Z Wykład 19 04 2008


Na dzisiejszych zajęciach powiemy o ekstremach związanych (warunkowych). Naszym głównym zadaniem będzie wyznaczenie ekstremum funkcji postaci 0x01 graphic
z narzuconym konkretnym warunkiem, że 0x01 graphic
. Rozpatrywać więc będziemy jakąś funkcję przy określonym warunku. Będziemy zakładać przy rozwiązywaniu różnych przykładów, że 0x01 graphic
. A zatem zacznijmy od takiego przykładu. Mamy daną funkcję 0x01 graphic
i mamy dla tej funkcji zadany warunek, że 0x01 graphic
. I mamy dla tej funkcji przy takim warunku znaleźć ekstremum. Będziemy więc rozpatrywali funkcję 0x01 graphic
. Zobaczmy, jak będzie wyglądał rysunek tej funkcji wraz z ekstremum:

0x01 graphic

Widać wyraźnie, że zadanie okreslonego warunku będzie się wiązało z przesunięciem tej funkcji w określoym kierunku. Mając dany przykład omówmy teraz trochę teorii. Na poczatek powiedzmy, jaki jest warunek konieczny istnienia ekstremum związanego. Na początek konstrułujemy funkcję pomocniczą Laerange'a w postaci: 0x01 graphic
. Parametr 0x01 graphic
nazywamy mnoznikiem Laerange'a, a całą metodę obliczania ekstremum z zadanym warunkiem - metodą Laerange'a. I teraz jeżeli funkcje f i g są klasy C' na pewnym zbiorze 0x01 graphic
, czyli inaczej 0x01 graphic
, gdzie f i g są różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze omega, to warunkiem koniecznym na to, by punkt 0x01 graphic
realizował ekstremum warunkowe zagadnienia ekstremum związanego jest by istniała 0x01 graphic
taka, że:

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
.

Popatrzmy na przykład. Na płaszczyźnie 0x01 graphic
należy znaleźć punkt, którego suma kwadratów odległości od punktów A(1, 1, 1) i B(2, 3, 4) była najmniejsza. Zilustrujmy powyższą sytuację:

0x01 graphic

Szukamy P(x, y, z) na powyższej płaszczyźnie. Z treści zadania możemy wyczytać, że:

0x01 graphic

Naszym minimum będzie 0x01 graphic
. Stąd otrzymamy kryterium minimum o postaci

f(x, y, z) = 0x01 graphic
pod warunkiem, że 0x01 graphic
. Stąd konstrułujemy funkcję Laerange'a i wyznaczamy pochodne:

0x01 graphic

0x01 graphic

Stąd dalej wynika układ równań, który rozwiążemy. I tak:

0x01 graphic
.

Stąd mamy punkt szukany stacjonarny P o współrzędnych 0x01 graphic
z parametrem 0x01 graphic
.

Jest to jednak jedynie punkt podejrzany o ekstremum. Dlatego aby sprawdzić, czy jest to faktycznie ten punkt, należy jeszcze obliczyć warunek dostateczny. Omówmy zatem teraz warunek dostateczny ekstremum związanego. Niech 0x01 graphic
będą zadane w otoczeniu punktu stacjonarnego 0x01 graphic
. Warunkiem dostatecznym na to, by punkt P realizował ekstremum warunkowe jest by macierz drugich pochodnych funkcji Laerange'a zwana hesjanem obrzezonym w postaci:

0x01 graphic
0x01 graphic

spełniał nastepujące warunki w punkcie P:

  1. Wszystkie wyznaczniki det0x01 graphic
    w punkcie P były mniejsze od 0 dla i = 2, …, n. Wówczas mamy minimum.

  2. 0x01 graphic
    . Wówczas mamy maksimum, gdzie przykładowo 0x01 graphic
    dotyczy drugiego wiersza i drugiej kolumny hesjanu obrzeżonego.

I mając dane twierdzenie dla powyższego zadania sprawdźmy warunek dostateczny. Najpierw zliczmy 9 pochodnych (6 pochodnych funkcji Laerange'a i 3 pochodne funkcji g):

0x01 graphic

Stąd mamy taki hesjan obrzeżony:

0x01 graphic

Teraz wyliczamy wyznacznik hesjana 2x2 i wyznacznik hesjana 3x3. A zatem:

0x01 graphic

Jak widać wszystkie wyznaczniki są ujemne, a zatem jest spełniony podpunkt A o minimum. Stąd wniosek, ze nasz punkt P o danych wyliczonych współrzędnych realizuje najmniejsza odległość od punktów A i B poda warunkiem, że P jest punktem płaszczyzny pi.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Z Wykład 19.04.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna
wyklad 19 9.04.2008, wyklady - dr krawczyk
wyklad z 04 2008[2]
2 wyklad 03 04 2008
nanotechnologia - wykłady, Wykład 3 i 4 (19.04.2012 - 26.04.2012)
wykład 8 - 19.02.2008, FARMACJA, ROK 5, TPL 3, Zachomikowane
wyklad 8 10.04.2008, Administracja UŁ, Administracja I rok, Ustrój organów ochrony prawnej
wyklad 7 11.04.2008, Administracja UŁ, Administracja I rok, Wstęp do prawoznawstwa
wyklad 9 17.04.2008, Administracja UŁ, Administracja I rok, Ustrój organów ochrony prawnej
wyklad 8 14.04.2008, Administracja UŁ, Administracja I rok, Zasady tworzenia i stosowania prawa
02B Z dziećmi o śmierci 19 04-2008, KSW Kędzierzyn spotkania, Spotkania i sprawozadnia K-K KSW
Wykład 19.04.2008r., pedagogika
wykład 7- (19. 04. 2001), Ekonomia, Studia, I rok, Finanase publiczne, Wykłady-stare, Wykłady
wyklad 9 21.04.2008, Administracja UŁ, Administracja I rok, Zasady tworzenia i stosowania prawa
wyklad 9 25.04.2008, Administracja UŁ, Administracja I rok, Wstęp do prawoznawstwa
wyklad 8 18.04.2008, Administracja UŁ, Administracja I rok, Wstęp do prawoznawstwa
Z Wykład 26.04.2008, Programowanie
Z Ćwiczenia 19.04.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Algorytmy i struktury danych

więcej podobnych podstron