Musiał Wojciech gr31 IMIR

Sprawozdanie z laboratorium 26.11.09

Różniczkowanie Numeryczne

Zadanie: Znaleźć rozwiązanie funkcji: = y warunki początkowe: y₍₀₎=0,

Kod programu obliczającego równanie metodą Eulera i Rungego-Kutty II, oraz liczącego wartości błędów przybliżeń poszczególnych metod.:

a) m-plik z zapisaną funkcją:

function [f02]=f(x,y)

f02=y;

b) m-plik z równaniem Rungego-Kutty:

function [rkm]=RKI(x,y,h)

k1=h*funkcja(x,y);

k2=h*funkcja(x+h,y+k1);

rkm=y+0.5*(k1+k2);

c) m-plik z rozwiązaniem

clear all

a=0

b=2 %a,b - przedział różniczkowania

x0=0

y0=1 %x0, y0 - wartoœci początkowe

for k=1:100

n(k)=k*10

h=(b-a)/n(k)

x=a:h:b

y(1)=y0

yrkm(1)=y0

for i=2:length(x)

y(i)=y(i-1)+h*funkcja(x(i-1),y(i-1)); %metoda Eulera

yrkm(i)=RKI(x(i-1),yrkm(i-1),h); %metoda Rungego-Kutty

end

z=exp(x) %wartość dokładna funkcji

Eeu(k)=sqrt(((sum(z-y)).^2)/length(z)) %błąd metody Eulera

Erk(k)=sqrt(((sum(z-yrkm)).^2)/length(z)) %błąd metody R-K

end

figure(1)

plot(x,y)

title('Wynik metody Eulera')

grid

figure(2)

plot(x,z)

title('Dokladny wynik funkcji')

grid

figure(3)

plot(x,yrkm)

title('Wynik metody Rungego-Kutty')

grid

figure(4)

plot(x,y,x,z, x,yrkm)

title('Zestawienie wszystkich trzech wynikow')

grid

figure(5)

plot(n,Eeu)

title('Blad metody Eulera')

grid

figure(6)

plot(n,Erk)

title('Blad metody Rungego-Kutty')

grid

figure(7)

plot(n,Eeu,'r', n,Erk,'g')

title('Porownanie bledu obu metod')

text(500, 1.3,'czerwony - blad m. Eulera')

text(500, 1.1,'zielony - blad m.R-K')

grid

Wynik działania programu:

Wnioski:

Na wykresie porównującym błędy przybliżeń obu metod bardzo dobrze widać że najdokładniejsza i najszybsza jest metoda Rungego-Kutty II. Metoda Eulera okazuje się metodą czasochłonną, z dużo większym błędem niż R-K II. Pomimo dużego podziału (n=1000) błąd metody Eulera jest wciąż znacznie większy niż w metodzie
R-K (różnica ponad 0.1)