Dane wejściowe:

X1 = 150

k = 17

x = 1200 - wartość średnia

s = 390,5125 - odchylenie standardowe

N = 840 - liczność próbki

j	xj	aj
1	70	2
2	210	5
3	350	12
4	490	24
5	630	42
6	770	66
7	910	91
8	1050	110
9	1190	118
10	1330	113
11	1470	94
12	1610	70
13	1750	46
14	1890	26
15	2030	13
16	2170	6
17	2310	2

j	xj	nj	środek przedziału	xlj	xPj	Xj*Nj	Xj^2*Nj	Σnj	N-Σnj
1	70	1	70	0	140	140	9800	2	838
2	210	5	210	140	280	1050	220500	7	833
3	350	12	350	280	420	4200	1470000	19	821
4	490	24	490	420	560	11760	5762400	43	797
5	630	42	630	560	700	26460	16669800	85	755
6	770	66	770	700	840	50820	39131400	151	689
7	910	91	910	840	980	82810	75357100	242	598
8	1050	110	1050	980	1120	115500	121275000	352	488
9	1190	118	1190	1120	1260	140420	167099800	470	370
10	1330	113	1330	1260	1400	150290	199885700	583	257
11	1470	94	1470	1400	1540	138180	203124600	677	163
12	1610	70	1610	1540	1680	112700	181447000	747	93
13	1750	46	1750	1680	1820	80500	140875000	793	47
14	1890	26	1890	1820	1960	49140	92874600	819	21
15	2030	13	2030	1960	2100	26390	53571700	832	8
16	2170	6	2170	2100	2240	13020	28253400	838	2
17	2310	2	2310	2240	2380	4620	10672200	840	0
	Σ	840				1008000	1337700000

Podstawowe miary niezawodności.

Nr przedziału	Środek przedziału	liczba obserwacji	funkcja gęstości	funkcja zawodności (dystrybuanta)	funkcja niezawodności	funkacja ryzyka
1	70	2	0,017	0,0024	6,9976	0,017
2	210	5	0,0425	0,0083	0,9917	0,0429
3	350	12	0,102	0,0226	0,9774	0,1044
4	490	24	0,2041	0,0512	0,9488	0,2151
5	630	42	0,3571	0,1012	0,8988	0,3974
6	770	66	0,5612	0,1798	0,8202	0,6842
7	910	91	0,7738	0,2881	0,7119	1,087
8	1050	110	0,9354	0,419	16,581	1,6101
9	1190	118	1,0034	0,5595	0,4405	2,278
10	1330	113	0,9609	0,694	0,306	3,1406
11	1470	94	0,7993	0,806	0,194	4,1192
12	1610	70	0,5952	0,8893	0,1107	5,3763
13	1750	46	0,3912	0,944	0,056	6,9909
14	1890	26	0,2211	0,975	0,025	8,8435
15	2030	13	0,1105	0,9905	0,0095	11,6071
16	2170	6	0,051	0,9976	0,0024	21,4286
17	2310	2	0,017	1	0	-----

1. Rozkład normalny

a) Test zgodności.

Poziom istotności = 0,05

Liczba stopni swobody r = k-m-l = 17-2-1=14

Ilość parametrów rozkładu m=2

Wartość krytyczna rozkładu chi-kwadrat dla takich parametrów wynosi 23,6848

Wartość obliczona 0,0002

Hipoteza jest prawdziwa bo 23,6848>0,0002

Wynika z tego że rozkład normalny może być zastosowany do opisu danego rozkładu.

b) Określenie zasobów

Zasób (resurs) dla rozkładu normalnego jest kwantylem rzędu 1-p

X90% = kwantyl rzędu (1-0,1) = 518

X50% = kwantyl rzędu (1-0,5) = 1190

c) Przedział ufności przy poziomie istotności 0,05

• 
  Dla wartości średniej

Gdzie:

r = N-1 = 840-1=839 - ilość stopni swobody

t(α,r) = 1,9628 - wartość krytyczna rozkładu t-Studenta

Xśr =1200 - wartość średnia

s = 390,5125 - odchylenie standardowe

1173,5376 < Xśr < 1226,4624

szerokość przedziału = 52,9248

wartość średnia = 1200

• Dla odchylenia standardowego

Gdzie:

r = N-1 = 840-1 = 839

s = 390,5125

wartości krytyczne dla rozkładu chi-kwadrat:

χ²(α/2,N-1) = χ²(0,025,839) = 921,164

χ²(1-α/2,N-1) = χ²(0,975,839) = 760,624

372,6897 < s < 410,1388

szerokość przedziału = 37,4491

wartość średnia = 391,4143

2. Rozkład Weibulla

a) określam parametr progowy xo, oraz parametry rozkładu a i b

xo = -218,18

Gdzie:

x1 = 150

x2 = 600

x3 = 1600

Po uwzględnieniu parametru progowego xo punkty na siatce Weibulla układają się niemalże w linii prostej dzięki czemu możemy wyznaczyć metoda graficzną parametry rozkładu:

a = 1500

b =3,7

Wyznaczam analitycznie parametry rozkładu.

Y = ln(ln(1/(1-f(x))))

X = ln(x-xo)

Y	X
ln(ln(l/(l-f(x))))	ln(x-x0)
-6,0391	5,6636
-4,7833	6,0595
-3,7775	6,3424
-2,946	6,5627
-2,2379	6,7431
-1,6187	6,8959
-1,0794	7,0284
-0,6105	7,1453
-0,1986	7,2501
0,1692	7,3448
0,4945	7,4314
0,7888	7,5111
1,0589	7,5849
1,3053	7,6536
1,5377	7,7179
1,7984	7,7783

Z równania prostej y = 3,79x - 27,708

A = 3,79

B = -27,708

Parametry rozkładu.

a = exp(-B/A) = 1496,4007

b = A = 3,79

Różnice miedzy parametrami wyznaczonymi graficznie i analitycznie są niewielkie. Do dalszych obliczeń przyjmuję wartości analityczne ponieważ nie są obarczone błędami rysunkowymi.

b) Test zgodności

poziom istotności = 0,05

r = k-m-1 = 13 - liczba stopni swobody

Wartość krytyczna rozkładu chi-kwadrat = 22,362

Wartość obliczona = 24,9938

Hipoteza nieprawdziwa: 24,9938 > 22,362

Rozkład Weibulla nie może być zastosowany do opisu tego rozkładu.

c) Określam zasoby

x90% = 608,2

x50% = 1140,29

d) Przedział ufności dla wartości średniej.

Gdzie:

ilość stopni swobody r = N-1 = 840-1 = 839

wartość krytyczna t-Studenta = 1,9628

xśr = 1134,0472

s = 398,3006

1107,0571 < xśr < 1161,0374

Szerokość przedziału : 53,9803

Wartość średnia = 1134,0472

e) Przedział ufności dla odchylenia standardowego.

Gdzie:

r = 839

wartości krytyczne rozkładu chi-kwadrat:

χ²(α/2,N-1) = χ²(0,025,839) = 921,164

χ²(1-α/2,N-1) = χ²(0,975,839) = 760,624

s = 398,3006

380,1224 < s < 418,3183

Wartość średnia = 399,2203

Wartość średnia = 38,196

---