SPRAWOZDANIE Z LABORATORIUM MECHANIKI P£YNÓW

Temat 20 : PARCIE HYDROSTATYCZNE

Grupa : COW-1, Zespó³ IV : Andrzej Bagnowski,

1994.03.08 Piotr Fiuk,

Piotr Magierski,

Maciej Mijakowski.

1. Temat æwiczenia

Tematem æwiczenia by³o wyznaczenie doœwiadczalnie parcia hydrostatycznego i ramienia jego dzia³ania.

2. Wstêp teoretyczny

Parcie hydrostatyczne jest si³¹, któr¹ dzia³a ciecz, bêd¹ca w spoczynku na œcianê naczynia lub cia³o w niej siê znajdu­j¹ce. Parcie mo¿e byæ wyznaczone drog¹ analityczn¹, wed³ug wzoru:

P = g ^. h_s ^. A, (1)

gdzie: P - parcie hydrostatyczne,

g - ciê¿ar cieczy,

h_s - zag³êbienie œrodka œciany,

A - pole powierzchni œciany

lub geometrycznie przy pomocy wykresów parcia i wzoru:

P = g ^. V, (2)

gdzie V - objêtoœæ wykresu parcia.

Metoda geometryczna pozwala na okreœlenie wysokoœci œrodka parcia, który przechodzi przez œrodek bry³y parcia. Dla œcian syme­trycznych wzglêdem osi pionowej odleg³oœæ zag³êbienia œrodka ciê¿koœci œciany a zag³êbienia œrodka parcia wyra¿a zale¿noœæ:

(3)

gdzie I_Xo - moment bezw³adnoœci pola A wzglêdem osi g³ównej œrodkowej,

h_p - zag³êbienie œrodka parcia,

h_s - zag³êbienie œrodka ciê¿koœci.

3. Opis æwiczenia

Rys. 1 Wygl¹d uk³adu pomiarowego

Uk³ad pomiarowy przedstawia schemat na Rysunku 1. Woda nalana do jednego ze zbiorników (zewnêtrzny - akwar­ium, wewnêtrzny - obrêcz o promieniach R₁ i R₂ i szerokoœci a) dzia³a si³¹ parcia, która wychyla uk³ad z po³o¿enia równowagi. Umieszczenie na jednej z szalek ciê¿aru powoduje powrót do stanu równowagi. W jednej serii pomiarowej mierzymy wysokoœæ wody w zbiorniku - H, masê odwa¿ników koryguj¹cych wychylenie - m. Pomiarów dokonujemy przy wype³nionym zbiorniku zewnêtrznym - trzykrotnie, przy wype³nionym zbiorniku wewnêtrznym - dwu­krotnie. W przypadku zbiornika wewnêtrznego wielkoœæ H jest okreœlana od najni¿szego jego poziomu . Parcie wyznaczamy z zale¿noœci na równowagê momentów:

P ^. c = m ^. g ^. r ,

co po przekszta³ceniu daje nam równanie :

(4)

gdzie: r - ramiê si³y ciê¿koœci odwa¿ników o masie m,

g - przyspieszenie ziemskie,

c - ramiê si³y parcia.

Przed przyst¹pieniem do w³aœciwych pomiarów znaleziono wartoœci :

- gêstoœæ wody dla 10°C (283.15 K) 999.6865 kg.m^-3,

- przyspieszenie ziemskie dla Warszawy 9.81227 m^.s^-2,

- ciê¿ar w³aœciwy wody 9809.194 N^.m^-3,

ze wzoru g = r ^. g = 999.6865 ^. 9.81227 = 9809.194 N^.m^-3,

- gruboœæ œcianek (d) 3 mm,

- wysokoœæ œcianki (a) 100 mm.

Wielkoœciami mierzonymi by³y: poziom wody w zbiorniku - H oraz masa odwa¿ników - m.

