WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji

RACHUNEK WYRÓWNAWCZY

Sprawozdanie z ćwiczenia

WYRÓWNANIE SIECI NIWELACYJNEJ

Sieć nr 1000.

prowadzący: wykonał:

dr inż. Krzysztof Kroszczyński Paweł Gaweł. Grupa WIG-20c paweł[e-mail]

1. Wstęp teoretyczny

1.1. Sieć niwelacyjna

Definicja niwelacji

Pomiary wysokości punktów budowli, elementów uzbrojenia terenu, reperów, jak również charakterystycznych punktów ukształtowania terenu ponad poziomem morza, są nazywane niwelacją. Umownym poziomem odniesienia dla Polski jest średni poziom Morza Bałtyckiego w Kronsztadzie (Zatoka Fińska). Pomiary wysokościowe są przeprowadzane za pomocą niwelatorów, natomiast jednoczesne pomiary sytuacyjne i wysokościowe za pomocą tachimetrów i odbiorników GPS.

…………………………………………………………………………………………………………………

Siecią niwelacyjną nazywamy zbiór punktów geodezyjnych, (wśród których jest przynajmniej jeden punkt o znanej wysokości), w którym dla wyznaczenia wysokości p punktów wykorzystano więcej niż p ciągów niwelacyjnych charakteryzujących wzajemne położenie wysokościowe tych punktów.

W celu wyrównania sieci niwelacyjnej wykonujemy następujące czynności:

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………….

2. Dane wejściowe

(Skopiować ze zbioru /dane/ niwelacja_numersieci.txt)

lp j k dh_g dh_p L

1 2 1 2.628 2.623 0.46

2 3 2 -2.589 -2.584 0.46

3 4 1 2.320 2.315 0.32

4 1 5 -1.133 -1.136 0.50

5 5 2 -1.497 -1.494 0.34

6 3 5 -1.089 -1.086 0.53

7 6 3 1.501 1.505 0.29

8 5 4 -1.186 -1.182 0.53

9 6 5 0.409 0.415 0.56

10 7 4 -2.502 -2.507 0.39

11 5 7 1.314 1.315 0.53

12 8 5 -0.031 -0.028 0.34

13 5 9 -0.893 -0.888 0.65

14 9 6 0.483 0.478 0.40

15 8 7 1.282 1.283 0.45

16 9 8 0.923 0.918 0.40

17 9 3 1.982 1.977 0.68

18 7 1 -0.183 -0.189 0.65

19 10 1 2.319 2.324 0.41

20 11 10 -1.187 -1.184 0.31

21 1 11 -1.133 -1.137 0.59

22 11 2 -1.497 -1.493 0.31

23 3 11 -1.088 -1.094 0.63

24 12 11 0.409 0.405 0.48

25 12 3 1.501 1.498 0.42

lp x y ps

1 853.510 226.370 0

2 933.980 682.540 0

3 818.520 1127.300 0

4 552.620 123.730 0

5 594.600 651.180 0

6 535.130 1204.280 1

7 206.250 297.650 1

8 269.230 739.560 0

9 143.270 1121.600 0

10 1238.370 360.370 1

11 1241.870 665.430 0

12 1241.870 1144.400 0

numery punktów dowiązania

6 7 10

wysokości punktów dowiązania

98.453 100.186 97.679

macierz błędu punktów dowiązania

1.559 -0.651 -0.023

-0.651 1.773 0.044

-0.023 0.044 2.071

---------- Objasnienia -----------

lp - liczba porządkowa

j, k - wskaźniki początku i końca niwelowanego odcinka (numery punktów)

dh_p - przewyższenie w przód w [m] - metrach

dh_w - przewyższenie w wstecz w [m] - metrach

d - długość ciągu w [km] - kilometrach

x,y - współrzędne punktów sieci w metrach - [m]

ps = 1 - punkt stały, ps = 0 - punkt wyznaczany

3. Szkic i opis elementów sieci

Szkic wykonujemy na podstawie tabeli (współrzędnych reperów) danych wejściowych

Rys. 1. Szkic sieci niwelacyjnej.

4. Wyznaczenie błędu średniego podwójnej niwelacji ciągu o długości 1 km

Ciągi są mierzone (tabela danych) w kierunku głównym, zaznaczono je strzałką na szkicu, oraz powrotnym. Przewyższenia niwelacyjne z kierunku głównego hg i powrotnego hp są uśredniane (z kierunku powrotnego zapisano je z odwrotnym znakiem):

(1)

. (2)

Błąd średni
podwójnej niwelacji ciągu o długości 1 km wyznaczamy na podstawie różnic przewyższeń z kierunków głównego i powrotnego wykorzystując zależność:

(3)

gdzie n to ilość ciągów niwelacyjnych,
długość ciągu niwelacyjnego (w km), d to wektor różnic:

(4)

wyrażamy w mm (różnice nie powinny przekraczać wartości dopuszczalnych, zależnych od klasy niwelacji). Mnożnik
wynika z faktu, że jednostkami przewyższeń są metry [m].

Korzystając z zależności (3) otrzymano

Wartość
wyrażono w milimetrach.

