Temat: Załamanie i odbicie fal płaskich na granicy ośrodków

Załamanie i odbicie fal płaskich na płaskiej granicy dwóch ośrodków izotropowych

Zajmijmy się przechodzeniem i załamaniem fal płaskich na granicach ośrodków. Będziemy wykorzystywali wyniki uzyskane przez Fedorowa i Filippowa [1].

Przyjmijmy, że fala elektromagnetyczna porusza się w ośrodku izotropowym I o współczynniku załamania
w kierunku ośrodka II, który charakteryzuje współczynnik załamania
. Przyjmiemy dalej, że granica F rozdziału ośrodków I i II jest płaszczyzną. Niech
będzie jednostkowym wektorem prostopadłym do tej płaszczyzny, skierowanym w stronę ośrodka II. Zgodnie z założeniami wektor refrakcji
fali padającej także jest także skierowany w stronę ośrodka II. Razem z wektorem
wektor ten określa płaszczyznę P, noszącą nazwę płaszczyzny padania. Wektor
jest prostopadły do płaszczyzny padania, bo jest prostopadły do obydwu wektorów ją określających:
,
.

Z doświadczenia wiadomo, że na granicy ośrodków różnych optycznie na ogół ma miejsce załamanie i odbicie fali padającej. Niech E₁(r,t), D₁(r,t) i H₁(r,t) będą wektorami związanymi z falą padającą, E₂(r,t), D₂(r,t) i H₂(r,t) - z odbitą, zaś E₃(r,t), D₃(r,t) i H₃(r,t) z falą załamaną. Składowe równoległe, jak również składowe prostopadłe, wektorów pól E_i(r,t), D_i(r,t) i H_i(r,t) (i=1,2,3) spełniają w każdym punkcie granicy ośrodków warunki ciągłości. Zarówno wektory E₀, D₀ i H₀, które nie zależą od r i t, jak i czynniki fazowe (związane z fazami

) muszą spełniać wspomniane warunki. By wektory charakteryzujące te trzy fale były ciągłe ich fazy muszą być jednakowe w każdym momencie czasu i w każdym punkcie r płaszczyzny F, zatem

. (4.1)

Punkty płaszczyzny F, która jest prostopadła do wektora
, spełniają oczywisty warunek

. (4.2)

Równania (4.1) są spełnione jeżeli częstości ω_i i iloczyny skalarne
(i=1,2,3) są jednakowe

,
. (4.3a,b)

Warunki (4.3b) można zapisać inaczej

. (4.3c)

Ponieważ spełniony jest warunek (4.2) i na długość
wektora wodzącego r nie ma ograniczeń, więc różnice wektorów refrakcji znajdujące się we wzorze (4.3c) muszą być równoległe do wektora

. (4.4)

Po wymnożeniu obydwu stron związku (4.4) przez
otrzymamy

(4.5)

gdzie
.

Wprowadzimy wektor b prostopadły do wektora a i

.

Jest on równoległy do prostej przecięcia się płaszczyzny rozdziału F i płaszczyzny padania P

Wektor ten nie jest prostopadły do wektora m₁. Rzeczywiście

.

Ponieważ wektor b jest prostopadły do wektora a, więc leży w płaszczyźnie padania. Jest także prostopadły do wektora
. Wektory a, b i
tworzą ortogonalną trójkę wektorów związanych z konkretnym zagadnieniem załamania i odbicia fali elektromagnetycznej. Jak wiemy wektor m₁ leży w płaszczyźnie padania, a więc można go przedstawić w postaci kombinacji liniowej wzajemnie prostopadłych wektorów b i

. (4.6)

Przeniesiemy w równaniach (4.4) wektor m₁ na lewe strony i wykorzystamy wzór (4.6). W wyniku otrzymamy dwa równania

, (4.7)

z których wynika, że wszystkie wektory refrakcji leżą w płaszczyźnie padania. Zbadajmy iloczyny wektorowe
. Na podstawie równania (4.7) wnioskujemy, że

.

