METODY NUMERYCZNE
Temat laboratorium: „Metoda trapezów”
Cel ćwiczenia
Nauka rozwiązywania równań różniczkowych przy użyciu metody Eulera
w programie MATLAB 6.5 oraz analiza dokładności tej metody.
Wykonanie
Należy wybrać równanie różniczkowe, krok różniczkowania, przedział, oraz warunek początkowy. Następnie dane równanie rozwiązujemy analitycznie oraz implementujemy metodę Eulera, za pomocą której znajdziemy przybliżone rozwiązanie naszego równania.
Równanie różniczkowe:
Krok różniczkowania; 0.5
Warunek początkowy: (0,1)
Przedział: (1,5)
Implementacja metody Eulera:
x0=0;
y0=1;
h=0.5;
a=1;
b=5;
i=1;
m=1;
n=1;
t=1;
for x=[a:h:b];
y=y0+h*(x+1)
y0=y;
q=((3.*x.^2)/2+1);
e=abs(q-y);
y
m(i)=y
n(i)=q
t(i)=e
i=i+1;
end
subplot(2,1,1)
hold on
x=[a:h:b];
plot(x,m,'b')
title('Wykres rozwiazania dokladnego( obliczonego analitycznie ) i przyblizonego obliczonego z metody Eulera')
text(3,35,'Przyblizone rozwiazanie')
plot(x,n,'g')
text(4,8,'Analityczne rozwiazanie')
hold off
subplot(2,1,2)
x=[a:h:b];
plot(x,t,'r')
grid
title('Modul bledu metody')
Rozwiązanie analityczne
dla warunku początkowego: (0,1)
Dokładności metody Eulera
Jak można wywnioskować z wykresu, błąd jest proporcjonalny co do wartości x. Wraz ze wzrostem wartości x, nasze rozwiązanie staje się bardziej niedokładne, a błąd rośnie liniowo. Dla uzyskania lepszej dokładności należy wyznaczyć mniejszą wartość kroku.
Wnioski
Metoda Eulera daje nam mało dokładne rozwiązanie. Aby dostać wynik z większą dokładnością należy zmniejszyć wartość kroku. Innym rozwiązaniem polepszenia dokładności jest zastosowanie interpolacji Richardsona.
Metoda ta dzieli się na ekstrapolację czynną i bierną. Ekstrapolacja czynna polega na tym, że wynik stosuje się jako wielkość wejściową w dalszych obliczeniach. Natomiast w ekstrapolacji biernej wynik uznaje się za dane wejściowe, ale nie używa się ich w dalszych obliczeniach.
Jacek Łabusiewicz
Grupa 7