0,0002999	0,0009190	0,1666667	-3,1666667	2,65098E-03	0,000441829325738	0,000441829325738	0,0002999	0,67872293
30	0,0005431	0,0014704	0,1666667	-3,0000000	4,43185E-03	0,00073864140199	0,00073864140199	0,0005431	0,73528974
31	0,0009461	0,0022768	0,1666667	-2,8333333	7,20610E-03	0,001201016627435	0,001201016627435	0,0009461	0,78772603
32	0,0015866	0,0034152	0,1666667	-2,6666667	1,13960E-02	0,001899331003966	0,001899331003966	0,0015866	0,83536871
33	0,0025643	0,0049675	0,1666667	-2,5000000	1,75283E-02	0,002921383415595	0,002921383415595	0,0025643	0,87775860
34	0,0039972	0,0070130	0,1666667	-2,3333333	2,62219E-02	0,004370314848952	0,004370314848952	0,0039972	0,91463513
35	0,0060149	0,0096178	0,1666667	-2,1666667	3,81526E-02	0,006358770584403	0,006358770584403	0,0060149	0,94592180
36	0,0087439	0,0128237	0,1666667	-2,0000000	5,39910E-02	0,008998494418865	0,008998494418865	0,0087439	0,97170500
37	0,0122887	0,0166362	0,1666667	-1,8333333	7,43112E-02	0,012385193926499	0,012385193926499	0,0122887	0,99220885
38	0,0167083	0,0210141	0,1666667	-1,6666667	9,94771E-02	0,016579523132125	0,016579523132125	0,0167083	1,00776836
39	0,0219921	0,0258635	0,1666667	-1,5000000	1,29518E-01	0,021586265944315	0,021586265944315	0,0219921	1,01880271
40	0,0280400	0,0310363	0,1666667	-1,3333333	1,64010E-01	0,027335012445999	0,027335012445999	0,0280400	1,02579014
41	0,0346510	0,0363351	0,1666667	-1,1666667	2,01999E-01	0,033666447592343	0,033666447592343	0,0346510	1,02924551
42	0,0415262	0,0415259	0,1666667	-1,0000000	2,41971E-01	0,040328454086524	0,040328454086524	0,0415262	1,02970092
43	0,0482863	0,0463544	0,1666667	-0,8333333	2,81912E-01	0,046985312568384	0,046985312568384	0,0482863	1,02768994
44	0,0545050	0,0505685	0,1666667	-0,6666667	3,19448E-01	0,053241334253725	0,053241334253725	0,0545050	1,02373519
45	0,0597537	0,0539397	0,1666667	-0,5000000	3,52065E-01	0,058677554460717	0,058677554460717	0,0597537	1,01833930
46	0,0636506	0,0562849	0,1666667	-0,3333333	3,77383E-01	0,062897204615499	0,062897204615499	0,0636506	1,01197880
47	0,0659078	0,0574825	0,1666667	-0,1666667	3,93440E-01	0,06557328601699	0,06557328601699	0,0659078	1,00510065
48	0,0663654	0,0574825	0,1666667	0,0000000	3,98942E-01	0,066490380066906	0,066490380066906	0,0663654	0,99812101
49	0,0650110	0,0563094	0,1666667	0,1666667	3,93440E-01	0,06557328601699	0,06557328601699	0,0650110	0,99142581
50	0,0619772	0,0540570	0,1666667	0,3333333	3,77383E-01	0,062897204615499	0,062897204615499	0,0619772	0,98537287
51	0,0575213	0,0508772	0,1666667	0,5000000	3,52065E-01	5,86776E-02	5,86776E-02	0,0575213	0,98029515
52	0,0519904	0,0469635	0,1666667	0,6666667	3,19448E-01	0,053241334253725	0,053241334253725	0,0519904	0,97650494
53	0,0457777	0,0425330	0,1666667	0,8333333	2,81912E-01	0,046985312568384	0,046985312568384	0,0457777	0,97429880
54	0,0392784	0,0378071	0,1666667	1,0000000	2,41971E-01	0,040328454086524	0,040328454086524	0,0392784	0,97396309
55	0,0328510	0,0329953	0,1666667	1,1666667	2,01999E-01	0,033666447592343	0,033666447592343	0,0328510	0,97578002
