---

Overview

ANOVA
Przykład
Zadanie 0
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Zadanie 4
Test Bartletta
Zadanie 5

---

Sheet 1: ANOVA

Test analizy wariancji (klasyfikacja pojedyncza) dla wielu średnich
Testy analizy wariancji są podstawowym narzędziem statystyki eksperymentalnej, tj. szeroko
rozbudowanej dla potrzeb doświadczalnictwa statystycznej metody planowania i oceny wyników
eksperymentów naukowych. Testy te pozwalają na sprawdzenie, czy pewne czynniki, które
można dowolnie regulować w toku eksperymentu, wywierają wpływ, a jeśli tak, to jaki, na
kształtowanie się średnich wartości badanych cech mierzalnych. Istotą analizy wariancji
(ANOVA) jest rozbicie na addytywne składniki (których liczba wynika z potrzeb eksperymentu)
sumy kwadratów wariancji całego zbioru wyników. Porównanie poszczególnej wariancji
wynikającej z działania danego czynnika oraz tzw. wariancji resztkowej, czyli wariancji mierzącej
losowy błąd (które to porównanie odbywa się przez zastosowanie testu F Snedecora) daje
odpowiedź, czy dany czynnik odgrywa istotną rolę w kształtowaniu się wyników eksperymentu.
Dla potrzeb praktyki, statystyka eksperymentalna wypracowała już bardzo wiele metod planowania
doświadczeń, jak np. bloki losowe, kwadraty łacińskie, analiza czynnikowa itd., które podane są
w specjalistycznych podręcznikach.
Obecnie zajmiemy się jedynie przypadkiem mającym zastosowanie w ogólnej statystyce, nie
tylko doświadczalnej, a mianowicie prostym przypadkiem analizy wariancji w tzw. klasyfikacji
pojedynczej. Suma kwadratów wariancji ogólnej rozbija się tu jedynie na dwa składniki mierzące
zmienność między grupami (populacjami) i wewnątrz grup. Porównując testem F wariancje
między grupami z wariancją wewnętrzną grup, rozstrzygamy czy średnie grupowe różnią się
istotnie od siebie czy nie. Jeżeli podział na grupy np. przebiegał ze względu na różne poziomy
badanego czynnika, to można w ten sposób wykryć wpływ poziomu na efekt wartości badanej
cechy.
Test analizy wariancji zwykle przeprowadza się według określonego schematu, ujętego w postaci
tzw. tablicy analizy wariancji, mającej różną liczbę wierszy w zależności od konkretnego schematu,
ale kolumny zawsze następujące:
	Źródło zmienności	Suma kwadratów	Stopnie swobody	Wariancja	Test F
Do tabelki tej wpisuje się odpowiednie dane liczbowe obliczone z wyników próby. Dzieląc
odpowiednią sumę kwadratów przez stopnie swobody otrzymujemy pewne oceny wariancji, które
porównujemy testem F z wariancją resztkową na przyjętym poziomie istotności. Jeżeli F >= Fa, to
efekt danego czynnika jest istotny.
Należy wspomnieć, że testy analizy wariancji mają bardzo liczne zastosowania min. W analizie
regresji.
Model
Danych jest k populacji o rozkładzie normalnym N(mi, si) (i = 1, 2, …, k) lub o rozkładzie
zbliżonym do normalnego. Zakłada się przy tym, że wariancje wszystkich k populacji są równe,
tzn. s12 = s22 = … = sk2 = s2 (lecz nie muszą być znane). Z każdej z tych populacji wylosowano
niezależnie próby o liczebności ni elementów. Wyniki prób oznaczone są przez xij (i = 1, 2, …, k,
j = 1, 2, …, ni), przy czym xij = mi + eij, gdzie eij jest wartością zmiennej losowej nazywanej
składnikiem losowym, mającej rozkład N(0, s). Na podstawie wyników xij należy zweryfikować
hipotezę H0: m1 = m2 = … = mk wobec hipotezy alternatywnej H1: nie wszystkie średnie badanych
populacji są równe.
Test istotności (analizy wariancji) dla tej hipotezy jest następujący. Obliczamy z wyników
poszczególnych prób średnie grupowe mi i średnią ogólną m.
Z kolei obliczamy odpowiednie sumy kwadratów i wypełniamy wartościami liczbowymi następującą
tablicę analizy wariancji; występująca w niej statystyka F ma przy założeniu prawdziwości hipotezy
H0 rozkład F Snedecora o k-1 i n-1 stopniach swobody:
Źródło zmienności	Suma kwadratów				Stopnie swobody	Wariancja	Test F
między populacjami (grupami)					k - 1
wewnątrz grup (składnik losowy)					n - k
Obliczoną w tablicy analizy wariancji wartość F porównujemy w końcu z wartością krytyczną Fa odczytaną
z tablicy rozkładu F Snedecora (lub wykorzystując funkcję arkusza Excel =ROZKŁAD.F.ODW) dla ustalonego
z góry poziomu istotności a i dla odpowiedniej liczby k-1 i n-k stopni swobody. Spełniona ma być przy tym
równość P{F>=Fa} = a. Jeżeli w wyniku porównania otrzymamy nierówność F >= Fa, to hipotezę H0 o
równości średnich w badanych populacjach należy odrzucić. Natomiast gdy F < Fa, to nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy H0. Gdy F < 1, to bez porównywania z Fa nie ma podstaw do odrzucania hipotezy H0.
Odrzucenie hipotezy H0 oznacza udowodnienie istotnego wpływu podziału na te populacje. W przeciwnym
przypadku, wszystkie grupy (populacje) można uznać za równoważne z punktu widzenia otrzymywanych
wartości badanej cechy.