4. Obliczenie parcia hydrostatycznego.

Wyniki pomiarowe zapisane s¹ w poni¿szej tabeli:

Wyniki pomiarów									Tabela 3
Seria	H	DH	DH %	m	Dm	Dm %	d	Dd	Dd %
pomiarowa	[m]	[m]	[%]	[kg]	[kg]	[%]	[m]	[m]	[%]
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
I	0.210	0.003	1.4%	0.514	0.010	1.9%	0.165	0.002	1.4%
II	0.230	0.003	1.3%	0.613	0.010	1.6%	0.145	0.002	1.3%
III	0.270	0.003	1.1%	0.849	0.010	1.2%	0.105	0.001	1.1%

Rys. 2 Wykres si³ parcia

Dok³adnoœæ H wynika z dok³adnoœci przyrz¹du i wp³ywu menisku wodnego; dok³adnoœæ m wynika z dok³adnoœci okreœlenia wychylenia. Konieczn¹ czynnoœci¹ do wykonania obliczeñ, by³o wyzna­czenie ramienia si³y parcia c. Obliczenia zosta³y przeprowadzone na podstawie wykresów parcia (Rys. 2), wed³ug wzoru:

(5.0)

gdzie: P₁, P₂ - sk³adowe si³y parcia,

z₁, z₂ - po³o¿enia si³ parcia wzglêdem osi obrotu,

c - odleg³oœæ g³ównej si³y parcia od osi obrotu,

dla przyk³adu:

Wartoœci P₁, P₂, r₁, r₂ wyznaczono na podstawie wzorów:

(5.1)

np.:

(5.2)

np.:

(5.3)

np.:

(5.4)

np.:

Wyniki przedstawione s¹ w poni¿szej tabeli:

Wyznaczenia ramienia c					Tabela 4
Seria	P1	r1	P2	r2	c
pomiarowa	[N]	[m]	[N]	[m]	[m]
1	2	3	4	5	6
I	4.905	0.267	3.433	0.250	0.260
II	4.905	0.267	5.395	0.250	0.258
III	4.905	0.267	9.319	0.250	0.256

Dla tych danych obliczono na podstawie zale¿noœci (3) parcie hydrostatyczne:

Wyniki ogólne przedstawione s¹ w poni¿szej tabeli wraz z b³êdami i wartoœciami teoretycznymi:

Wyznaczenie wartoœci P doœwiadczalnie i teoretycznie																			Tabela 5
Seria	c		g		b		m		Dm %			P		DP		DP %		Pt		DP
pomiarowa	[m]		[m^.s^-2]		[m]		[kg]		[kg]			[N]		[N]		[%]		[N]		[%]
1	2		3		4		5		6			7		8		9		10		11
I	0.260		9.812		0.440		0.514		1.9%			8.542		0.166		1.9%		8.338		2.4%
II	0.258		9.812		0.440		0.613		1.6%			10.261		0.167		1.6%		10.300		0.4%
III	0.256		9.812		0.440		0.849		1.2%			14.332		0.169		1.2%		14.223		0.8%

W ostatniej kolumnie zawarta jest ró¿nica miêdzy wynikami teoretycznymi i doœwiadczalnymi odniesiona do wartoœci doœwiadczalnej. Ró¿nice wartoœci doœwiadczalnych i teoretycznych mieszcz¹ siê w granicach b³êdów poza przypadkiem I, w którym prawdopo­dobnie wyst¹pi³ b³¹d gruby.

B³¹d wartoœci si³y parcia obliczony zosta³ na podstawie pochodnej logarytmicznej ze wzoru:

(6)

gdzie DP - b³¹d obliczonej wartoœci P,

np. :

5. Wyznaczenie ramienia c

Wyniki pomiarowe zapisane s¹ w poni¿szej tabeli:

Wyniki pomiarów									Tabela 6
Seria	H	DH	DH %	m	Dm	Dm %	d	Dd	Dd %
pomiarowa	[m]	[m]	[%]	[kg]	[kg]	[%]	[m]	[m]	[%]
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
I	0.150	0.003	2.0%	0.655	0.010	1.5%	0.150	0.003	2.0%
II	0.200	0.003	1.5%	0.965	0.010	1.0%	0.100	0.003	1.5%

B³êdy wartoœci H i m zosta³y okreœlone podobnie jak w punkcie 4.

W celu znalezienia wartoœci c przekszta³ciliœmy wzór (4) do postaci:

(7)

gdzie: r - ramiê si³y ciê¿koœci odwa¿ników o masie m,

c - ramiê si³y parcia.

