1.Drgania harmoniczne

Ruchem drgającym nazywamy rych ciala zachodzący wokół stałego położenia równowagi Szczególnym rodzajem drgań są drgania harmoniczne, tj. okresowe, o stałej amplitudzie, opisane sinusoidą. Ze względu na prostotę opisu drgania harmoniczne są wykorzystywane do opisu wielu drgań rzeczywistych jako ich przybliżenie (lub poprzez rozkład na nie).

Najprostsze równanie opisujące drgania harmoniczne (dla ciężarka zawieszonego na sprężynie) ma postać:

mx'' (t) + kx(t) = 0.

Rozwiązaniem jest funkcja

x(t)=Asin(ωt+ϕ₀),

gdzie A - amplituda drgań, ω = 2πν = (k/m)^0.5, ω - częstość kołowa (ν - częstość drgań), k - współczynnik sprężystości, m - masa ciała, ϕ₀ - faza początkowa.

2.OMÓW RUCH HARMONICZNY TŁUMIONY

Drgania, w których amplituda zmniejsza się przy niezmiennej częst.(okresie)nazywane są drganiami tłumionymi. Występują one wtedy, gdy działa siła utrudniająca ten ruch zwana siłą tłumioną Ft=-bv; Ft=-bdx/dt, b-wsp. oporu, „-„ oznacza,że siła oporu ma zawsze przeciwny zwrot do zwrotu wektora prędkości. Wypadkowa wynosi Fs+Ft=Fw; ma=Fw; (md²x/dt²=-kx-bdx/dt)/:m; d²x/dt²+xk/m+(b/m)dx/dt=0, k/m=ω₀²; b/m=2δ. Podstawić(otrzymamy r-nie różniczkowe ruchu h.tł.).

3.OMÓW RUCH HARMONICZNY TŁUMIONYZ SIŁĄ WYMUSZAJĄCĄ

W stanie równowagi(stan układu, w którym efekty końcowe już wygasły) drgania układu będą miały dokładnie częstość siły wymuszającej. F_(t)=F₀sin ωt - siła wymuszająca

Md²x/dt²+γdx/dt+Cx=F_(t); τ=M/γ; ω₀²=C/M; d²x/dt²+(1/ τ)dx/dt+ ω₀²x=F_(t)/M M-masa

F_(t)/M=F₀sinωt/M≡α₀sinωt; α₀≡F₀/M. W innych przypadkach względna faza między siłą zewnętrzną a drganiem układu będzie zmieniała się z czasem. W stanie równowagi drgania oscylatora harmonicznego występują z częstotliwością siły zewnętrznej. R-nie ruchu będzie spełnione tylko dla częst.=częst. siły zewn. Szukamy rozw. r-nia w postaci x=x₀sin(ωt+φ)

ω-częst. siły wymuszającej, φ-wartość przesunięcia fazowego między siłą wymuszającą a przesunięciem oscylatora(ma to inne znaczenie niż w przypadku drgań niewymuszających oscylatora harmonicznego nietłumionego). Dla drgań wymuszonych oscylatora warunki początkowe nie są istotne jeżeli rozważany jest tylko stan równowagi. Przesunięcie fazowe mówi nam o jaki kąt maksimum przemieszczenia wyprzedza max siły. dx/dt= ωx₀cos(ωt+φ)

d²x/dt²=- ω²x₀sin(ωt+φ). R-nie ruchu ma zatem postać: (ω₀^2- ω²) x₀ sin(ωt+φ)+ ω/T x₀cos(ωt+φ)= α₀sinωt. Korzystamy ze związków trygonometrycznych:

sin(ωt+φ)= sinωtcosφ+sinφcosωt

cos(ωt+φ)= cosωtcosφ-sinωtsinφ

R-nie przyjmujepostać:[(ω₀²-ω²) cosφ- ω/ τsinφ]x₀sinωt+[(ω₀²-ω²)sinφ+ ω/τcosφ]x₀cosωt= α₀sinωt. R-nie to może być spełnione tylko wtedy, gdy wspólczynnik przy cosωt=o. Warunek ten może być zapisany jako tgφ=-(ω/τ)/ ω₀²-ω² (wsp. przy sinωt musi być=0.