---

Sheet 2: Przykład

Przykład
Koszty materiałowe pewnego wyrobu, który można produkować trzema różnymi metodami, mają
rozkład normalny o jednakowej wariancji dla każdej z tych metod. Wylosowane sztuki tego wyrobu
dały następujące koszty materiałowe dla poszczególnych metod produkcji (w zł):
	Metoda
	A	B	C
	25	40	5
	15	20	15
	20	25	20
	30	50	20
	10	10	40
		35	10
			30
Na poziomie istotności a = 0,05 należy zweryfikować hipotezę, że średnie koszty materiałowe są
jednakowe dla wszystkich trzech metod produkcji tego wyrobu.
Rozwiązanie
Formalnie biorąc stawiamy hipotezę H0: m1 = m2 = m3, gdzie m1, m2 i m3 oznaczają średnie
koszty materiałowe odpowiednie dla każdej z metod produkcji. Hipotezę tę można zweryfikować
za pomocą testu analizy wariancji dla przypadku pojedynczej klasyfikacji. W celu wypełnienia
danymi liczbowymi odpowiedniej dla tego testu tablicy analizy wariancji, przeprowadzamy niezbędne
obliczenia średnich i sum kwadratów. Z obliczeń tych otrzymujemy
					n1 =	5	m1 =	20
	n = n1 + n2 + n3 = 5 + 6 + 7 = 18				n2 =	6	m2 =	30
					n3 =	7	m3 =	20
Metoda					n =	18	m =	23,3
A	B	C	(x1j-m1)2	(x2j-m2)2	(x3j-m3)2
25	40	5	25	100	225
15	20	15	25	100	25
20	25	20	0	25	0
30	50	20	100	400	0
10	10	40	100	400	400
	35	10		25	100
		30			100
			250	1050	850	2150	suma kwadratów wewnątrz grup
	(m1-m)2*n1 =	55,6		k =	3
	(m2-m)2*n2 =	266,7
	(m3-m)2*n3 =	77,8
	S(mi-m)2*ni =	400,0	suma kwadratów między grupami
Otrzymujemy zatem następującą tablicę analizy wariancji:
	Źródło zmienności	Suma kwadratów	Stopnie swobody	Wariancja	Test F
	między grupami	400,0	2	200,0	1,395
	wewnątrz grup	2150,0	15	143,3
		Dla poziomu istotności a =	0,05	i dla liczby stopni swobody:			2	15
		wartość krytyczna Fa =	3,682
Ponieważ nie otrzymaliśmy wartości F z obszaru krytycznego, bo F = 1,395 < 3,682 = Fa, więc
nie ma podstaw do odrzucenia sprawdzanej hipotezy H0 o równości średnich kosztów materiałowych
przy produkcji tego wyrobu trzema różnymi metodami. Oznacza to, że nie udowodniliśmy, że metody
te dają różne średnie koszty materiałowe tego wyrobu.
	p =	0,278	>	0,05	= a

