Metoda Rungego - Kutty

            Metodą Rungego - Kutty podobnie jak metodą Eulera rozwiązujemy równania i układy równań różniczkowych rzędu I .

Mamy równanie różniczkowe

                
                                                                                             (4.2.1)

z warunkiem początkowym

               
                                                                                                 (4.2.2)

określone w przedziale < x₀ , b > .  

Przedstawiamy szukane rozwiązanie y(x) z zagadnienia Cauchy'ego w otoczeniu punktu x = x_n (n = 1,2,3,...) wzorem Taylora . [8]

              
                                                 (4.2.3)

            W zależności od tego ile początkowych wyrazów weźmiemy z rozwiązania (4.2.3) otrzymamy mniejszą lub większą dokładność . W metodzie Rungego-Kutty brane są wyrazy do h³ włącznie . Wyznaczamy długość kroku h i dla i - tego kroku określamy

               
                                                                                                 (4.2.4)

                x_i = x₀ + ih                                                                                                 (4.2.5)   

                y_i = y(x_i)                                                                                                    (4.2.6)

Następnie wyznaczamy cztery liczby . [4]

                      
                                                               (4.2.7)                                

  Wartości y_i+1 wyznaczamy ze wzoru

                      
                                                                                    (4.2.8)

gdzie

                     
                                                            (4.2.9)

            Błąd rozwiązania w metodzie Rungego-Kutty jest proporcjonalny do h⁵ , a więc metoda jest rzędu czwartego . Duże znaczenie ma wybór wielkości kroku h . Krok h uważany jest za właściwy gdy

                       
                                                                         (4.2.10)

Jeżeli wskaźnik T jest zbyt duży , to należy zmniejszyć krok . Należy go jednak traktować jedynie orientacyjnie . [4]

            Rozwiązując równania różniczkowe metodą Rungego-Kutty wygodnie jest stosować schemat obliczeń .

i	X	y	K=f(x,y)	m * K
0	x0 x0 + 1/2h x0 + 1/2h x0 + h	y0 y0 + 1/2K1^0 y0 + 1/2K2^0 y0 + K3^0	K1^0        K2^0        K3^0        K4^0	K1^0       2K2^0       2K3^0         K4^0
m = 1 dla K1 i K4 ; m = 2 dla K2 i K3
.........	............................	.............................	......................	......................

Tablica 4.2.1 Metoda Rungego - Kutty  wzór obliczeń . [8]

Przykład.

Zadanie

   Rozwiązać metodą Rungego-Kutty równanie
  z warunkiem początkowym y(0) = 1 , w przedziale < 0 , 1 >. Liczba kroków n = 5 .

Rozwiązanie

Obliczamy długość kroku h

     

               

Wyniki obliczeń w poszczególnych krokach umieszczamy w tabeli .

I	x	y	K=hf(x,y)	mK
0
1	0,2      0,3      0,3      0,4	1,0198         1,0394         1,0487         1,0770	0,0392            0,0577            0,0572            0,1743	0,0392       0,1154       0,1144       0,0743
2	0,4      0,5      0,5      0,6	1,0770        1,1142        1,1219        1,1661	0,0743           0,0898           0,0891           0,1029	0,0743       0,1796       0,1782       0,1029
3	0,6       0,7       0,7       0,8	1,1662         1,2177         1,2237         1,2806	0,1029              0,1150              0,1144              0,1249	0,1029       0,2300       0,2288       0,1249
4	0,8       0,9       0,9       1,0	1,2806         1,3431         1,3476         1,4142	0,1249              0,1340              0,1336              0,1414	0,1249       0,2680       0,2672       0,1414

---