T-5. Profil popytu - rozkłady częstości występowania

Szereg czasowy popytu - w formie liczbowej czy też graficznej - niesie z pewnością wiele informacji, przede wszystkim o charakterze zmian popytu w czasie. Jednak dla oceny niepewności, a także charakteru zmian losowych popytu, konieczne jest przedstawienie tych danych w innej formie ukazującej rozkład częstości występowania popytu (lub rozkład błędów prognoz). Profil popytu to graficzna prezentacja rozkładu częstości występowania różnych wartości popytu rozpatrywanego dobra. Pokazuje, ile razy lub jak często pojawiały śle w rozpatrywanym okresie różne wielkości popytu.

Z tego tematu dowiemy się między innymi:

• co to jest profil popytu i do czego służy,

• jak zbudować profil popytu na podstawie szeregu czasowego,

• jakimi parametrami opisujemy rozkłady popytu,

• jakie są dwie podstawowe funkcje rozkładu,

• czym charakteryzują się i gdzie znajdują zastosowanie trzy podstawowe rozkłady.

1. Popyt jako zmienna losowa

Mówiliśmy już o tym, że popyt - obok przewidywalnych zmian, takich jak trendy i sezo­nowość - wykazuje zmiany losowe. Nie da się przewidzieć wielkości popytu wynikających i tych zmian, trzeba jednak umieć mierzyć i oceniać te zmiany. Wprowadzimy teraz pojęcie zmiennej losowej, bowiem popyt jest właśnie przykładem takiej zmiennej.

W temacie 2 wprowadziliśmy pojęcie prawdopodobieństwa i klasyczny wzór na jego obliczanie ( p(A) =
^A), a w przykładzie 1 obliczyliśmy przykładowe prawdopodobieństwo wybra­nego zdarzenia losowego.

Zmienna losowa to zmienna, która przyjmuje określone wartości z pewnym znanym prawdopodobieństwem.

Przykład 1

Rozpatrzmy zmienną losową będącą sumą oczek wyrzucanych przy równoczesnym rzucie dwiema kostkami. Oto wszystkie możliwe wyniki tego prostego doświadczenia:

Liczba oczek na pierwszej kostce		1	2	3	4	5	6
Liczba oczek na drugiej kostce	1	2	3	4	5	6	7
		2	3	4	5	6	7	8
		3	4	5	6	7	8	9
		4	5	6	7	8	9	10
		5	6	7	8	9	10	11
		6	7	8	9	10	11	12
		Suma oczek na obu kostkach

Zmienna losowa (suma oczek na obu kostkach) przyjmuje następujące wartości:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 i 12.

Jak widać, występują one różną ilość razy:

2 - 1 raz,

3 - 2 razy,

4 - 3 razy,

5 - 4 razy,

6 - 5 razy,

7 - 6 razy,

8 - 5 razy,

9 - 4 razy,

10 - 3 razy,

11 - 2 razy,

12 - 1 raz.

Wszystkich możliwych wyników jest 36.

Odwołując się do wzoru p(A) =
^A , możemy obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania z możliwych sum oczek (od 2 do 12). Dla przykładu, prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie równa 10 wynosi:

p(suma = 10) =
=

Przy czym: n₁₀ jest liczbą zdarzeń, w których suma oczek jest równa 10; n₁₀ = 3(„4+6”, „5+5", „6+4"), a N jest liczbą wszystkich możliwych wyników.

Jeżeli w ten sam sposób obliczymy prawdopodobieństwa otrzymania wszystkich możliwych sum oczek, otrzymamy rozkład prawdopodobieństwa rozpatrywanej zmiennej losowej;

Wartości zmiennej losowej (suma oczek)	Prawdopodobieństwo wystąpienia danej wartości zmiennej losowej
2	1/36 = 0,0278
3	2/36 = 0,0556
4	3/36 = 0,0833
5	4/36 = 0,1111
6	5/36 = 0,1389
7	6/36 = 0,1667
8	5/36 = 0,1389
9	4/36 = 0,1111
10	3/36 = 0,0833
11	2/36 = 0,0556
12	1/36 = 0,0278
Suma prawdopodobieństw	1,0000

Zauważcie, że suma wszystkich prawdopodobieństw jest równa 1. To bardzo ważne, gdyby była mniejsza od jedności, oznaczałoby to, że gdzieś „zgubiliśmy" jakąś wartość zmiennej losowej.

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, w skrócie rozkład zmiennej losowej, jest punktem wyjścia do wielu dalszych ważnych analiz. Ale wprowadzimy je później, w dal­szych częściach, już na przykładach związanych z popytem. Popyt jest bowiem także przy­kładem zmiennej losowej. Może przyjmować różne wartości, z różnym prawdopodobień­stwem.

