Metoda Eulera

           

            Rozwiązujemy tą metodą równania różniczkowe zwyczajne I - rzędu oraz wyższych rzędów sprowadzalne do rzędu I . Metoda ta ma prostą interpretację geometryczną i stosunkowo duży błąd . Błąd tej metody jest proporcjonalny do h² ( h - wielkość kroku ) . Metoda ta jest więc rzędu I .

            Mamy równanie różniczkowe

                   
                                                                                          (4.1.1)

z warunkiem początkowym

                    y(x₀) = y₀                                                                                               (4.1.2)

Wyznaczamy rozwiązania przybliżone w przedziale <x₀,b> . Przedział  <x₀,b> dzielimy na n części wyznaczając wielkość kroku h .

                   
                                                                                              (4.1.3)

Długość kroku h powinna być taka aby wielkość przyrostu funkcji ( y(x+h) - y(x) ) była niewielka . Rozwiązanie numeryczne równania sprowadza się do obliczenia w punktach x_k = x₀ + k*h przybliżenia y_k rozwiązania dokładnego y(x_k) .

Bierzemy dwa pierwsze wyrazy rozwinięcia funkcji y(x) w szereg Taylora w punkcie x_k

                 

                  
                                                                  (4.1.4)

Przyjmując we wzorze (4.1.4)

                   x = x_k+1    i    
   

otrzymujemy

                   y_k+1 = y_k + (x_k+1 - x_k)f(x_k,y_k)      gdzie  x_k+1 - x_k = h

                   y_k+1 = y_k + hf(x_k,y_k)                                                                                (4.1.5)

Znając warunki początkowe można więc łatwo obliczać kolejne przybliżenia y_k  na podstawie wzoru (4.1.5) .

Podstawiając we wzorze (4.1.5)

                         
 

           - przyrost wartości przybliżenia w punkcie x_k+1

f(x_k,y_k)   -  współczynnik kierunkowy prostej stycznej do funkcji w  

                  punkcie x_k            

otrzymamy inną postać wzoru (4.1.5)

                         
                                                                               (4.1.6)  

    

Interpretacja geometryczna .

            Rysunek 4.1.1 przedstawia wykres funkcji y(x) na podstawie której można obliczyć dokładną wartość funkcji w dowolnym punkcie , oraz łamanej utworzonej przez połączenie kolejnych punktów (przybliżeń) obliczanych metodą Eulera . 

                                         

Rys.4.1.1 Metoda Eulera interpretacja geometryczna .

Przykład.

Zadanie

Rozwiązać metodą Eulera równanie różniczkowe
  z warunkiem początkowym y(0) = 1 ,w przedziale < 0 , 1 > . Liczba kroków n = 5 .

Rozwiązanie

            W celu porównania otrzymanych wyników przedstawiamy najpierw rozwiązanie dokładne a potem rozwiązanie metodą Eulera .

1. Rozwiązanie analityczne (dokładne) .

                         

                         
          

                         
    ;   

Z warunków początkowych obliczamy stałą C₁

                                       y² = x² +C₁

                           1 = 0 + C₁

                           y² = x² + 1                                                                                     (5.1.1)                         

Z otrzymanego równania (5.1.1) możemy obliczyć wartości funkcji y = y(x) w całym  przedziale .

2. Rozwiązanie przybliżone .

            Wyniki otrzymane za pomocą metody Eulera umieszczamy w tabelce . Uzyskujemy w   ten sposób przybliżone wartości funkcji y(x) tylko w niektórych punktach y_i zadanego przedziału .

I	xi	f(xi,yi)		yi	y^*
0	0,0	0,0000	0,0000	1,0000	1,0000
1	0,2	0,2000	0,0400	1,0000	1,0198
2	0,4	0,3846	0,0769	1,0400	1,0770
3	0,6	0,5372	0,1074	1,1169	1,1662
4	0,8	0,6534	0,1307	1,2243	1,2806
5	1,0	0,7380	-	1,3550	1,4142

Tab. (5.1.1)

            Kolejne kroki obliczeń umieszczonych w tabeli (5.1.1) .

i = 0

x₀ = 0  ;  y₀ = 1  ; 
  ; 

i = 1

x₁ = 0 + 0,2 = 0,2 ;  y₁ = 1 + 0 = 1   ; 
  

i = 2

x₂ = 0,2 + 0,2 = 0,4  ;  y₂ = 1 + 0,04 = 1,04  ; 
      

i = 3

x₃ = 0,4 + 0,2 = 0,6  ;  y₃ = 1,04 + 0,0769 = 1,1169  ; 

i = 4

x₄ = 0,6 + 0,2 = 0,8  ;  y₄ = 1,1169 + 0,1074 = 1,2243

i = 5

x₅ = 0,8 + 0,2 = 1  ;   y₅ = 1,2243 + 0,1307 = 1,3550

y^* - dokładna wartość funkcji y = y(x)