Średnia w czasie praca wykonywana przez siłę wymuszającą w jednostce czasu na układzie drgającym jest dana na podstawie F(t)/m=F₀sinωt/m= α₀sinωt

4. Absorpcja mocy przez oscylator harmoniczny

Oscylator harmoniczny, wyidealizowany układ fizyczny - punkt materialny o masie m, na który działa siła proporcjonalna do chwilowego wychylenia x od pewnego położenia równowagi. Klasyczne równanie ruchu oscylatora harmonicznego ma postać:

punkt materialny wykonuje drgania harmoniczne o częstości kołowej

(A jest ich amplitudą, ϕ - stałą fazą).

Średnia w czasie praca wykonywana przez siłę wymuszającą w jednostce czasu na układzie drgającym jest dana na podstawie F(t)/m=F₀sinωt/m= α₀sinωt

5. Składanie drgań współbieżnych
Załóżmy, że wychylenie drgania możemy opisać za pomocą równań:

Wychylenie drgania wypadkowego możemy przedstawić za pomocą sumy wychyleń:



Wynik sumowania zależny jest od wartości amplitud A₁,A₂, częstości ω₁ i ω₂
ω oraz faz początkowych ϕ₁ ϕ₂.

A) Jeżeli:
ϕ₁= ϕ₂=0, A₁=A₂=A, ω₁=ω₂=ω
x=Acosωt+Acosωt
x=2Acosωt
Drganie wypadkowe jest drganiem harmonicznym, którego amplituda jest dwa razy większa od drgań składowych.

B) Jeżeli:
A₁= A₂=A, ω₁≠ω_2, ϕ₁= ϕ₂=0
x=Acosω₁t+Acosω₂t
x=A(cosω₁t+cosω₂t)


Interesujący przypadek występuje w przypadku gdy częstość drgań ω₁ i ω₂niewiele się od siebie różnią, wtedy:
ω₁-ω₂<<ω₁+ω₂
Ruch wypadkowy jest drganiem harmonicznym o częstości (pulsacji):


i amplitudzie:



Amplituda drgania wypadkowego zależy od czasu i zmienia się od wartości 0 do 2A w czasie:


Tego typu zmianę amplitudy nazywamy dudnieniem:


6. Składanie drgań prostopadłych

Załóżmy, że dwa drgania proste odbywają się wzdłuż prostopadłych osi x i y. Równania opisujące te drgania mają postać:

równanie toru

1) Jeżeli
ϕ₁= ϕ₂=0, A₁=A₂=A, ω₁=ω₂=ω
x=Acosωt
y=Acosωt

z równań wynika, że y=x.
Jest to równanie prostej, nachylonej do osi x pod kątem 45^o
Drganie wypadkowe odbywa się wzdluż tej prostej a maksymalne wychylenie:

2) jeżeli:
A₁= A₂=A, ω₁=ω₂=ω_, ϕ₁=90,ϕ₂=0

Podnosząc oba równania do kwadratu otrzymujemy: x²+y²=A² czyli równanie okręgu.

8.OMÓW MECHANIZM ROZCHODZENIA SIĘ FALI HARMONICZNEJ PODŁUŻNEJ ORAZ PODAJ R-NIE PŁASKIEJ FALI BIEGNĄCEJ.

Załóżmy przykładowo,że źródłem fali jest tłok drgający ruchem harmonicznym u wylotu długiej rury zawierającej powietrze. Rys. Kolejne położenia tłoka co 1/8T odpowiadają punktom A₁,A₂,A₃... wychylenie tłoka w prawo(dodatnie)powoduje zagęszczenie powietrza w rurze, wychylenie w lewo rozrzedzenie. Zaburzenia wzbudzane przez ruch tłoka dochodzą do coraz dalej położonych cząstek powietrza, ale z coraz większym opóźnieniem. Wychylenie cząsteczek od położenia równowagi dokładnie po upływie 1 okresu od chwili rozpoczęcia ruchu przez tłok. Niech punkt A na rys.2a oznacza cząstkę ośrodka, do której dochodzi zaburzenie od źródła O po upływie 1 okresu. Dzieląc odległość OB na 8 równych części wyodrębniamy te cząstki ośrodka, do których zaburzenie dochodzi z opóźnieniem wynoszącym 1/8T;2/8T;3/8T... Rys.2

Ich położenia równowagi przedstawiają odpowiednie punkty A₇', A₆',A₅'... Każdy z tych punktów do końca okresu będzie dany odpowiednio w ciągu 7/8T,6/8T... Położenie tych punktów po upływie 1 okresu od chwili rozpoczęcia ruchu przez źródło przedstawia Rys.2c.