Rzecz jasna, także długości wektorów
(i=1,2,3) są jednakowe

. (4.8a)

Na podstawie równań (4.6), (4.7) stwierdzamy, że rzuty wektorów refrakcji fali padającej, odbitej i załamanej są jednakowe i równe liczbie
. Wprowadzając kąt padania
, kąt odbicia
i kąt załamania
zapiszemy wzór (4.8a) w innej, dobrze znanej, postaci

(4.8b)

Równanie (4.8b) stanowi podstawę znanej konstrukcji, pozwalającej znaleźć wektory refrakcji fali padającej, odbitej i załamanej (rys. 4.1). Końce wektorów refrakcji m₁ i m₂ leżą na okręgu o promieniu
, natomiast koniec wektora m₃ leży na okręgu o promieniu
. Ich rzuty na linię przecięcia się płaszczyzny rozdziału ośrodków i płaszczyzny padania są jednakowe.

Ze względu na porzeczny charakter badanych fal wektory
oraz
(i=1,2,3) każdej z nich można zbudować z jednostkowego wektora
równoległego do a oraz wektora
, np.
. Warunki brzegowe jakie spełniają wektory
,
,
pozwalają wyznaczyć współczynniki A_i, B_i. To oznacza, że możemy wyznaczyć amplitudy i określić polaryzację fali odbitej z załamanej. Nie będziemy się tym zagadnieniem zajmować. Zbadamy jedynie konsekwencje szczególnych związków jakie spełniają kąty padania, odbicia i załamania.

Gdy
to wektory
i
są prostopadłe więc wektor E₂ jest prostopa­dły do płaszczyzny padania. Rozpatrzymy jeden z warunków (4.8b)

.

Można pokazać, że fala odbita jest całkowicie liniowo spolaryzowana, a kąt padania
spełnia warunek Brewstera
. Zwróćmy uwagę, na to, że kąt Brewstera można określić dla każdego ilorazu współczynników załamania n_I, n_II.

Natomiast gdy pada z gęstszego ośrodka na granicę rzadszego (
) to nie zawsze istnieje fala załamana. Zapiszemy to samo równanie co w przypadku wprowadzenia kąta Brewstera, w postaci

.

Wprowadzimy krytyczną wartość kąta

.

Gdy
to
, tj. kąt załamania równy jest
, a więc fala załamana rozchodzi się stycznie do granicy rozdziału. Gdy
to fala nie wchodzi do ośrodka rzadszego. Mówimy wtedy o całkowitym wewnętrznym odbiciu.

Zjawisko całkowitego polaryzowania fali w wyniku odbicia jak również zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia wykorzystywane jest do uzyskiwania światła spolaryzowanego.

4.2 Zjawisko odbicia i załamania na granicy ośrodka anizotropowego

Opis zjawiska załamania i odbicia na płaskiej granicy różnych ośrodków anizotropowych optycznie jest bardzo skomplikowany. Rozważymy najprostszą sytuację gdy ośrodek, w którym rozchodzi się fala padająca i odbita, jest izotropowy, zaś ośrodek, w którym rozchodzi się fala załamana jest jednoosiowy. W porównaniu z przypadkiem rozpatrzonym w § 4.1 pojawia się konieczność uwzględnienia oprócz wektorów
i
jeszcze kierunku wektora osi optycznej
.

Niech orientację wektora
względem wektora
określa kąt
. Płaszczyznę
, w której leżą wektory
i
nazywamy główną płaszczyzną padania. Podobnie jak wektor
określił orientację płaszczyzny padania, tak wektor
, prostopadły do
, określa orientację przestrzenną tej płaszczyzny. Płaszczyzna padania i główna płaszczyzna padania przecinają się wzdłuż prostej równoległej do wektora
. Wektory
i
leżą w płaszczyźnie granicy rozdziału ośrodków. Oznaczymy kąt pomiędzy nimi przez
. Kąt ten nazywa się azymutem padania.

Ponieważ wektory
,
i
tworzą trójkę wzajemnie prostopadłych wektorów, więc można wyrazić wektor osi optycznej
przez ich kombinację liniową. Oto wynik [1]

.

Znając orientację wektora
względem wektorów
,
i
można zająć się warunkami granicznymi na powierzchni rozdziału ośrodków, które spełniają wektory
fali padającej, odbitej i załamanej oraz wektory refrakcji. Jednak jest to zajęcie bardzo pracochłonne i nie możemy poświęcić mu więcej uwagi.

Literatura:

F.I. Fedorow, W.W. Filippow, Otrażenie i perełomlenie sweta prozracznymi kristallami, Izdatelstwo Nauka i Technika, Minsk, 1976, § 3.

1

Szukasz gotowej pracy ?

To pewna droga do poważnych kłopotów.

Plagiat jest przestępstwem !

Nie ryzykuj ! Nie warto !

Powierz swoje sprawy profesjonalistom.

---