10. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ

Przykład 10.1. [Demidenko '81 - str.10]: Wydajność pewnego procesu chemicznego y zależy od ilości substratu
, temperatury reakcji
oraz ilości katalizatora
. W eksperymencie pomiarowym zebrano dane zawarte w kolumnach 1-5 Tablicy 10.1.

Tablica 10.1

n
1	140.28	252.36	96.67	8.37	136.01	4.27
2	142.02	262.54	100.07	9.07	143.42	-1.41
3	149.90	285.70	96.78	9.35	153.90	-4.00
4	147.12	277.52	101.30	9.67	147.09	0.03
5	163.62	307.95	100.35	9.45	162.83	0.79
6	173.40	322.44	104.8	10.12	172.08	1.32
7	178.86	334.88	106.17	10.35	180.41	-1.55
8	186.26	350.11	109.20	11.03	187.42	-1.16
9	183.53	346.10	104.48	10.38	182.32	1.21
10	198.76	374.91	106.88	12.15	200.87	-2.11
11	205.30	378.49	113.14	12.98	206.83	-1.53
12	206.77	397.48	112.38	11.34	208.00	-1.23
13	198.42	378.39	109.07	10.95	198.25	0.18
14	216.48	393.44	114.45	12.89	212.69	3.79
15	221.45	403.84	115.23	13.71	220.04	1.41

Metodą najmniejszych kwadratów wyznaczono estymaty parametrów modelu liniowego:

(10.1)

o następujących wartościach:

, , , (10.2)

Estymatom tym odpowiada rozkład błędów aproksymacji przedstawiony w ostatniej kolumnie Tablicy 10.1. ♣

Przykład 10.2. [Hnsel '68 - str. 113]: Wyznaczyć zależność rezystancji y od temperatury x na podstawie wyników pomiarów zawartych w Tablicy 10.2, wiedząc, że odchylenie standardowe błędu pomiaru rezystancji wynosi .

Tablica 10.2

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
	4.9	5.7	6.5	8.1	9.7	12.1	14.5	17.7	20.9	24.9	28.9

Zakładając liniowy model zależności rezystancji od temperatury:

(10.3)

otrzymano metodą najmniejszych kwadratów estymaty parametrów:

, (10.4)

którym odpowiada rozkład błędów aproksymacji przedstawiony w Tablicy 10.3 oraz odchylenie standardowe tych błędów:

(10.5)

Tablica 10.3

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	2.91	1.31	-0.29	-1.09	-1.89	-1.89	-1.89	-1.09	-0.29	1.31	2.91
	8.47	1.72	0.08	1.19	3.57	3.57	3.57	1.19	0.08	1.72	8.47

Ponieważ wartość ta dziesięciokrotnie przekracza wartość wariancji błędu pojedynczego pomiaru rezystancji, uznano, że model liniowy jest nieadekwatny i ponowiono próbę zastosowania metody najmniejszej sumy kwadratów zakładając model postaci:

(10.6)

gdzie
. Otrzymano następujący wynik:

, , (10.7)

Estymatom tym odpowiada rozkład błędów aproksymacji przedstawiony w Tablicy 10.4 oraz odchylenie standardowe:

(10.8)

Tablica 10.4

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	-6	12	-9	10	-11	9	-11	10	-9	12	-6
	0.36	1.44	0.81	1.00	1.21	0.81	1.21	1.00	0.81	1.44	0.36

Ponieważ uznano, że model (10.6) jest wystarczająco dokładny. ♣

Przykład 10.3. [Taylor '95 - str.185]: Wiele populacji (ludzi, bakterii, jąder promieniotwórczych itp.) wykazuje tendencję do wykładniczego zmniejszania się w czasie, co modeluje się równaniem:

(10.9)

gdzie
jest średnim czasem życia (ściśle powiązanym z okresem połowicznego rozpadu ). Pewien biolog podejrzewający, że populacja bakterii maleje wykładniczo, badał ją w ciągu trzech kolejnych dni, otrzymując wyniki przedstawione w pierwszych trzech kolumnach Tablicy 10.5. Jakie jest najlepsze przybliżenie średniego czasu życia
oparte na przedstawionych wynikach?

Tablica 10.5

n	czas (dni)	populacja
1	0	153000	11.94
2	1	137000	11.83
3	2	128000	11.76

Jeśli K zmienia się zgodnie z równaniem (10.9), to zmienna zależy liniowo od t:

(10.10)

Biolog obliczył więc trzy wartości przedstawione w czwartej kolumnie Tablicy 10.5, a następnie - stosuje metodę najmniejszych kwadratów - wyznaczył estymaty parametrów :

(10.11)

Na podstawie drugiej z tych estymat obliczył najlepsze przybliżenie średniego czasu życia:

(10.12)

Opisana metoda jest prosta i często stosowana, ale nie w pełni uzasadniona; opiera się bowiem na założeniu, że wartości obarczone są jednakowymi błędami, co nie jest prawdą, jeśli zmierzone wartości są jednakowo niepewne. Ze wzoru na przenoszenie błędu wynika wszak, iż:

(10.13)

Dane nie spełniają zatem założenia stałej niepewności dla wszystkich pomiarów, nawet jeśli wyniki pomiarów to założenie spełniają. Łatwo można przezwyciężyć tę trudność, posługując się opisaną w § 5.4 metodą ważonych najmniejszych kwadratów, polegającą na minimalizacji funkcjonału:

(10.15)

gdzie . W praktyce często nie można być pewnym, że niepewności danych pomiarowych są jednakowe; można więc argumentować, że równie dobrze można założyć równość wszystkich niepewności danych wtórnych i skorzystać z najprostszej wersji metody najmniejszych kwadratów. Często niepewności niewiele się różnią i to, z której metody skorzystamy, nie ma istotnego wpływu na wyniki (tak było w opisanym powyżej przykładzie). ♣

10-3

---