Metoda eulera w równaniach różniczkowych

Kowalczyk Bartosz

Kowerzanow Piotr

IS1

Równanie różniczkowe jest to równanie, które wyznacza zależność między nieznaną funkcją a jej pochodnymi.

Rozwiązanie takiego zagadnienia polega na znalezieniu funkcji y, której pochodne spełniają to równanie. Na przykład równanie różniczkowe y'' + y = 0 ma ogólne rozwiązanie w postaci y = Acosx + Bsinx, gdzie A i B są stałymi wyznaczonymi z warunków brzegowych.

Równania różniczkowe można podzielić na:

• równania różniczkowe zwyczajne — w których szukamy funkcji jednej zmiennej

• równania różniczkowe cząstkowe - w których szukamy funkcji wielu zmiennych

Żeby rozwiązać równanie różniczkowe należy sprowadzić je do jednej ze standardowych form, a następnie użyć odpowiadającego tej formie przekształcenia.

Mamy tutaj wiele typów równań np:

• W najprostszym przypadku występuje tylko raz, a y i inne pochodne nie występują wcale. Rozwiązać taki problem możemy całkując obie strony równania.

• równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych:

  

W ich przypadku całkuje się obie strony:

• liniowe równania różniczkowe jednorodne;

• liniowe równania różniczkowe niejednorodne;

• Równania Bernoulliego;

To tylko kilka przykładowych typów równań różniczkowych. Jak widać to zagadnienie jest niezwykle szerokie.

My tutaj zajmiemy się tylko równania różniczkowe zwyczajne. I to tylko jego najprostszym przypadkiem.

Równanie różniczkowe zwyczajne to równanie w którym występują stałe, funkcje niewiadome oraz pochodne funkcji niewiadomych. W takich równaniach zwyczajnych funkcje niewiadome zależą tylko od jednej zmiennej niezależnej.

Przykłady:

8d²y = dx

Proces znajdowania rozwiązań równań różniczkowych nazywa się całkowaniem. Całką nazywa się jedno lub kilka równań wiążących funkcje niewiadome ze zmiennymi niezależnymi w taki sposób, że po podstawieniu funkcji niewiadomych i ich pochodnych do danego równania różniczkowego jest ono tożsamościowo spełnione.

Rozwiązaniem równania różniczkowego nazywamy całkę wyrażającą w sposób jawny zależność funkcji niewiadomych od zmiennych niezależnych.

Nasze zagadnienie będzie pozostawione w następującej postaci:

dy/dx=f(x,y) wraz z warunkiem brzegowym np: y(x0)=0.

Metoda Eulera, którą tutaj krótko omówię, jest metodą rozwiązywania równań różniczkowych. Metoda ta ma kilka rozwinięć tzn. kilka udoskonaleń czy, jak ktoś woli postaci.

Podstawowa metoda Eulera.

Równanie postaci y' = f(x,y) o warunkach początkowych (x₀,y₀):y₀ = y(x₀), kolejne punkty z krokiem h na osi x.

Zatem:

x_{n + 1} = x_n + h

Ponieważ - z definicji pochodnej

czyli zarazem

Po przekształceniu:

Ponieważ szukamy wzoru na y_{n + 1}, zatem do wzoru y_{n + 1} = y_n + Δy podstawiamy wyżej wyliczone Δy i otrzymujemy finalne równanie:

Poniżej przedstawiona postać to udoskonalona postać metody Eulera.

Modyfikacja polega na obliczaniu współczynnika nachylenia stycznej Δy za pomocą średniej arytmetycznej:

Zmodyfikowana metoda Eulera wygląda następująco:

.

W tej metodzie bardzo ważne jest odpowiednio mały krok h. Duży krok do duży błąd. Mały krok to dokładność ale i trudności obliczeniowe. Na niżej przedstawionym obrazku można to zauważyć.

Algorytm programu wygląda następująco:
1) pobieranie warunku początkowego y(x) dla x=0

2) pobieranie kroku h oraz n. Parametr n jest po to bym mógł znaleźć szukaną wartość y(x). Czyli żeby wiedział gdzie mam się zatrzymać: y(x_n).

3)algorytm obliczeniowy wygląda następująco:

for(i=h;i<=n;i=i+h)

{

fn=fs+f(i,(yz+(h*fs)));

y=yz+h*(fs+fn);

fs=fs;

yz=y;

}