Rzuty Monge'a

Metoda odwzorowania figur geometrycznych za pomocą rzutu na jedną płaszczyznę nie ma w praktyce technicznej większego zastosowania. Rzuty figury geometrycznej na jedną płaszczyznę nie określa w przypadku ogólnym kształtu ani wielkości tej figury oraz nie podaje jej położenia w przestrzeni. Na rysunku widzimy, że trójkąty ABC i PRS mają identyczne rzuty, chociaż ich kształty, wielkość i położenia względem rzutni π są różne.

 

Rzut trójkątów.

Dla usunięcia tej niedogodności stosujemy w geometrii wykreślnej (podobnie jak w rysunku technicznym) rzucanie figur na dwie niekiedy trzy lub więcej płaszczyzn wzajemnie prostopadłe. Metoda rzutów na płaszczyzny wzajemnie prostopadłe została opracowana i rozpowszechniona przez G. Monge'a i dlatego nazwano ją metodą Monge'a.

Do odwzorowania jakiejkolwiek figury metodą Monge'a przyjmujemy dwie wzajemnie prostopadłe płaszczyzny i uważamy je za płaszczyzny rzutów. Jedna z tych płaszczyzn zajmuje zazwyczaj położenie poziome i dlatego nazywa się rzutnią poziomą. Oznaczamy ją symbolem π₁. Druga płaszczyzna prostopadła do π₁ ma zazwyczaj położenie pionowe, nazywamy ją rzutnią pionową i oznaczamy symbolem π₂. Prosta, która jest krawędzią rzutni π₁ i π₂ nazywamy osią rzutów i oznaczmy x. Dzieli ona każdą z dwóch płaszczyzn rzutów na dwie półpłaszczyzny, te dzielą się z kolei na cztery obszary zwane ćwiartkami.

  Ćwiartki przestrzeni.

Rzuty punktu

  Przyjmujemy układ odniesienia. Dany jest punkt A leżący w l ćwiartce przestrzeni. Wyznaczamy kolejno rzuty punktu A na rzutnię poziomą i pionową odpowiednio A1 i A11, prowadząc przez punkt A proste rzutujące w i g.

A1 jest rzutem poziomym, AII rzutem pionowym punktu A. Proste w i g przechodzące przez punkt A określają płaszczyznę ε, która przecina oś w punkcie Ax. Sprowadzamy układ odniesienia wraz z rzutami A1 i AII do płaszczyzny rysunku. Odległość punktu A od rzutni poziomej, odcinek AA1 = AAX = w nazywa się wysokością punktu A, a odległość punktu A od rzutni pionowej, odcinek AA11 = A1 Ax = g nazywa się głębokością.

 

 

Ruty prostokątne punktu A w układzie odniesienia:

a) układ przestrzenny, b) układ sprowadzony do płaszczyzny.

 

Sprowadzamy układ odniesienia wraz z rzutami A1 i A11 do płaszczyzny rysunku. Odległość punktu A od rzutni poziomej, odcinek AA1 = AAX = w nazywa się wysokością punktu A, a odległość punktu A od rzutni pionowej, odcinek AAII=AIAx = g  nazywa się głębokością.

Wysokości punktów leżących nad rzutnią poziomą, a więc w ćwiartce I i II są dodatnie, a leżących pod rzutnią poziomą w ćwiartkach III i IV są ujemne oraz głębokości punktów leżących przed rzutnią pionową, a więc w ćwiartkach I i IV są dodatnie, a leżących za rzutnią pionową w ćwiartkach II i III są ujemne.

Rzuty prostej

Rzuty dowolnej prostej

W celu wyznaczenia rzutów dowolnej prostej a prowadzimy przez tą prostą dwie płaszczyzny rzutujące: płaszczyznę poziomo rzutującą ε_I - krawędź tej płaszczyzny z rzutnią poziomą jest rzutem poziomym a^I prostej a oraz płaszczyznę pionową - rzutującą ε₂- krawędź tej płaszczyzny z rzutnią pionową jest rzutem pionowym a^II prostej a. Po sprowadzeniu układu odniesienia do płaszczyzny rysunku rzuty prostej przedstawiają się tak jak na rusunku.