2. Tworzenie profilu popytu

Rozpatrzymy w tym zagadnieniu kilka przykładów, bo w ten sposób łatwiej będzie przedstawić zasady tworzenia profili i pożytek płynący z ich znajomości. W tym celu zajrzymy znowu do sklepu pana Marka i skorzystamy z kilku zrobionych przez niego analiz.

Przykład 2

Zacznijmy od dżemu truskawkowego. Pamiętamy, że ten produkt cieszy się zasłużoną popularnością wśród klientów pana Marka, który sprzedał w minionym roku 2228 słoików tego specjału. Wybieramy akurat ten produkt, bo wyróżnia się on stacjonarnością popytu przy stosunkowo niedużych jego wahaniach.

Rysunek 1 przedstawia przykładowy przebieg zmian popytu dla jednego kwartału. To lewa część rysunku. Diagram po prawej stronie pokazuje, ile razy, a w konsekwencji jak często pojawiał się w badanym okresie popyt o danej wartości. Ten diagram ilustruje profil popytu. Przedstawia go jeszcze raz - tym razem jest on obrócony o 90° - rysunek 2. Można z niego odczytać, ile razy w rozpatrywanym kwartale pojawiła się dana wielkość popytu, ale również - i to niesie informację bardziej ogólną - jak często pojawiała się dana wielkość popytu.

Z rysunków 1 i 2 odczytamy, że - na przykład - popyt dzienny równy 5 s wystąpił w badanym kwartale 8 razy (pan Marek zanotował 8 dni o takim właśnie popy, na dżem truskawkowy), co odpowiada częstości występowania równej 8/78 ≈ 0,10. Oznacza to, że popyt równy 8 słoików występował w ok. 10% dni kwartału.

Rysunek 1. Zasada tworzenia profilu popytu

Rysunek 2. Profil popytu dziennego dżemu truskawkowego

Przykład 3

Jak będzie wyglądał profil popytu na luksusową kawę, przedstawiony także w temacie 3?

Tu sprawa jest prosta. W rozpatrywanym okresie (312 dni handlowych) popyt jednostkowy zarejestrowano w 24 dniach. Zatem częstość występowania popytu P = 1 wynosi:

f(P=1) = 24 / 312 = 0,077

Pozostałe dni to brak popytu (P = 0):

f(P=0) = 0,923.

Interpretacja graficzna tego rozkładu jest równie prosta (rys. 3).

Zatem popyt na kawę równy jednemu opakowaniu dziennie pojawia się z częstością 0,077, a popyt „zerowy", czyli po prostu brak popytu, z częstością 0,923. Można to zinterpretować następująco: średnio - na 1000 dni - w 923 dniach nie odnotujemy popytu, a w 77 dniach wystąpi popyt jednostkowy (popyt na jedno opakowanie kawy).

Rysunek 3. Rozkład częstości występowania różnych wartości popytu na luksusową kawę

3. Różne postacie profilu popytu

Profile popytu mogą mieć różną postać. Poniżej przedstawiono kilka przykładowych przebiegów produktów będących w asortymencie sklepu pana Marka. Rysunek 4 przedstawia popyt dzienny i jego rozkład (profil) dla bułek, a rysunek 5 dla oliwy.

Przyjrzyjmy się profilowi popytu na bułki. Mamy tu do czynienia z odmienną niż w przypadku dżemu zasadą zliczania częstości występowania poszczególnych wartości popytu. Przyczyną jest głównie fakt, że mamy tu do czynienia z większymi wartościami popytu, który i; w przedziale od 77 do 173 sztuk dziennie. Liczymy nie liczność i częstość pojawiania się określonej wartości popytu, ale liczność (częstość) wystąpienia popytu w pewnych przedziałach.

Z tak zbudowanego profilu (określanego też w literaturze jako histogram) można odczytać, że - na przykład - popyt dzienny większy od 90, a nie większy niż 100 bułek wystąpił w badanym okresie z częstością ok. 0,10.

4. Jak opisać profil popytu - wartość średnia i odchylenie standardowe

Zmiany losowe popytu, ilustrowane zmianami w czasie i profilem popytu, można w najprostszym ujęciu opisać dwoma parametrami: wartością średnią i odchyleniem standardowym.