Zaznaczone są wektory prędkości chwilowej badanych ciał. Aby otrzymać obraz fali podłużnej stosujemy umowę, że wielkość odchyleń od położenia równowagi odłożymy jako rzędne w stosunku do linii równowagi. Stosując taką umowę otrzymujemy obraz fali poprzecznej i fali podłużnej w postaci krzywych sinusoidalnych. W p.A₄' panuje największe rozrzedzenie a zatem największe obniżenie ciśnienia w stosunku do ciśnienia równowagi.

R-nie fali biegnącej: w kierunku dodatnim y=f(x-vt); x-vt - faza, w odwrotnym y=f(x+vt).

9.OMÓW MECHANIZM ROZCHODZENIA SIĘ FALI HARMONICZNEJ POPRZECZNEJ ORAZ PODAJ R-NIE PŁASKIEJ FALI BIEGNĄCEJ.

W falach poprzecznych drgania cząstek ośrodka są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. Niech p.O przedstawia źródło fali w t=0 w położeniu równowagi, po 1/8T-A₁, po 2/8T-A₂, po 3/8T-A₃(A₃=A₁), po4/8T punkt O przechodzi przez położenie równowagi A₄, po czym wychyla się w stronę przeciwną osiągając A₅ po 5/8T. Dzięki siłom sprężystym drgania O udzielają się sąsiednim cząstkom. Każda zostaje wprowadzona w analogiczne drgania, ale rozpoczyna swój ruch z pewnym opóźnieniem, zależnym od jej odległości od O. Do punktu A₁ zaburzenie doszło z opóźnieniem 1/8T, do końca pozostało 7/8T i tyle wynosi czas drgania A₁. Wychylenie A₁ od położenia równowagi=wychyleniu O po upływie 7/8T.

10.RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE FALI PŁASKIEJ.

Fala - jest to przemieszczenie się zaburzenia w czasie i przestrzeni. Pow. Falo.- zbiór punktów które drgają z tą samą fazą. Czoło fali - najdalej wysunięta powierzchnia falowa w danym czasie. Promień wyznacza kierunek rozchodzenia się fali . W ruchu falowym nie ma przenoszenia ośrodka (cząstki drgają wokół położenia równowagi). W fali harmonicznej podłużnej drgania odbywają się równolegle do kierunku rozchodzenia się fali. Fale podłóżne rozchodzą się we wszystkich ośrodkach. Źródłem fali może być np. tło drgający ruchem harmonicznym u wylotu rury z powietrzem (ruch w prawo zagęszczanie ruch w lewo rozżadzanie ). Następnie to zagęszczenie przemieszcza.

Cząstki wprawione w drgania przekazują te drgania sąsiednim cząstkom.

Drganie harmoniczne punktu można zapisać równaniem:

gdy φ=0

Po czasie t zaburzenie dociera do punktu oddalonego o x. Jest ono opóźnione względem drganie źródła o :

v-prędkość rozchodzenia się zaburzenia

RÓŻNICZKOWE:

Porównanie z

różniczkowa postać fali płaskiej

11.OMÓW MECHANIZM POWSTAWANIA I WŁASNOŚCI FALI STOJĄCEJ.

Fala stojąca - wytworzona w ciele o skończonychrozmiarach odbija się od granicy tego ciała. Fala odbita porusza się w kierunku przeciwnym niż fala padająca i superpozycja tych 2 fal daje w wyniku falę wypadkową zwaną falą stojącą(powstaje w wyniku nałożenia się 2 fal biegnących w przeciwnych kierunkach). y₁=Asin(kx-ωt) y₂=Asin(kx+ωt), stąd fala wypadkowa y=y₁+y₂=2Asinkxcosωt - r-nie fali stojącej.

W przypadku fali stojącej wszystkie cząstki ośrodka wykonują drgania harmoiczne w tej samej fazie. Amplitudy drgań cząstek zależą od ich położeń. Punkty o max amplitudzie drgań są nazywane strzałkami, a punkty w których amplituda drgań jest=0, czyli nie wykonujące drgań, są nazywane węzłami. k=2ח/λ. Odległości między kolejnymi węzłami lub strzałkami wynoszą pół długości fali.

