Matematyka finansowa - wybór wariantu oprocentowania

Narzędzia matematyki finansowej służą analizie operacji obrotu pieniędzmi, m.in. są wykorzystywane do obliczania wartości kapitału przy lokowaniu go w bankach. Banki oferują różne rodzaje oprocentowania wkładów i aby wybrać wariant optymalny dla nas musimy umieć te oferty porównywać. Uważam, że młodzi ludzie powinni być już w szkole średniej przygotowywani do racjonalnego gospodarowania, a co za tym idzie, na tym etapie kształcenia poznać narzędzia matematyki finansowej.

Banki oferują dwa rodzaje oprocentowania: według reguły procentu prostego i według reguły procentu składanego. Przy oprocentowaniu prostym odsetki nie podlegają kapitalizacji i rosną proporcjonalnie do długości okresu ich naliczania. Atrybutem procentu składanego jest kapitalizacja odsetek, tzn. po upływie okresu podstawowego odsetki są dopisywane do kapitału początkowego i następne odsetki są już naliczane od nowej kwoty.

Kapitalizacja odsetek w podokresach

Kapitalizacja odsetek nie musi następować corocznie, lecz może być dokonywana także częściej, np. co pół roku, co kwartał, co miesiąc, co dzień, co sekundę, w sposób ciągły. Wprowadźmy oznaczenia:

- roczna stopa procentowa przy k- krotnej kapitalizacji odsetek w ciągu roku. Jest to tzw. stopa nominalna.

- stopa proporcjonalna dla podokresu, po którym następuje kapitalizacja odsetek.

W związku z tym:

Gdy bank informuje, że roczne oprocentowanie lokat wynosi 10 %, zaś odsetki są kapitalizowane na koniec każdego kwartału, to zapisujemy tę informację w sposób syntetyczny jako:

10 %

= 2,5 %

Wtedy wzór na wartość końcową kapitału przyjmuje postać:

lub

gdzie: m - ilość podokresów w ciągu n lat

n - ilość lat oszczędzania

k - ilość podokresów (okresów podstawowych) w ciągu roku

Problem 1

Obliczmy przyszłą wartość kwoty 5 000 zł ulokowanej na dwa lata, przy nominalnej stopie procentowej 10 %, przyjmując cztery warianty oprocentowania składanego:

1. co roku; wtedy
   i
   

2. co pół roku; wtedy
   i
   
   

3. co kwartał; wtedy
   i
   

4. co miesiąc; wtedy
   i
   

Kapitały końcowe wynoszą odpowiednio:

a)

b)

c)

d)

Z powyższych obliczeń wynika, że skracanie podokresu kapitalizacji odsetek zwiększa przyszłą wartość kapitału.

Gdyby kapitalizację odsetek prowadzono w sposób ciągły, czyli

gdzie
- roczna stopa procentowa przy ciągłej kapitalizacji odsetek

e - liczba niewymierna wprowadzona przez Eulera, będąca granicą ciągu

Zatem wartość kapitału
po n latach przy ciągłej kapitalizacji odsetek z roczną stopą procentową
osiągnie wartość K=

Równoważność warunków oprocentowania składanego

Kluczowym pojęciem przy porównywaniu ofert różnych banków oferujących procent składany jest pojęcie stopy równoważnej. Dwie stopy oprocentowania są równoważne, jeśli po upływie dowolnego czasu kapitał początkowy
przyjmuje tę samą wartość K, bez względu na to, ile razy dokonamy kapitalizacji w ciągu tego okresu.

Problem 3

Rozważmy dwa warianty oprocentowania składanego:

A - z roczną stopą procentową
(
okresów podstawowych w ciągu roku)

B - z roczną stopą procentową
(
okresów podstawowych w ciągu roku)

Zbadajmy równoważność stóp procentowych
oraz
, gdzie:

Ponieważ
, więc
(1)

Powyższy warunek możemy zapisać przy użyciu stóp
oraz
:

(2)

Jest to formalne kryterium równoważności warunków oprocentowania składanego. Równoważność stóp oprocentowania składanego nie zależy od wysokości kapitału początkowego
, ani od czasu oprocentowania n.

