Wstęp:

Zgodnie z II Zasadą dynamiki ruch drgający wahadła torsyjnego jest opisany równaniem: M = Iε

gdzie: M - wypadkowy moment sił działających na wahadło (sił sprężystych i tarcia)

I - moment bezwładności układu

ε - chwilowe przyspieszenie kątowe układu

Jak wiadomo rozwiązanie tego równania ma postać:

ϕ = ϕ₀ e^-βt cos(ωt + α₀)

Z graficznej interpretacji powyższego wzoru otrzymujemy wyrażenie na amplitudę drgań w chwili t:

ϕ_n = ϕ₀ e^-βt

gdzie ϕ_n - wspomniana wcześniej amplituda

ϕ₀ - amplituda w chwili początkowej

β - współczynnik tłumienia

Logarytm naturalny stosunku dwóch kolejnych amplitud ϕ_n i ϕ_n+1 następujących po czasie Δt = T ( T - okres drgań) nazywamy dekrementem logarytmicznym λ drgań tłumionych.

Wyliczenie wartości dekrementu logarytmicznego tłumienia λ dla kilku wychyleń wahadła torsyjnego dla wody i cieczy wg. wzoru:

λ= ln e^βT= βT

Opracowanie wyników:

Okres drgań:

Dla wody: T = t/n = 5,73 [s] dla oleju: T = 5,72 [s]

Błąd pomiaru okresu wynosi:

Dla wody ΔT = Δt/n = 0,38 dla oleju ΔT = 0,82

Przy czym: T - okres drgań

ΔT - Błąd pomiaru

t - czas trwania pomiaru

Δt - błąd pomiaru czasu równy 0,4s

n - liczba okresów

Dekrement logarytmiczny drgań:

Dekrement obliczony został przy pomocy wzoru:

Dekrement logarytmiczny drgań
Woda		Olej
wychylenie w lewo	wychylenie w prawo	wychylenie w lewo	wychylenie w prawo
0,0512933	0,026668	0,092373	0,125163
0,0822381	0,027399	0,13815	0,068993
0,0289875	0,057158	0,076961	0,113329
0,029853	0,060625	0,127833	0,083382
0,0625204	0,064539	0,09531	0,139762
0,0666914	0,068993	0,105361	0,105361
0,0350913	0,036368
0,074108	0,03774
0,0392207	0,039221
0,040822	0,083382
0,0425596	0,044452
0,0444518	0,04652
0,0953102	0,04879
0,0512933	0,051293

Wartości średnie dekrementu:

dla wody: dla oleju:

=0,051
=0,105

Błąd pomiaru dekrementu policzony metodą Studenta Fishera. Przy pomocy obliczeń:

;

gdzie:

Δλ - Błąd pomiaru dekrementu

- wartość średnia dekrementu

- wartość mierzona dekrementu

n - liczba pomiarów

α - poziom istotności α = 0,05

tα - Współczynnik Studenta odczytany z tablic dla r = n-1 stopni swobody.

Otrzymane wartości to:

dla wody: dla oleju:

Δλ = 0,003; s = 0,018 Δλ = 0,009; s = 0,023

Współczynnik tłumienia drgań ( β ):

Wartość tę obliczyliśmy ze wzoru:

otrzymane wartości to:

dla wody: Dla oleju:

β=0,008 β=0,018

Błąd względny obliczony przy pomocy wzoru:
wynosi:

dla wody: Dla oleju:

Δβ=0,001 Δβ=0,004

Częstość drgań nietłumionych:

Te wartości otrzymaliśmy ze wzoru:

otrzymane wartości to:

dla wody: Dla oleju:

= 1,097
= 1,099

Błąd bezwzględny wynosi:

dla wody: Dla oleju:

Δ
= 0,500 Δ
= 0, 500

Wnioski:

Wyniki obliczeń:

Woda Olej

λ = 0,051 ± 0,003 λ = 0,105 ± 0,009

β = 0,008 ± 0,001 β = 0,018 ± 0,004

ω₀ = 1,097 ± 0,500 ω₀ = 1,099 ± 0,500

Przy wykonywaniu pomiarów, po wprowadzeniu w ruch obu wahadeł się zauważyć, iż amplituda wahadła zanurzonego w oleju maleje znacznie szybciej niż w przypadku, gdy zanurzyliśmy je w wodzie. Tę właśnie własność ośrodka, związaną bezpośrednio z jego gęstością, określa wielkość zwana współczynnikiem tłumienia drgań - ma on większą wartość dla oleju.

Również obliczona wartość logarytmicznego drgań prawidłowo scharakteryzowała badaną zależność.

---