12.OMÓW ZJAWISKO DOPPLERA

1.Niech żródło i obserwator poruszają się w kierunku zgodnym z kierunkiem prędkości głosu od źródła do obserwatora Rys.1. Kierunek prędkości głosu od źródła do obserwatora umówmy się, że będziemy traktować jako + a zatem obowiązuje zależność ۷'=۷[(v_g-v_o)/(v_g-v_z)]. Należy jednak wyróżnić 3 możliwości: a.) v_o>v_z czyli odległość między źródłem a obserwatorem z biegiem czasu rośnie. Tym razem licznik v_g-v_o jest zawsze mniejszy od mianownika v_g-v_z. W tych warunkach częstotliwość drgań odbieranych jest mniejsza od częstotliwości drgań nadawanych. b.) v_o<v_z czyli odległość między źródłem i obserwatorem maleje. Z powodu wlk. licznika i mianownika wynika, że tym razem częst. drgań odbieranych jest > od częst. drgań nadawanych c.)v_o=v_z częst. drgań odbieranych i nadawanych jest jednakowa.

2.Prędkość źródła jest zgodna z kierunkiem prędkości głosu, a więc + , natomiast prędkość obserwatora skierowana jest przeciwnie, a więc ujemna Rys.2 a zatem obowiązuje zależność

۷'=۷[(v_g+v_o)/(v_g-v_z)].W tych warunkach odległość między źródłem i obserwatorem maleje.

Częst. drgań odbieranych jest > od częst. drgań nadawanych.

3.Niech v_z będzie <0 a v_o >0 Rys.3 Odległość między źródłem i obserwatorem rośnie, a zatem obowiązuje zależność ۷'=۷[(v_g-v_o)/(v_g+v_z)]. W tym przypadku jak wiadomo ۷' jest zawsze < ۷.

4.Tym razem niech obie prędkości v_z i v_o będą skierowane przeciwnie względem prędkości głosu v_g a zatem niech obie będą ujemne. Obowiązuje zależność Rys.4 ۷'=۷[(v_g+v_o)/(v_g+v_z)]. Podobnie jak w p.1 wyróżniamy 3 możliwości a.)v_o<v_z odległość między źródłem i obserwatorem rośnie b.) v_o>v_z odległość między źródłem i obserwatorem maleje ۷'>۷ c.)v_o=v_z odległość między obserwatorem a źródłem nie ulega zmianie.

13.OMÓW ZJAWISKO TOWARZYSZĄCE ROZCHODZENIU SIĘ FAL MECHANICZNYCH KORZYSTAJĄC Z ZASADY HUYGENSA.

Rozchodzenie się fal o rozmaitych kształtach powierzchni falowych, jak również zjawiska ugięcia, odbicia i załamania fal można ujmować z punktu widzenia tzw. Zasady Huygensa. Wg tej zasady każdy punkt ośrodka, do którego dociera czoło fali staje się samozielnym źródłem wysyłającym fale kuliste cząstkowe. Powierzchnia styczna do wszystkich fal kulistych cząstkowych stanowi nowe czoło fali Rys.1 Przedstawiają właśnie w takim ujęciu rozchodzenie się falo kołowej i płaskiej Rys.2 przedstawia analogiczny sposób zjawiska ugięcia fali płaskiej na małym otworze CD. Na granicy 2 ośrodków fala ulega zazwyczaj częściowemu odbiciu, a jeśli ośrodek 2 również jest „przezroczysty” dla danego typu fali to równocześnie z odbiciem występuje załamanie. Oba zjawiska podlegają następującym prawom: 1.) Promień fali padającej, fali odbitej i normalnej wystawionej w punkcie padania leżą w jednej płaszczyźnie Rys.3 2.)Kąt padania alfa=kątowi odbicia beta. Kąt padania jest to kąt zawarty między promieniem padania AOinormalnej ON do powierzchni odbijającej wystawiona w punkcie padania. Kąt odbicia beta jest to kąt zawarty między promieniem OB. fali odbitej i normalnej ON 3.)Promień fali padającej, fali załamanej i normalna w punkcie padania leżą w 1 płaszczyźnie 4.) Prawo załamania.

---