---

Sheet 3: Zadanie 0

Zadanie
Na poziomie istotności a = 0,05 zweryfikować hipotezę, że wydajność produkcji w pewnym zakładzie pracy
jest jednakowa na wszystkich zmianach. Wydajność losowo wybranych pracowników poszczególnych zmian
zamieszczono w tabeli:
	Wydajność w szt. wyrobu
	Zmiana I	Zmiana II	Zmiana III
	97	93	83
	87	78	93
	102	99	72
	113	108	85
	112	70	77
	117	97	81
	78	104	80
	98	95	75
	111	98
	89	102
	93
	83

---

Sheet 4: Zadanie 1

Zadanie 1
Trzech asystentów miało ocenić w skali punktowej 1 - 20 wyniki egzaminu ze Statystyki Inżynierskiej
wylosowanych dziesięciu studentów pewnej uczelni. Wyniki (oceny) były następujące:
	Asystent
	A	B	C
	16	17	13
	13	15	17
	13	16	15
	14	15	15
	18	14	15
	16	18	12
	20	15	12
	16	13	14
	12	15	14
	14	14	12
Na poziomie istotności a = 0,10 zweryfikować hipotezę, że wszyscy trzej asystenci są tak samo surowi
(wystawiają średnie oceny takie same).

---

Sheet 5: Zadanie 2

Zadanie 2
Ceny choinek na targowiskach kilku polskich miast mają rozkład normalny o jednakowej wariancji.
Na poziomie istotności a = 0,05 zweryfikować hipotezę, że targowiska we wszystkich badanych miastach
nie różnią się średnimi cenami choinek.
	Miasto
	Wrocław	Kraków	Warszawa	Łódź	Katowice
	70	50	70	30	70
	75	40	70	80	60
	60	35	90	70	50
	100	60	60	50	100
	40	70	85	70	80
	30	60	50	70	50
	35	60	60	60	90
	60	35	95	40	50
	60	80	70	70	60
	80	60	100	70	60
	60	50	60	60	70
	80	50	55	50	50
	50	70	60	80	80
	50	60	60	80	30
	70	70	60	90	90

---

Sheet 6: Zadanie 3

Zadanie 3
Dokonano po 4 niezależne pomiary dla trzech różnych rodzajów betonu budowlanego, mierząc
wytrzymałość na ściskanie. Otrzymano następujące wyniki (MPa):
	Beton
	I	II	III
	20,4	19,7	19,0
	20,0	20,5	20,8
	19,8	21,3	20,2
	20,4	20,9	21,0
Na poziomie istotności a = 0,025 zweryfikować hipotezę, że średnia wytrzymałość na ściskanie
wszystkich trzech betonów jest taka sama.

---

Sheet 7: Zadanie 4

Zadanie 4
Wykonano serię pomiarów głośności przy użyciu sonometru w maszynowniach czterech barek
motorowych w odległości 1,5 m od silników wysokoprężnych.
Na poziomie istotności a = 0,05 zweryfikować hipotezę, że głośność tych silników [dB] jest
taka sama dla wszystkich typów silników.
Barka	Silnik	LA [dB]
BM 5186	SKL-150	103,3	92,1	102,0	97,8	104,3	100,0	114,5
BM 5026	PUCK-120	100,6	106,7	98,9	99,8	97,2	109,4	102,3
BIZON 0-71	Wola-Henschel-200	103,1	109,2	97,4	101,1	92,5	96,3	109,3
TUR 71	Delfin-160	112,2	114,2	106,7	100,2	107,4	112,3	97,3

