1. Zasady zaliczenia ćwiczeń:
-dwa sprawdziany po 5 punktów:
10p  bdb
9p  pdb
8p  db
7p  ddb
6p  dst
<6p brak zaliczenia ćwiczeń.
Każdy sprawdzian można raz poprawić.
2. Zasady zaliczenia projektów ustalają prowadzący projekty
3. Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest zaliczenie
ćwiczeń i projektów
4. Osoby, które przed końcem semestru uzyskają z ćwiczeń i projektów
oceny co najmniej dobre zostają zwolnione z egzaminu
Energia sprężysta
Podstawowe założenia i pojęcia:
" układ termodynamiczny (ciało złożone z punktów materialnych)
znajduje się w równowadze termodynamicznej, jeśli przy braku wymiany ciepła między
układem a otoczeniem i przy braku wykonywania pracy mechanicznej nad układem
parametry zewnętrzne układu (siły zewnętrzne, natężenie pola, temperatura,
wilgotność) oraz parametry wewnętrzne układu (gęstość, skład chemiczny, naprężenia,
odkształcenia) są niezależne od czasu (nie ulegają zmianie)
równowaga mechaniczna układu fizycznego (brak niezrównoważonych sił)
równowaga chemiczna (stałość masy i składu chemicznego)
równowaga cieplna
parametry zewnętrzne i wewnętrzne opisujące bieżący stan układu termodynamicznego to
zmienne stanu
funkcje stanu  funkcje zmiennych stanu (zależą tylko od bieżącego stanu układu, a nie
zależą od sposobu osiągnięcia tego stanu)
" procesy termodynamiczne  przejście od jednego stanu układu termodynamicznego do
drugiego
" procesy adiabatyczne - nie zachodzi wymiana ciepła między ciałem i jego otoczeniem,
a praca sił zewnętrznych przy przejściu układu fizycznego
z jednego stanu do drugiego nie zależy od sposobu przejścia
" istnieje funkcja stanu nazywana energią wewnętrzną, której przyrost jest równy pracy
dostarczonej do układu
Pierwsza zasada termodynamiki (procesy adiabatyczne):
&� &�
L =� W
&�
&�
W
Prędkość zmian energii wewnętrznej układu w jednostce czasu jest równa pracy L
wykonanej przez obciążenia zewnętrzne w tej jednostce czasu
zmiana energii kinetycznej
&� &� &�
W =� Wp +�Wk
zmiana energii potencjalnej
&�
dla obciążeń statycznych (bardzo wolno zmiennych w czasie):
Wk =� 0
&� &� &� &�
L =� W =�Wp =� U
U - energia sprężysta - wewnętrzna energia potencjalna, równa pracy sił wewnętrznych
na odkształceniach przez nie wywołanych
Energia sprężysta jest odwracalna, tzn. po usunięciu sił obciążających zużywa się na
odzyskanie początkowej konfiguracji ciała.
W stanie nie naprężonym i nie odkształconym energia sprężysta jest równa zero.
Gęstość energii sprężystej (energia właściwa) F - ilość energii sprężystej
w jednostce objętości
U =� FdV
������
V
ENERGIA SPR
ŻYSTA CIAA
A HOOKE A
s�
1. Rozciąganie (ściskanie)
N s� N
x
s� =� , e�x =� =�
x
A E EA
F
e�
dF =� s� de�x
x
2
e�
x
1 1 N
F =�
��s� de�x =� s� e�x =�
x x
2 2 EA2
0
l l
2 2 2
1 N 1 N 1 N
Ur =� dV =� dA)dx =� dx
������ ��(���� ��
2 EA2 2 EA2 2 EA
V 0 A 0
2. Skręcanie (pręty kołowe):
ds
Ms t�s Ms
t�s =� r, g� =� =� r da�
I0 G GI0
dF =�t�sdg�
r
dr
2
1 1 t�
dx
s
F =� t� g� =�
s
2 2 G
l l 2P�R
2
2
1 1 t� 1 t�
s s
Us =� t� g�dV =� dA)dx =� rdrda�)dx =�
s
������ ��(���� ��( ����
2 2 G 2 G
V 0 A 0 0 0
l 2P�R l l
2 2 2
M M M
1 1 1
s s s
r3drda�dx =� I0dx =� dx
2 2
�� ���� �� ��
2 I0 G 2 I0 G 2 GI0
0 0 0 0 0
3. Zginanie (z pominięciem wpływu ścinania):
M M
s�
g g
x