Wartość średnią (oczekiwaną)
dla zbioru rozpatrywanych wartości {P₁, P₂, ..., P_n} obliczamy ze wzoru:

=

a odchylenie standardowe σ_p (a właściwie jego oszacowanie) z formuły

σ_p =

gdzie:

n - liczba okresów, dla których przeprowadzona jest ocena,

P₁ - rzeczywisty popyt odnotowany w okresie „1”,

P₂ - rzeczywisty popyt odnotowany w okresie „2”,

P_n - rzeczywisty popyt odnotowany w okresie „n”,

5. Rozkłady teoretyczne częstości występowania popytu

Wcześniejsze rozważania służyły wyjaśnieniu pewnych zależności i przedstawieniu ogól­nych zasad prowadzenia analiz. Trudno sobie jednak wyobrazić, aby były skuteczne w prak­tyce, szczególnie wtedy, gdy przychodzi zarządzać kilkoma, kilkunastoma czy nawet kilku­dziesięcioma tysiącami pozycji. Systemy informatyczne wspomagające te działania muszą działać według jednolitych algorytmów i standardowych funkcji. Takimi standardowymi funkcjami są też rozkłady zmiennej losowej. W analizie popytu będziemy stosowali trzy podstawowe rozkłady modelowe:

- rozkład normalny - stosowany przede wszystkim do opisu popytu na dobra szybko rotujące (najczęściej z grupy X i Y),

• rozkład Poissona - stosowane do opisu popytu pozycji wolniej rolujących (grupy Y l Z),

• rozkład wykładniczy, stosowany do opisu popytu na dobra wolno rotujące (zazwyczaj z grupy Z).

Rozkłady te wyróżniają się związkami pomiędzy podstawowymi parametrami - wartością średnią i odchyleniem standardowym:

Rozkład normalny	Nie ma określonej zależności pomiędzy a σp, jednak w praktyce odchylenie standardowe nie powinno przekraczać wartości średniej (czyli powinno zachodzić vp < 1 ). W przeciwnym przypadku - bez dodatkowych przekształceń - zwiększamy błąd oceny.
Rozkład Poissona	Zachodzi ≈
Rozkład wykładniczy	Zachodzi ≈ σp

Dla praktycznego wykorzystania rozkładów konieczna jest znajomość i właściwa interpretacja dwóch funkcji:

• funkcji prawdopodobieństwa (funkcja gęstości prawdopodobieństwa) - z niej dowiemy się, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia rozpatrywanej wartości zmiennej (w naszym przypadku popytu),

• funkcji skumulowanego prawdopodobieństwa - mówi o tym, jakie jest prawdopodobieństwo, że zmienna (popyt) nie przekroczy rozpatrywanej wartości.

6. Rozkład normalny

Rozkład normalny jako rozkład opisujący losowe zmiany popytu będzie dobrze przed­stawiał popyt dóbr szybko rotujących, wydawanych regularnie i w dużych ilościach, w wyni­ku zapotrzebowania zgłaszanego przez wielu odbiorców.

Typowy przebieg funkcji gęstości prawdopodobieństwa (a więc funkcji, z której możemy odczytać, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia danej wartości popytu) przedstawiono na rysunku 5. Przyjęto tam - wyłącznie dla ilustracji - wartość średnią równą 100 i trzy różne odchylenia standardowe: 10, 20, 30. Widać wyraźnie, że im większe odchylenie standardowe w stosunku do wartości średniej, czyli im większy współczynnik zmienności (tu v_p = 0,1; 0,2 i odpowiednio 0,3), tym większa niepewność co do rzeczywistego popytu. Odpowiadające przyjętym wartościom przebiegi funkcji prawdopodobieństwa skumulowanego pokazuje rysunek 6.

Rysunek 5. Przykładowe przebiegi funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla różnych wartości współczynnika zmienności

Rysunek 6. Przykładowe przebiegi funkcji skumulowanego prawdopodobieństwa dla różnych wartości współczynnika zmienności

Zwróćmy teraz uwagę na bardzo ważną cechę funkcji skumulowanego prawdopodobieństwa rozkładu normalnego. Na rysunku 7, który jest powiększeniem fragmentu rysunku 6, widać, że wartość skumulowanego prawdopodobieństwa dla wszystkich trzech badanych rozkładów jest taka sama, jeśli rozpatrywana wartość popytu jest równa sumie: średniej i jednego odchylenia standardowego. Gdybyśmy powtórzyli to dla różnych wielkości odchylenia standardowego (niekoniecznie całkowitych wielokrotności), otrzymalibyśmy także identyczne wartości skumulowanego prawdopodobieństwa, niezależnie od wartości średniej i wartości odchylenia standardowego. Można z tego wyciągnąć wniosek, że w przypadku gdy popyt podlega rozkładowi normalnemu, prawdopodobieństwo nieprzekroczenia pewnej wartości popytu w przyjętej jednostce czasu zależy wyłącznie od tego, o ile odchyleń standardowych ta rozpatrywana wartość popytu jest oddalona od wartości średniej. To bardzo ważna cecha rozkładu normalnego, która pozwala na jego standaryzację i znaczne uproszczenie rachunków. Przyda się nam ta cecha także w gospodarce zapasami.