---

Sheet 8: Test Bartletta

Test jednorodności wielu wariancji
Niekiedy badamy ze względu na pewną cechę mierzalną więcej niż dwie populacje generalne.
Jeżeli wszystkie populacje mają rozkład normalny, to stosuje się test na jednorodność wariancji
zwany od nazwiska autora testem Bartletta.
Test Bartletta oparty jest na pewnej statystyce, która ma rozkład asymptotyczny c2. Zbieżność
do rozkładu c2 jest przy tym bardzo szybka, tak że można stosować rozkład c2 nawet dla bardzo
małych prób.
Model
Danych jest k populacji normalnych N(mi, si) (i = 1, 2, …, k). Z każdej z tych populacji wylosowano
niezależnie do próby ni elementów. Mamy więc k losowych prób o liczebnościach ni. Wyniki każdej
próby oznaczamy symbolem xij (i = 1, 2, …, k, j = 1, 2, …, ni), a ich średnie symbolem mi. Na
podstawie tych wyników prób chcemy sprawdzić hipotezę o jednakowych wariancjach we wszystkich
populacjach, tj. hipotezę H0: s12 = s22 = … = sk2, wobec hipotezy alternatywnej H1: nie wszystkie
te wariancje są równe.
Test istotności dla tej hipotezy jest następujący. Z wyników k prób o liczebnościach ni obliczamy
według następujących wzorów kolejno Si2, S2, C:
gdzie n = Sni.
Następnie obliczamy wartość statystyki c2 według wzoru
Statystyka ta ma przy założeniu prawdziwości sprawdzanej hipotezy H0 rozkład asymptotyczny c2
z k-1 stopniami swobody. Z tablicy rozkładu c2 (lub korzystając z funkcji =ROZKŁAD.CHI.ODW),
dla ustalonego z góry poziomu istotności a i dla k-1 stopni swobody, odczytujemy krytyczną wartość
c2a w taki sposób, by zachodziło P{c2 >= c2a} = a. Nierówność c2 >= c2a określa obszar krytyczny
(prawostronny) dla tego testu. Oznacza to, że ilekroć z porównania obliczonej wartości c2 z wartością
krytyczną c2a otrzymamy nierówność c2 >= c2a, podejmujemy decyzję odrzucenia sprawdzanej
hipotezy H0. Gdy natomiast z porównania tych wartości otrzymamy c2 < c2a, nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy H0 o jednorodności wariancji w badanych populacjach.
Przykład
Należy sprawdzić, czy trzy różne metody produkcji pewnego wyrobu charakteryzują się taką samą
wariancją wydajności pracy robotników stosujących je. Losowo zmierzone wydajności pracy przy
produkcji tego wyrobu w liczbach sztuk na godzinę są następujące:
metoda I:	2	5	3	6	4
metoda II:	10	12	12	14
metoda III:	20	23	26	24	22
Na poziomie istotności a = 0,05 należy zweryfikować hipotezę o jednorodności wariancji pracy
robotników pracujących tymi trzema metodami.
Rozwiązanie
Zakładając zbliżony do normalnego rozkład wydajności pracy dla tych metod, stawiamy formalnie
rzecz biorąc hipotezę H0: s12 = s22 = s32, wobec hipotezy alternatywnej H1: nie wszystkie trzy
wariancje są sobie równe.
Podstawowe obliczenia do testu Bartletta, którym można sprawdzić powyższą hipotezę, wygodnie
jest przeprowadzić tabelarycznie:
	x1j	x2j	x3j	(x1j-m1)2	(x2j-m2)2	(x3j-m3)2
	2	10	20	4,0	4,0	9,0
	5	12	23	1,0	0,0	0,0
	3	12	26	1,0	0,0	9,0
	6	14	24	4,0	4,0	1,0
	4		22	0,0		1,0	SS(xij-mi)2
	20	48	115	10,0	8,0	20,0	38,0
ni =	5	4	5	n =	14
mi =	4,0	12,0	23,0	k =	3
Si2 =	2,50	2,67	5,00
S2 =	3,45	= 1/(n-k)*SS(xij-mi)2
Dalej
	Si2	lnSi2	ni - 1	(ni-1)lnSi2
	2,50	0,916	4	3,67
	2,67	0,981	3	2,94
	5,00	1,609	4	6,44
				13,05		lnS2 =	1,24
						(n-k)*lnS2 =	13,64
						C =	1,124
						c2 =	0,526
						a =	0,050
						c2a =	5,991
Ponieważ otrzymaliśmy c2 = 0,564 < 5,991 = c2a, czyli nie znaleźliśmy się w obszarze krytycznym,
więc hipotezy H0 nie można odrzucić. Oznacza to, że nie udowodniono różnego stopnia rozproszenia
wydajności pracy przy badanych trzech sposobach produkcji danego wyrobu.

---

Sheet 9: Zadanie 5

Zadanie 4
Z kadry pilotów odrzutowców wylosowano do próby 10 pilotów w czterech grupach. Podział pilotów
na grupy przebiegał według ich psychologicznych cech charakteru. Badano ilość dni w roku, w których
dany pilot nie był ze względu na stan zdrowia fizycznego i psychicznego dopuszczono do lotów. W tabeli
zebrano wyniki.
	Grupa 1	Grupa 2	Grupa 3	Grupa 4
	29	19	18	40
	25	25	22	9
	31	37	26	29
	35	14	41	29
	34	21	28	8
	36	31	30	55
	22	40	37	48
	29	36	40	38
	34	48	28	27
	26	28	32	17