Zadanie 19
Ładunek q jest rozłożony równomiernie wewnątrz nieprzewodzącej kuli o promieniu R . Wykazać że potencjał w odległości r od środka kuli (r < R) wyraża się następującym równaniem :
wyjściowe równania :
we współrzędnych sferycznych :
odnosząc to do obszaru I I :
mnożąc przez oraz :
całkując prawą stronę równania :
mnożąc przez :
całkując :
założenie :
wobec czego :
dla obszaru I I :
całkując prawą stronę :
całkując :
bo kiedy to a dla r = 0 ma skończoną wartość .
ostatecznie :
korzystając z ciągłości potencjału :
podstawiając R :
wracając do naszego równania :
ostatecznie :
po uproszczeniu i sprowadzeniu do wspólnego mianownika :
ostatecznie :