Rysunek 7. Ilustracja wartości rozkładu normalnego, polegającej na tym, że skumulowane prawdopodobieństwo zależy od wartości mierzonej odległością od średniej wyrażonej liczbą odchyleń standardowych.

Jak wykorzystać praktycznie rozkład normalny w zarządzaniu zapasami? Pierwszym krokiem jest ustalenie, czy rozkład częstości występowania zaobserwowany dla rozpatrywanego produktu (materiału) można takim rozkładem opisać. Istnieje szereg testów statystycznych mogących wspomóc taką analizę. Przyjmijmy jednak, że warunki, które będziemy tu badać, to:

- szybkość rotacji - rozkład normalny będzie dobrze opisywał pozycje szybko rotujące,

- „losowość" danych historycznych - czy dane, które przyjmujemy do oceny profilu zostały „oczyszczone" z trendów i sezonowości,

- umiarkowana zmienność.

7. Rozkład Poissona

Dla wolniej rotujących pozycji bardziej właściwe będą rozkłady: Poissona i wykładniczy. W tym punkcie omówimy rozkład Poissona.

Teoria mówi, że znajduje on zastosowanie wszędzie tam, gdzie mamy do czynienia z dużą liczbą prób, ale bardzo małym prawdopodobieństwem powodzenia (sukcesu). Powoduje to, że i wartość oczekiwana nie jest duża. Właśnie taka sytuacja występuje w sklepie pana Marka w przypadku drogiej, luksusowej kawy. Klientów dużo, ale prawdopodobieństwo, że wchodzący właśnie do sklepu klient zechce nabyć ten właśnie produkt - jest bardzo, bardzo małe. Wszak pan Marek sprzedał w okresie roku zaledwie 24 sztuki.

Prawdopodobieństwo, że popyt w danym przedziale czasu (na przykład w danym dniu) będzie równy x, wynosi:

gdzie:

P - jest wartością średnią rozkładu,

e - podstawą logarytmu naturalnego,

x! - jest zapisem funkcji „silnia": x! = 1 • 2 • 3 • ... • (x- 1)

Jest to funkcja gęstości prawdopodobieństwa tego rozkładu.

Cechą charakterystyczną tego rozkładu jest to, że zachodzi: P =
. Charakter przebiegu funkcji gęstości prawdopodobieństwa zależy od wartości średniej. Ilustruje to rysunek 8.

Rysunek 8. Różne przebiegi gęstości prawdopodobieństwa zgodnego z rozkładem Poissona, dla różnych wartości średnich P

Dla praktycznych zastosowań przyjmijmy, że zastosujemy do opisu rozkładu popytu rozkład Poissona, jeśli:

• mamy do czynienia z towarami/materiałami „rzadko" wydawanymi,

• stwierdzamy, że średnia wartość popytu (w odniesieniu do przyjętej jednostki czasu) P jest równa w przybliżeniu kwadratowi odchylenia standardowego
  ≈
  

8. Rozkład wykładniczy

W pewnych sytuacjach dla wolno ratujących pozycji o małych wartościach popytu, szczególnie przy licznym występowaniu okresów z „zerowym" popytem, stwierdzamy, że popyt średni i odchylenie standardowe nie spełniają warunku rozkładu Possiona (
≈
), a raczej
≈ σ_p (czyli v_p ≈ 1). W takim przypadku możemy oczekiwać, że rozkład częstości występowania popytu jest zgodny z rozkładem wykładniczym. Rysunek 9 przedstawia typowy przebieg funkcji gęstości rozkładu wykładniczego dla średniej
=2 .

Rysunek 9. Przykładowy, typowy przebieg funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu wykładniczego

9. Dlaczego ważne jest, aby profil uwzględniał wyłącznie zmiany losowe?

Jeżeli chcemy wykorzystać profil popytu do wnioskowania o potrzebach odnośnie zapasu zabezpieczającego i poziomu obsługi (będzie to przedmiotem rozważań w następnych tematach), musimy mieć pewność, że reprezentuje on wyłącznie losowe zmiany popytu. Profil popytu (właśnie w ujęciu zmian losowych) powinien być zbieżny z rozkładem błędów prognozy, który też musi być sprowadzony do błędów losowych.

12

Rysunek 4. Rozkład występowania różnych wartości popytu na bułki

---