s� =� z, e�x =� =� z
x
I E EI
y y
1
F =� s� e�x
x
2
2 2 2
l l
M M M
1 1 1
g g g
U =� z2dV =� ( z2dA)dx =� dx
g
2 2
������ �� ���� ��
2 2 2 EI
EI EI
y
y y
V 0 A 0
2
l
1 N
Energia rozciągania (ściskania):
Ur =� dx
��
2 EA
0
2
l
1 Ms
Energia skręcania:
Us =� dx
��
2 GI0
0
2
l
M
1
g
Energia zginania:
Ug =� dx
��
2 EI
0
y
przyrost pracy sił zewnętrznych:
siły powierzchniowe
&�
qi =� s�ija�j (stat. war. brzegowe)
&� &�
L =� qiuidS +� XiuidV
���� ������
S V
siły masowe
&�
&� &�
L =� s�ija�juidS +� XiuidV tw. Greena-Gaussa-Ostrogradskiego
���� ������
S V
ś�
&�
&� &�
L =� (s�ijui )dV +� XiuidV
������ ������
ś�x
V V
j
&�
&� &�
L =� [�(s�ij, j +� Xi )ui +�s�ijui, j]�dV (r. Naviera)
s�ij, j +� Xi =� 0
������
V
1
&�
&�
L =� s�ijui, jdV
&� &� &�
������ (ui, j +� u ) =� e�ij (r. geometryczne)
j,i
V
2
&�
&�
L =� s�ije�ijdV
������
V
równanie stanu
mechanicznego
&� &�
&� &� &�
L =� qiuidS +� XiuidV =� s�ije�ijdV =� U
���� ������ ������ wiąże zmienne stanu
S V V
mechanicznego zewnętrzne
i wewnętrzne
rozkład macierzy na dewiator (D) i aksjator (A):
Te� =� De� +� Ae� Ts� =� Ds� +� As�
e�11 -�e�m e�12 e�13 s�11 -�s� s�12 s�13
�� ł� �� ł�
m
ę� ę� ś�
De� =� e�12 e�22 -�e�m e�23 ś� Ds� =� s�12 s� -�s� s�
22 m 23
ę� ś� ę� ś�
ę� ś� ę� ś�
e�13 e�23 e�33 -�e�m �� s�13 s� s� -�s�
23 33 m
�� �� ��
e�m 0 0 s� 0 0
�� ł� �� ł�
m
ę� ś� ę� ś�
Ae� =� 0 e�m 0 As� =� 0 s� 0
m
ę� ś� ę� ś�
ę� ś� ę� ś�
0 0 e�m �� 0 0 s�
m
�� �� ��
1 1 1 1 1 1
e�m =� (e�11 +� e�22 +� e�33) =� e�ii =� I1e� s�m =� (s�11 +�s�22 +�s�33) =� s�ii =� I1s�
3 3 3 3 3 3
1. aksjator macierzy odkształceń opisuje całą zmianę objętości, nie opisuje zaś
zmiany postaci
2. dewiator macierzy odkształceń opisuje całą zmianę postaci, nie opisuje zaś
zmiany objętości
" prawo zmiany objętości:
As� =� 3KAe�
" prawo zmiany postaci:
Ds� =� 2GDe�
przyrost energii sprężystej:
&� &�
&�
U =� s�ije�ijdV =������� Ts� Te�dV
������
V V
&� &� &� &� &� &� &�
U =� (As� +� Ds� )(Ae� +�De� )dV =� (As� Ae� +� As� De� +� Ds� Ae� +� Ds� De� )dV
������ ������
V V
&� &� &�
U =� (As� Ae� +� Ds� De� )dV
������
V
energia sprężysta ciała Hooke a:
As� =� 3KAe� Ds� =� 2GDe�
&� &� &� &�
As� =� 3KAe� Ds� =� 2GDe�
+ całkowanie po czasie
1 1
U =� (As� Ae� )dV +� (Ds� De� )dV
������ ������
2 2
V V
1 1 1 1
U =� (As� As� )dV +� (Ds� Ds� )dV
������ ������
2 3K 2 2G
V V
1
As� Ae� =� FV - gęstość energii odkształcenia objętościowego
2
1
Ds� De� =� F
- gęstość energii odkształcenia postaciowego
f
2
1 1
U =� FV dV +� F dV =� FdV
������ ������ ������
f
2 2
V V V
Podstawowe twierdzenia o energii
sprężystej
I. Praca sił uogólnionych
siła uogólniona F - siła lub moment
przemieszczenie uogólnione u - droga (liniowa lub kątowa)
na której siła uogólniona wykonuje
pracę
dL =� Fdu
elementarna praca siły uogólnionej:
1
całkowita praca siły uogólnionej: L =� Fdu =� Fu
��
2
Założenie: rozważamy układ Clapeyrona (układ liniowo-sprężysty), tzn. układ,
w którym uogólnione przemieszczenia są liniowymi funkcjami
uogólnionych sił
1
u =� cF , F =� u =� ku
c
sztywność
podatność
L =� Fdu
całkowita praca siły uogólnionej: 1)
��
1
= U
2) L =� kudu =� ku2
��
2
1
2
3)
L =� cFdF =� cF
��
2
przypadek ogólny: na układ liniowo-sprężysty działa
n uogólnionych sił
Fj, j =� 1,2,...,n
układ liniowo-sprężysty => można stosować zasadę superpozycji