56	0,0267892	0,0282817	0,1666667	1,3333333	1,64010E-01	0,027335012445999	0,027335012445999	0,0267892	0,98003418
57	0,0213061	0,0238162	0,1666667	1,5000000	1,29518E-01	0,021586265944315	0,021586265944315	0,0213061	0,98701959
58	0,0165306	0,0197099	0,1666667	1,6666667	9,94771E-02	1,65795E-02	1,65795E-02	0,0165306	0,99704735
59	0,0125147	0,0160352	0,1666667	1,8333333	7,43112E-02	0,012385193926499	0,012385193926499	0,0125147	1,01045398
60	0,0092469	0,0128282	0,1666667	2,0000000	5,39910E-02	0,008998494418865	0,008998494418865	0,0092469	1,02761074
61	0,0066699	0,0100943	0,1666667	2,1666667	3,81526E-02	0,006358770584403	0,006358770584403	0,0066699	1,04893402
62	0,0046976	0,0078149	0,1666667	2,3333333	2,62219E-02	0,004370314848952	0,004370314848952	0,0046976	1,07489725
63	0,0032312	0,0059542	0,1666667	2,5000000	1,75283E-02	0,002921383415595	0,002921383415595	0,0032312	1,10604467
64	0,0021709	0,0044657	0,1666667	2,6666667	1,13960E-02	1,89933E-03	1,89933E-03	0,0021709	1,14300742
65	0,0014250	0,0032977	0,1666667	2,8333333	7,20610E-03	0,001201016627435	0,001201016627435	0,0014250	1,18652269
66	0,0009140	0,0023983	0,1666667	3,0000000	4,43185E-03	0,00073864140199	0,00073864140199	0,0009140	1,23745653
67	0,0005730	0,0017182	0,1666667	3,1666667	2,65098E-03	0,000441829325738	0,000441829325738	0,0005730	1,29683149
68	0,0003511	0,0012129	0,1666667	3,3333333	1,54228E-03	0,000257046499382	0,000257046499382	0,0003511	1,36586016
69	0,0002103	0,0008437	0,1666667	3,5000000	8,72683E-04	0,000145447115841	0,000145447115841	0,0002103	1,44598623
70	0,0001232	0,0005786	0,1666667	3,6666667	4,80271E-04	8,004510860347E-05	8,00451086034701E-05	0,0001232	1,53893504
71	0,0000706	0,0003911	0,1666667	3,8333333	2,57070E-04	4,28450591770511E-05	4,28450591770511E-05	0,0000706	1,64677614
72	0,0000395	0,0002608	0,1666667	4,0000000	1,33830E-04	2,23050376274809E-05	2,23050376274809E-05	0,0000395	1,77200104
73	0,0000217	0,0001715	0,1666667	4,1666667	6,77630E-05	1,12938349814696E-05	1,12938349814696E-05	0,0000217	1,91762034
74	0,0000116	0,0001112	0,1666667	4,3333333	3,33709E-05	5,56181039927306E-06	5,56181039927307E-06	0,0000116	2,08728557
75	0,0000061	0,0000712	0,1666667	4,5000000	1,59837E-05	2,66395685115091E-06	2,66395685115091E-06	0,0000061	2,28544279
76	0,0000031	0,0000450	0,1666667	4,6666667	7,44605E-06	1,241007645105E-06	1,241007645105E-06	0,0000031	2,51752678
77	0,0000016	0,0000280	0,1666667	4,8333333	3,37372E-06	5,62286934357802E-07	5,62286934357803E-07	0,0000016	2,79020795
78	0,0000008	0,0000172	0,1666667	5,0000000	1,48672E-06	2,4778658578905E-07	2,4778658578905E-07	0,0000008	3,11170742
79	0,0000004	0,0000105	0,1666667	5,1666667	6,37214E-07	1,06202283694514E-07	1,06202283694515E-07	0,0000004	3,49220072
80	0,0000002	0,0000063	0,1666667	5,3333333	2,65630E-07	4,42716984753652E-08	4,42716984753652E-08	0,0000002	3,94433752
81	0,0000001	0,0000037	0,1666667	5,5000000	1,07698E-07	1,79496000709055E-08	1,79496000709055E-08	0,0000001	4,48391351