Problem 4

Dla rocznej stopy procentowej r = 12 %, obliczmy równoważną jej stopę półroczną, kwartalną i miesięczną.

Korzystamy z kryterium (1) podstawiając:

a)

czyli 11,66 %

b)

czyli 11,49 %

c )

czyli 11,39 %

Wyniki wskazują, że oprocentowanie stopą
z miesięczną kapitalizacją odsetek jest równoważne oprocentowaniu stopą
z kwartalną kapitalizacją odsetek i oprocentowaniu stopą
z roczną kapitalizacją odsetek.

Odsetki od kapitału naliczane za identyczny czas dla każdego z wariantów oprocentowania są identyczne.

Równoważność oprocentowania składanego i prostego.

Dwa warianty oprocentowania: składane opisane roczną stopą
i proste opisane roczną stopą r są równoważne w czasie n, jeżeli kapitał początkowy
przyjmie dla obu wariantów oprocentowania tę samą wartość końcową K po czasie n.

Kapitał końcowy liczony według procentu składanego ma wartość:

Kapitał liczony według procentu prostego:

czyli
(3)

Ponieważ w warunku równoważności (3) występuje zmienna czasowa n, oznacza to, że oprocentowanie składane i proste mogą być równoważne tylko po pewnym czasie. We wzorze tym nie występuje zmienna
, czyli równoważność nie zależy od wartości kapitału początkowego.

Problem 5

Dla oprocentowania składanego z roczną kapitalizacją odsetek stopa procentowa wynosi
. Obliczmy równoważną jej stopę oprocentowania prostego w ciągu:

a) 2 lat

b) 3 lat.

W wyniku obliczeń otrzymujemy:

a)

b)

Stopy oprocentowania prostego i składanego są równoważne tylko w ustalonym czasie.

 

Stopa efektywna

Najlepszym kryterium porównania i podstawą do ewentualnego wyboru jednego z różnych wariantów oprocentowania składanego jest efektywna stopa procentowa. Dla danej nominalnej stopy rocznej
stopa efektywna zależy od k (ilości okresów podstawowych w ciągu roku) i jest to roczna stopa procentowa równoważna stopie
.

Przy danej rocznej stopie nominalnej, stopa efektywna jest tym większa, im częściej kapitalizuje się odsetki. Korzystając ze wzoru (6):

gdzie:
- efektywna stopa procentowa

k - ilość podokresów kapitalizacji w ciągu roku

=

gdzie:

Problem 6

Obliczmy stopę efektywną dla rocznej nominalnej stopy wynoszącej 12 % przy kapitalizacji odsetek:

a) półrocznej

b) miesięcznej

1. ciągłej.

W wyniku obliczeń otrzymamy:

a)
czyli 12,36 %

b)
czyli 12,68 %

c)
czyli 12,75 %

Obliczenia potwierdzają wyciągnięte wcześniej wnioski, że efektywna stopa oprocentowania rośnie wraz ze wzrostem częstotliwości kapitalizacji odsetek.

 Podsumowanie

Skracanie podokresu kapitalizacji odsetek zwiększa przyszłą wartość kapitału, aż do wartości granicznej przy ciągłej kapitalizacji odsetek. Na równoważność dwóch wariantów oprocentowania składanego nie ma wpływu wysokość oszczędzanego kapitału ani czas oprocentowania. Przy porównywaniu równoważności oprocentowania prostego i składanego należy wziąć pod uwagę czas oprocentowania wkładu. W celu wyboru wariantu oprocentowania, na który składamy nasze pieniądze w banku, musimy porównywać efektywne stopy tego oprocentowania. Nie wystarczy wybrać banki o tej samej stopie nominalnej, lecz należy wziąć pod uwagę częstotliwość kapitalizacji odsetek, co wpływa na efektywną stopę oprocentowania.

1

Szukasz gotowej pracy ?

To pewna droga do poważnych kłopotów.

Plagiat jest przestępstwem !

Nie ryzykuj ! Nie warto !

Powierz swoje sprawy profesjonalistom.

---