n n
��u =� c11F1 +� c12F2 +� ....+� c1nFn =� �� c1 Fj ��F =� k11u1 +� k12u2 +� ....+� k1nun =� �� k1 u
1 j j
1 j
��
��
j=�1
j=�1
��
��
n
n
��F2 =� k21u1 +� k22u2 +� ....+� k2nun =� ��k2 ju j
��u2 =� c21F1 +� c22F2 +� ....+� c2nFn =� ��c2 jFj
��
��
j=�1
j=�1
��
��
��M�
��M�
��
��
n
n
��Fn =� kn1u1 +� kn2u2 +� ....+� knnun =� �� knju j
��un =� cn1F1 +� cn2F2 +� ....+� cnnFn =� ��cnjFj
��
�� j=�1
��
j=�1
��
n n n
ui=� cijFj =� uij, Fi =� kijuj
�� �� ��
j=�1 j=�1 j=�1
ui - przemieszczenie uogólnione w miejscu  i wywołane działaniem wszystkich
sił uogólnionych
Fj, j =� 1,2,...,n
uij - przemieszczenie uogólnione w miejscu  i wywołane działaniem jednej siły
Fj
cij - przemieszczenie uogólnione w miejscu  i wywołane działaniem
jednostkowej siły w miejscu  j
praca układu n sił uogólnionych:
n n n n n
1 1 1
Lz =� Fiui =� U =� cijFiFj =� kijuiuj
�� �� �� �� ��
wzór Clapeyrona
2 i=�1 2i=�1 j=�1 2 i=�1 j=�1
II. Twierdzenie Bettiego
faza I
1
LIz =� F1u11
2
u11
u21
faza II
1
LII =� F1u12 +� F2u22
z
2
u22
całkowita praca:
1 1
u12
Lz =� LIz +� LII =� F1u11 +� F2u22 +� F1u12
z
2 2
faza I
1
LIz =� F2u22
2
u12
u22
faza II
1
LII =� F1u11 +� F2u21
z
2
całkowita praca:
u21
u11
1 1
Lz =� LIz +� LII =� F1u11 +� F2u22 +� F2u21
z
2 2
proces adiabatyczny => praca wykonana przy przejściu z jednego stanu do drugiego
nie zależy od sposobu przejścia
1 1 1 1
F1u11 +� F2u22 +� F1u12 =� F1u11 +� F2u22 +� F2u21
2 2 2 2
F1u12 =� F2u21
Twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac):
praca sił uogólnionych jednego układu na odpowiadających im przemieszczeniach
uogólnionych wywołanych drugim układem jest równa pracy sił uogólnionych
drugiego układu na odpowiadających im przemieszczeniach wywołanych przez
układ pierwszy
III. Twierdzenie Maxwella
z twierdzenia Bettiego =>
Fiuij =� Fjuji
uij=� cijFj, u =� cjiFi
ji
FicijFj =� FjcjiFi
cij =� cji
Twierdzenie Maxwella (o wzajemności przemieszczeń):
przemieszczenie cij w miejscu i kierunku działania siły uogólnionej Fi wywołane
jednostkową siłą uogólnioną Fj, jest równe przemieszczeniu cji w miejscu i kierunku
działania siły Fj, wywołanemu siłą jednostkową Fi.
IV. Twierdzenie Castigliano
twierdzenie Eulera: jeśli F(x1,x2,...,xn) jest funkcją jednorodną
m-tego stopnia, to dla tej funkcji zachodzi:
ś�F ś�F ś�F
mF(x1, x2,...,xn ) =� x1 +� x2 +�...+� xn
ś�x1 ś�x2 ś�xn
n n n n
1 1
U =� cijFiFj =� kijuiuj
wzór Clapeyrona:
�� �� �� ��
2 i=�1 j=�1 2 i=�1 j=�1
n n n
1 ś�U ś�U ś�U ś�U
2 Fiui =� F1 +� F2 +�...+� Fn �� Fiui =� Fi
�� �� ��
2 i=�1 ś�F1 ś�F2 ś�Fn i=�1 i=�1 ś�Fi
ś�U
ś�U
Fi =�
ui =�
ś�ui
ś�Fi
ś�U
ś�U
Fi =�
ui =�
ś�ui
ś�Fi
Twierdzenie Castigliano:
Pochodna cząstkowa całkowitej energii sprężystej układu Clapeyrona względem
dowolnej niezależnej siły uogólnionej jest równa przemieszczeniu uogólnionemu
w miejscu i na kierunku działania tej siły.
Pochodna cząstkowa całkowitej energii sprężystej układu Clapeyrona po dowolnym
przemieszczeniu uogólnionym jest równa sile uogólnionej przyłożonej w miejscu i
na kierunku tego przemieszczenia.
IV. Twierdzenie Menabrei
Hi- reakcja hiperstatyczna
ś�U
=� 0
ś�Hi
Twierdzenie Menabrei:
Pochodna cząstkowa całkowitej energii sprężystej układu Clapeyrona względem
uogólnionej siły hiperstatycznej jest równa zero.