82	0,0000000	0,0000022	0,1666667	5,6666667	4,24689E-08	7,07814791075814E-09	7,07814791075817E-09	0,0000000	5,131
83	0,0000000	0,0000013	0,1666667	5,8333333	1,62882E-08	2,71469320126425E-09	2,71469320126426E-09	0,0000000	5,910
84	0,0000000	0,0000007	0,1666667	6,0000000	6,07588E-09	1,01264714163721E-09	1,01264714163721E-09	0,0000000	6,853
85	0,0000000	0,0000004	0,1666667	6,1666667	2,20436E-09	3,67393773293604E-10	3,67393773293605E-10	0,0000000	8,000
86	0,0000000	0,0000002	0,1666667	6,3333333	7,77845E-10	1,29640801134494E-10	1,29640801134495E-10	0,0000000	9,402
87	0,0000000	0,0000001	0,1666667	6,5000000	2,66956E-10	4,44926102460475E-11	4,44926102460475E-11	0,0000000	11,126
88	0,0000000	0,0000001	0,1666667	6,6666667	8,91090E-11	1,48515003122536E-11	1,48515003122537E-11	0,0000000	13,257
89	0,0000000	0,0000000	0,1666667	6,8333333	2,89295E-11	0,000000000	0,000000000	0,0000000	15,906
90	0,0000000	0,0000000	0,1666667	7,0000000	9,13472E-12	1,5224534013941E-12	1,5224534013941E-12	0,0000000	19,216
91	0,0000000	0,0000000	0,1666667	7,1666667	2,80535E-12	4,67557734295214E-13	4,67557734295217E-13	0,0000000	23,378
92	0,0000000	0,0000000	0,1666667	7,3333333	8,37942E-13	1,39657012169828E-13	1,39657012169828E-13	0,0000000	28,642
93	0,0000000	0,0000000	0,1666667	7,5000000	2,43432E-13	4,05720088838168E-14	4,05720088838168E-14	0,0000000	35,337
94	0,0000000	0,0000000	0,1666667	7,6666667	6,87825E-14	1,14637456517781E-14	1,14637456517782E-14	0,0000000	43,905
95	0,0000000	0,0000000	0,1666667	7,8333333	1,89023E-14	3,15037923269364E-15	3,15037923269365E-15	0,0000000	54,937
96	0,0000000	0,0000000	0,1666667	8,0000000	5,05227E-15	8,42045180589482E-16	8,42045180589482E-16	0,0000000	69,226
97	0,0000000	0,0000000	0,1666667	8,1666667	1,31340E-15	2,18899221748196E-16	2,18899221748197E-16	0,0000000	87,849
98	0,0000000	0,0000000	0,1666667	8,3333333	3,32078E-16	5,53463907487874E-17	5,53463907487878E-17	0,0000000	112,272
99	0,0000000	0,0000000	0,1666667	8,5000000	8,16624E-17	0,000000000	0,000000000	0,0000000	144,498
100	0,0000000	0,0000000	0,1666667	8,6666667	1,95317E-17	3,25527942198689E-18	3,25527942198691E-18	0,0000000	187,286
101	0,0000000	0,0000000	0,1666667	8,8333333	4,54353E-18	0,000000000	0,000000000	0,0000000	244,453
102	0,0000000	0,0000000	0,1666667	9,0000000	1,02798E-18	1,71329559527815E-19	1,71329559527815E-19	0,0000000	321,311
103	0,0000000	0,0000000	0,1666667	9,1666667	2,26209E-19	3,77015067897575E-20	3,77015067897575E-20	0,0000000	425,288
104	0,0000000	0,0000000	0,1666667	9,3333333	4,84142E-20	8,06903095290721E-21	8,06903095290732E-21	0,0000000	566,834
105	0,0000000	0,0000000	0,1666667	9,5000000	1,00779E-20	1,67965589905E-21	1,67965589905E-21	0,0000000	760,728
106	0,0000000	0,0000000	0,1666667	9,6666667	2,04036E-21	3,4005997775083E-22	3,40059977750832E-22	0,0000000	1027,984
107	0,0000000	0,0000000	0,1666667	9,8333333	4,01771E-22	6,69617798888168E-23	6,69617798888178E-23	0,0000000	1398,647
108	0,0000000	0,0000000	0,1666667	10,0000000	7,69460E-23	1,28243310445107E-23	1,28243310445107E-23	0,0000000	1915,907