5. Obliczenie błędów ciągów niwelacyjnych

Błędy średnie przewyższeń
dla ciągów niwelacyjnych sieci obliczano korzystając z zależności

(5)

gdzie
jest błędem średnim podwójnej niwelacji ciągu o długości 1 km, a
długością ciągu niwelacyjnego. Wartości
zamieszczono w tab. 1.

ciąg	2 - 1	3 - 2	4 - 1	1 - 5	5 - 2	3 - 5	…
[mm]	4.5	3.3	…	…	…	2.5	…

Tab. 1. Błędy średnie przewyższeń dla ciągów niwelacyjnych.

6. Wyznaczenie macierzy wag

Macierz wag P (model stochastyczny) wyznaczono z zależności:

,
(6)

w której
jest oszacowaną na podstawie pomiarów macierzą kowariancji przewyższeń ciągów niwelacyjnych (1), a
jest przyjętym (a priori - przed wyrównaniem) błędem średnim typowego (o wadze równej jedności) spostrzeżenia. Macierz wag P jest macierzą odwrotną do macierzy
.

Do wstępnych obliczeń przyjęto:

. (7)

Założono, tym samym że macierz
jest dobrym estymatorem (przybliżeniem) prawdziwej macierzy kowariancji odpowiadającej prawdziwym błędom średnim zmierzonych przewyższeń. Z (6) wynika wówczas, że

,
,
(8)

Macierze P i C_l można zapisać w formie zwartej:

Przy założeniu niezależności pomiarów i bezbłędności reperów nawiązania macierz wag P jest diagonalna Słuszność przyjętego założenia
jest weryfikowana po wstępnym wyrównaniu sieci, którego elementem jest oszacowanie wartości (a posteriori - po wyrównaiu) estymatora
błędu typowego spostrzeżenia
. Wartość
powinna być zbliżona do jedności tj.
. W praktyce przyjmuje się, że
. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, należy zmodyfikować błędy średnie przewyższeń.

Ogólnie, jeśli
trzeba zmniejszyć, a gdy
zwiększyć błędy średnie zmierzonych przewyższeń. Macierz
mnożymy przez
tj.:
.

7. Ułożenie równań poprawek

Układając równania poprawek skorzystano ze szkicu sieci - rys. 1 i następującego schematu równań poprawek przewyższeń:

(9)

lub

(10)

W równaniach:
to zmierzone przewyższenia,
,
- wyrównane, a
,
przybliżone wysokości reperów wyznaczanych lub punktów nawiązania,
- poprawki do zmierzonych przewyższeń,
,
- poprawki do wysokości reperów.

Równania poprawek ułożono zgodnie ze schematem (9)

(11)

- zmierzone przewyższenia,
,
- wyrównane wysokości reperów lub bezbłędnych punktów nawiązania. W rozważanym przypadku sieć dowiązana jest do reperów bezbłędnych 6, 7, 10 . Bezbłędne punkty nawiązania oznaczono
.

7.1. Równania poprawek

Wysokości wyznaczane (parametry) to:
.

Repery bezbłędne
.

h1 h2 h3 h4 h5 h8 h9 h11 h12

h1 h2 h3 h4 h5 h8 h9 h11 h12

7.2. Postać macierzowa układu równań poprawek:

Układ równań poprawek w zapisie macierzowym

(13)

A - macierz układu równań poprawek, h - wektor parametrów (wysokości wyznaczanych reperów), l - wektor wyrazów wolnych, v - wektor poprawek.

8. Rozwiązanie

Sieć wyrównano wykorzystując układ równań poprawek i macierz wag.

(14)

W tym celu skonstruowano układ równań normalnych

(15)

Rozwiązanie tego układu można zapisać następująco:

(16)

Po wyznaczeni wysokości reperów h z równań poprawek (14) poprawki v i przewyższenia wyrównane

(17)

Ocenę jakości sieci przeprowadza się na podstawie macierzy błędów wysokości punktów, wyrównanych przewyższeń i poprawek przewyższeń, wyprowadzonych według prawa przenoszenia błędów:

• Macierz kowariancji wysokości reperów h:

(18)

gdzie:
- ilość stopni swobody, n - liczba pomiarów, k - liczba pomiarów niezbędnych do wyznaczania wysokości reperów h,
, rank - rząd macierzy A.

• Błędy wysokości punktów (pierwiastki elementów diagonalnych macierzy
).

. (19)

• Mmacierz kowariancji wyrównanych przewyższeń

. (20)

• Błędy wysokości punktów h - pierwiastki elementów diagonalnych macierzy

). (21)

Jeśli wektory
- oznaczają wiersze macierzy A, wówczas

. (22)

• Błędy wyrównanych przewyższeń, są pierwiastkami elementów przekątnych macierzy
• Macierz kowariancji poprawek przewyższeń

(23)

• Błędy poprawek, to pierwiastki elementów przekątnych macierzy

(24)

• Można je również wyznaczyć z zależności:

(25)

Przy założeniu rozkładu normalnego poprawek v ~ N(0,Ch) wartość oczekiwana odchylenia standardowego poprawek (błąd średni typowego spostrzeżenia)

(26)

powinna być równa jedności. Jeśli nie trzeba zmodyfikować błędy średnie przewyższeń (patrz ćwiczenia dla sieci liniowo-kątowej).