 

         Podobny efekt uzyskamy, rzutując leżące na prostej dwa punkty A i B.
a)      

b)

 

Rzuty dowolnej prostej a:

a) układ przestrzenny, b) układ sprowadzony do płaszczyzny.

 

Ślady prostej

         Ślady prostej są to punkty, w których prosta przebija rzutnie. H_a ślad poziomy prostej a, jest to punkt przebicia rzutni poziomej prostą a, V_a ślad pionowy prostej a jest to punkt przebicia rzutni pionowej prostą a.
a)

b)

Ślady prostej a: a) w przestrzeni, b) na płaszczyźnie.

Rzuty dwóch prostych

 

Dwie dowolne proste w przestrzeni mogą zajmować względem siebie następujące położenia:
1) mogą się przecinać,
2) być do siebie równoległe,
3) mogą być względem siebie skośne (wichrowate).

 

Proste przecinające się:

 

Rzuty punktu P przecięcia się prostych m i n leżą na jednej prostej odnoszącej. I odwrotnie, ze stwierdzenia, że odpowiednie rzuty dwóch prostych m i n parami przecinają się w dwóch punktach (m1 z n1 i m11 z n11) leżących na jednej odnoszącej wynika, że proste m i n mają punkt wspólny P, którego rzutami są wymienione punkty przecięcia rzutów prostych m i n, i .

 

Dwa przykłady prostych przecinających się m i n.

 

Proste równoległe m || n

 

Rzuty prostych równoległych są do siebie odpowiednio równoległe: n^I || m^I i n^II || m^II.

Dwa przykłady prostych równoległych m i n.

 

Proste skośne (wichrowate) k i l

 

Punkty przecięcia się rzutów prostych skośnych nie leżą na jednej prostej odnoszącej.

W szczególnych przypadkach rzuty jednoimienne mogą się nie przecinać, ale tylko jedyne poziome lub czołowe.

Dwa przykłady prostych skośnych k i l.

Odwzorowanie płaszczyzny

 

Odwzorowanie płaszczyzny polega na odwzorowaniu elementów, które ją określają. Płaszczyzna może być określona kilkoma sposobami, a mianowicie: 

 1) Płaszczyzna określona dwiema przecinającymi się prostymi.

Przykład tak określonej płaszczyzny pokazany jest na rysunku poniżej. Określona jest dwoma prostymi a i b przecinającymi się w punkcie B, co można zapisać symbolami: ,

 

a)

b)

Płaszczyzna określona prostymi przecinającymi się, a=ab:

a) odwzorowanie w przestrzeni, b) na płaszczyźnie.

 

2) Płaszczyzna określona dwiema prostymi równoległymi.

 

Na rysunku poniżej pokazano przykładowo rzuty dwóch prostych równoległych

a i c określających płaszczyznę α= ac.

a)

b)

Płaszczyzna określona dwiema prostymi równoległymi a i c:

a) odwzorowanie w przestrzeni, b) na płaszczyźnie.

 

 

3) Płaszczyzna określona prostą c i punktem B nie leżącym na niej.

 

Przykład tak określonej płaszczyzny pokazany jest na rysunku.

a)

b)

Płaszczyzna określona prostą c i punktem B:

a) odwzorowanie w przestrzeni, b) na płaszczyźnie.

 

4) Płaszczyzna określona trzema punktami A,B,C nie współliniowymi.

 

Do określania płaszczyzny użycie więcej niż trzech punktów nie jest celowe. Łącząc punkty A, B i C otrzymujemy trójkąt ABC, który też w sposób jednoznaczny określa płaszczyznę α.

a)

b)

Płaszczyzna określona trzema punktami A, B i C:

a) odwzorowanie w przestrzeni, b) na płaszczyźnie.