Si³ê parcia P wyznaczamy z wykresów parcia, na podstawie równania:

(7.1)

gdzie : a - wysokoœæ i szerokoœæ œcianki,

d - gruboœæ œcianki,

np.:

WartoϾ c liczymy na podstawie wzoru (7),

np.:

Wartoœci obliczone przedstawione s¹ w poni¿szej tabeli:

Wyznaczenie c doœwiadczalnie				Tabela 7
Seria	P	c	Dc	Dc %
pomiarowa	[N]	[m]	[m]	[%]
1	2	3	4	5
I	8.667	0.2521	0.0038	1.5%
II	13.001	0.2476	0.0026	1.0%

B³¹d wartoœci c (Dc) zosta³ wyznaczony na podstawie pochodnej logarytmicznej dla masy m, przy za³o¿eniu, ¿e wartoœci P s¹ okreœlone bez b³êdu, wed³ug równania:

(8)

np. :

W celu przeprowadzenia analizy obliczono wartoœci teoretyczne c za pomoc¹ wzoru (5), gdzie:

(9.1)

np.:

(9.2)

np.:

(9.3)

np.:

(9.4)

np.:

Po podstawieniu otrzymujemy:

Wyniki przedstawiono w tabeli poni¿ej:

Wyznaczenie c z wykresów parcia								Tabela 8
Seria	P1		r1		P2		r2		c
pomiarowa	[N]		[m]		[N]		[m]		[m]
1	2		3		4		5		6
I	4.594		0.247		4.074		0.263		0.2544
II	8.927		0.247		4.074		0.263		0.2519

Dodatkowo wartoϾ c obliczono ze wzoru:

(9.5)

gdzie : jest mierzone z uwzglêdnieniem gruboœci œcianek,

Dla przyk³adu:

Wyniki przedstawione zosta³y w tabeli poni¿ej:

Wyznaczenie c ze wzoru (9)					Tabela 9
Seria	hs	d	A	Jxo	c (wzór)
pomiarowa	[m]	[m]	[m^2]	[m^4]	[m]
1	2	3	4	5	6
I	0.097	0.150	0.0088	6.506^.10^-6	0.2546
II	0.147	0.100	0.0088	6.506^.10^-6	0.2520

W Tabeli 10 przedstawiono porównanie wyników teoretycznych, uzyskanych z powy¿szych metod, z wynikami doœwiadczalnymi. Kolumny 4 i 6 zawieraj¹ wartoœci teoretyczne i ró¿nice miêdzy nimi i wartoœciami doœwiadczalnymi odniesione do wartoœci doœwiadczalnych.

Zestawienie wyników teoretycznych i doœwiadczalnych					Tabela 10
Seria	c	c1	(c-c1)%	c2	(c-c2)%
pomiarowa	[m]	[m]	[%]	[m]	[%]
1	2	3	4	5	6
I	0.252	0.254	0.9%	0.255	1.0%
II	0.248	0.252	1.7%	0.252	1.8%

Ró¿nice wartoœci doœwiadczalnych i teoretycznych powsta³y na skutek b³êdów pomiarowych przy wyznaczaniu gruboœci œcianek i wysokoœci s³upa wody. Ró¿nica miêdzy wynikami teoretycznymi i doœwiadczalnymi dla drugiego nape³nienia jest wiêksza ni¿ b³¹d pomiarowy. Nie mo¿emy jednak stwierdziæ charakteru odchylenia (czy jest spowodowane spowodowane b³êdem systematycznym, grubym czy przypadko­wym), gdy¿ nie dysponujemy trzeci¹ seri¹ pomiarow¹.

6. Wnioski

Przy wyznaczaniu parcia hydrostatycznego i ramienia si³y wartoœci doœwiadczalne by³y zgodne z wartoœciami teoretycznymi z dok³adnoœci¹ blisk¹ b³êdom.

Parcie hydrostatyczne wzrasta liniowo wraz z g³êbokoœci¹ zanurzenia. Wynika to z charakteru ciœnienia hydrostatycznego, definiuj¹cego parcie wed³ug zale¿noœci:

(10)

gdzie : P - parcie,

p - ciœnienie hydrostatyczne,

S - powierzchnia.

Przy³o¿enie si³y parcia mieœci siê miêdzy punktami przy³o¿enia si³ sk³adowych P₁ i P₂, reprezentowanych przez ramiona si³: z₁ i z₂. W miarê wzrostu s³upa wody, punkt przy³o¿enia si³y P zbli¿a siê do punktu przy³o¿enia si³y P₁. Wyt³umaczyæ to mo¿na na podstawie analizy równania (5): sk³adowa P₁^.z₁ ma wtedy coraz wiêkszy wp³yw.

---