9. Test poprawność wyników pomiaru sieci i modelu wyrównania.

Forma kwadratowa (suma wagowanych kwadratów poprawek)

. (27)

ma rozkład
o liczbie stopni swobody równej liczbie obserwacji nadliczbowych
. Sprawdzamy czy

(28)

dla zadanego poziomu ufności: 1- = 0.95, parametr
odczytujemy z tablic rozkładu
?

Przeprowadzamy również test dla poprawek. Sprawdzamy czy poprawki nie przekraczają krotności wartości ich błędów średnich (błędów granicznych)?

zwykle
lub
(29)

Wystąpienie takiego przekroczenia może świadczyć o błędzie grubym pomiaru lub punktu dowiązania.

Algorytm

Algorytm jest zawarty w dołączonym do sprawozdania pliku: siec_niwel.sce.

11. Wyniki wyrównania

	Pomiary	Błędy pomiarów	Wyrównane pomiary	Błędy wyrównanych pomiarów	Poprawki	Błędy poprawek	Test poprawek
Lp.	(przew. [m])	bl. przew [mm]	przew.popr [m]	bl.przew.popr [mm]	pop. v	3*mv	test
1	2.627	2	2.629	2	2	6	+
2	-2.587	2	-2.587	1	-1	5	+
3	2.317	2	2.318	1	0	5	+
4	-1.136	2	-1.132	1	4	6
5	-1.497	3	-1.497	1	-0	6
6	-1.088	3	-1.090	1	-2	7
7	1.503	2	1.502	1	-1	6
8	-1.184	2	-1.185	1	-2	5
9	0.408	2	0.412	1	3	6
10	-2.503	2	2.502	1	2	4
11	1.313	2	1.316	1	3	6
12	-0.029	2	-0.033	1	-4	4
13	-0.890	3	-0.892	1	-2	7
14	0.481	2	0.480	1	-1	4
15	1.281	2	1.284	1	3	4
16	0.925	3	0.924	2	-1	7
17	1.980	3	1.982	2	2	8
18	-0.183	3	-0.184	1	-1	7
19	2.317	3	2.319	1	3	7
20	-1.187	2	-1.187	1	-1	6
21	-1.132	3	-1.132	1	1	8
22	-1.500	2	-1.497	1	2	4
23	-1.091	3	-1.090	1	1	6
24	0.410	3	0.412	2	2	5
25	1.503	2	1.502	2	-1	4

Tab. 2. Wyniki wyrównania sieci niwelacyjnej.

Nr.pkt	wys. [m]	bl.wys [mm]	X [m]	Y [m]
1	100.000	1	734.55	229.22
2	97.371	1	965.47	636.92
3	98.456	1	937.48	1075.98
4	100.184	2	384.68	209.27
5	99.958	1	430.17	608.41
6	97.682	0	430.17	1024.66
7	98.868	0	132.78	306.20
8	98.900	1	146.77	577.05
9	97.976	1	139.77	1192.87
10	97.681	0	1262.86	229.22
11	98.868	1	1294.35	682.54
12	98.456	2	1339.83	1195.72

Tab. 3. Wyznaczone wysokości reperów sieci niwelacyjnej.

11.1. Parametry testów statystycznych

Parametr m0 pierwszego etapu wyrównania: m0 = 0.55

Parametr m0 drugiego etapu wyrównania: m0 = 0.99

Test
: chi = 6.9 chi2 = 7.8, chi < chi2.

11.2. Wykresy testu poprawek

Wartości poprawek - o. Na wykresie zaznaczono podwójne i potrójne przedziały błędów średnich poprawek.

Wnioski

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń można stwierdzić, że:

Wartości błędów wysokości punktów (reperów) sieci

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

Warszawa 27.03.2009 r.

1

Układ równań poprawek w zapisie macierzowym

Prof. R.Kadaj.

Jeśli wagi obserwacji liczono, jako odwrotności kwadratów błędów średnich obserwacji (tak czyni większość programów) to obliczony z poprawek błąd średni jednostkowy
(
,
- ilość elementów nadwymiarowych sieci) powinien być liczbą zbliżoną do jedności (w praktyce dopuszczamy odstępstwo rzędu 10%). Oznacza to, w przybliżonej interpretacji, że przeciętne wartości poprawek obserwacyjnych są tego samego rzędu, co przyjęte do wagowania błędy średnie tych obserwacji. Jeśli np.
wówczas założone do wagowania błędy średnie są zbyt zaniżone (poprawki są przeciętnie dwukrotnie większe). W takiej sytuacji powinniśmy zmienić założenia dokładnościowe (powiększyć dwukrotnie wartości błędów średnich - jeśli warunki danej klasy sieci na to pozwalają). Zwiększenie wartości
może wynikać oczywiście także z istnienia kilku „psujących” elementów (obserwacji) odstających.

---