109	0,0000000	0,0000000	0,1666667	10,1666667	1,43328E-23	2,38879409027383E-24	2,38879409027384E-24	0,0000000	2642,177
110	0,0000000	0,0000000	0,1666667	10,3333333	2,59663E-24	4,3277182216857E-25	4,32771822168573E-25	0,0000000	3668,139
111	0,0000000	0,0000000	0,1666667	10,5000000	4,57538E-25	0,000000000	0,000000000	0,0000000	5126,239
112	0,0000000	0,0000000	0,1666667	10,6666667	7,84115E-26	1,30685766483997E-26	1,30685766483997E-26	0,0000000	7210,939
113	0,0000000	0,0000000	0,1666667	10,8333333	1,30698E-26	2,17829825034391E-27	2,17829825034394E-27	0,0000000	10209,231
114	0,0000000	0,0000000	0,1666667	11,0000000	2,11882E-27	3,53136542251559E-28	3,53136542251559E-28	0,0000000	14546,842
115	0,0000000	0,0000000	0,1666667	11,1666667	3,34084E-28	5,56806430598429E-29	5,56806430598433E-29	0,0000000	20858,479
116	0,0000000	0,0000000	0,1666667	11,3333333	5,12334E-29	8,53890317034644E-30	8,53890317034657E-30	0,0000000	30095,134
117	0,0000000	0,0000000	0,1666667	11,5000000	7,64166E-30	1,27360923526453E-30	1,27360923526453E-30	0,0000000	43688,652
118	0,0000000	0,0000000	0,1666667	11,6666667	1,10856E-30	1,84759413434642E-31	1,84759413434644E-31	0,0000000	63805,229
119	0,0000000	0,0000000	0,1666667	11,8333333	1,56410E-31	2,60683302578906E-32	2,60683302578909E-32	0,0000000	93737,450
120	0,0000000	0,0000000	0,1666667	12,0000000	2,14638E-32	3,5773062261051E-33	3,5773062261051E-33	0,0000000	138513,017
121	0,0000000	0,0000000	0,1666667	12,1666667	2,86475E-33	4,77458123435787E-34	4,77458123435787E-34	0,0000000	205843,563
122	0,0000000	0,0000000	0,1666667	12,3333333	3,71879E-34	6,19798783605116E-35	6,19798783605125E-35	0,0000000	307609,059
123	0,0000000	0,0000000	0,1666667	12,5000000	4,69520E-35	7,82532559662524E-36	7,82532559662524E-36	0,0000000	462188,461
124	0,0000000	0,0000000	0,1666667	12,6666667	5,76556E-36	9,60926960185773E-37	9,60926960185786E-37	0,0000000	698131,586
125	0,0000000	0,0000000	0,1666667	12,8333333	6,88598E-37	1,14766359142503E-37	1,14766359142506E-37	0,0000000	1059963,003
126	0,0000000	0,0000000	0,1666667	13,0000000	7,99883E-38	1,33313795950114E-38	1,33313795950114E-38	0,0000000	1617384,286
127	0,0000000	0,0000000	0,1666667	13,1666667	9,03698E-39	1,50616256551256E-39	1,50616256551258E-39	0,0000000	2479907,171
128	0,0000000	0,0000000	0,1666667	13,3333333	9,93016E-40	1,65502618166361E-40	1,65502618166363E-40	0,0000000	3820186,255
129	0,0000000	0,0000000	0,1666667	13,5000000	1,06127E-40	1,76878135652536E-41	1,76878135652536E-41	0,0000000	5911317,186
130	0,0000000	0,0000000	0,1666667	13,6666667	1,10314E-41	1,83856801228014E-42	1,83856801228014E-42	0,0000000	9186596,842
131	0,0000000	0,0000000	0,1666667	13,8333333	1,11525E-42	1,85875227132595E-43	1,85875227132598E-43	0,0000000	14335471,590
132	0,0000000	0,0000000	0,1666667	14,0000000	1,09661E-43	1,82767759898162E-44	1,82767759898162E-44	0,0000000	22457869,650
133	0,0000000	0,0000000	0,1666667	14,1666667	1,04873E-44	1,74788932511473E-45	1,74788932511476E-45	0,0000000	35312833,797
134	0,0000000	0,0000000	0,1666667	14,3333333	9,75474E-46	1,62579032772318E-46	1,62579032772323E-46	0,0000000	55719591,457
135	0,0000000	0,0000000	0,1666667	14,5000000	8,82475E-47	1,4707924957658E-47	1,4707924957658E-47	0,0000000	88205166,469
136	0,0000000	0,0000000	0,1666667	14,6666667	7,76472E-48	1,29412E-48	1,29412E-48	0,0000000	140050796,231
137	0,0000000	0,0000000	0,1666667	14,8333333	6,64485E-49	1,10747501779456E-49	1,10747501779458E-49	0,0000000	222983325,829
138	0,0000000	0,0000000	0,1666667	15,0000000	5,53071E-50	9,2178492497407E-51	9,21784924974069E-51	0,0000000	355909085,033
139	0,0000000	0,0000000	0,1666667	15,1666667	4,47726E-51	7,46210797271098E-52	7,46210797271097E-52	0,0000000	569331025,881
140	0,0000000	0,0000000	0,1666667	15,3333333	3,52518E-52	5,87529558259766E-53	5,87529558259774E-53	0,0000000	912479757,557
141	0,0000000	0,0000000	0,1666667	15,5000000	2,69951E-53	4,49918837431431E-54	4,49918837431431E-54	0,0000000	1464811560,731
142	0,0000000	0,0000000	0,1666667	15,6666667	2,01060E-54	3,35100E-55	3,35100E-55	0,0000000	2354515833,322
143	0,0000000	0,0000000	0,1666667	15,8333333	1,45648E-55	2,42745888293632E-56	2,42745888293639E-56	0,0000000	3788238752,140
144	0,0000000	0,0000000	0,1666667	16,0000000	1,02616E-56	1,71027178798651E-57	1,71027178798651E-57	0,0000000	6098688143,023
145	0,0000000	0,0000000	0,1666667	16,1666667	7,03179E-58	1,17196500988987E-58	1,17196500988991E-58	0,0000000	9820619686,479
146	0,0000000	0,0000000	0,1666667	16,3333333	4,68653E-59	7,81088823861333E-60	7,81088823861355E-60	0,0000000	15811637974,763
147	0,0000000	0,0000000	0,1666667	16,5000000	3,03790E-60	5,06316949798321E-61	5,06316949798321E-61	0,0000000	25443336503,137
148	0,0000000	0,0000000	0,1666667	16,6666667	1,91528E-61	3,19213149625999E-62	3,19213149626008E-62	0,0000000	40902071019,978
149	0,0000000	0,0000000	0,1666667	16,8333333	1,17443E-62	1,95738E-63	1,95738E-63	0,0000000	65659244379,220
150	0,0000000	0,0000000	0,1666667	17,0000000	7,00418E-64	1,1673636890531E-64	1,1673636890531E-64	0,0000000	105201270928,193
151	0,0000000	0,0000000	0,1666667	17,1666667	4,06279E-65	6,77131910070212E-66	6,7713191007025E-66	0,0000000	168153137394,39
152	0,0000000	0,0000000	0,1666667	17,3333333	2,29207E-66	3,82011683009803E-67	3,82011683009814E-67	0,0000000	267991256106,299
153	0,0000000	0,0000000	0,1666667	17,5000000	1,25767E-67	2,09612063813032E-68	2,09612063813032E-68	0,0000000	425626148523,79
154	0,0000000	0,0000000	0,1666667	17,6666667	6,71187E-69	1,11864469477461E-69	1,11864469477464E-69	0,0000000	673247949453,599
Suma	1,0000000	1,0000000					4,29072630043503E-09	1,0000000
Widać, że akceptowalną jakość przybliżenia za pomocą lokalnego twierdzenia Moivre'a-Laplace'a (z błędem ok.. 1-2%) otrzymujemy dla k w granicach 37-62
Przybliżenie rozkładem Poissona nie daje dobrych rezultatów w tym przypadku.
Jeżeli (Xn) jest ciągiem zmiennych o rozkładach Bernoulli'ego:
to jeżeli n dąży do nieskończoności, zaś k=k(n) zmienia się tak, że
to				,	gdzie - gęstość	rozkł normalnego: