Mikoaj Pytel Fizyka II rok wtorek 1500 |
12.9.97 |
w. 4
Wyznaczanie moduu sztywnoci metod statyczn
Tabele pomiarów:
Pomiary rednicy drutu [mm]: 2.44 2.45 2.44 2.46 2.44 2.45 2.44 2.43 2.45 2.44 rednia warto: 2.44 mm |
|
Odksztacenie drutu |
|
|
Obcienie rosnce |
Obcienie malejce |
||
Obcienie [g]x2 |
Pooenie [°] |
Obcienie [g]x2 |
Pooenie [°] |
0 |
41.5 |
120 |
84.5 |
10 |
44.5 |
110 |
81.5 |
20 |
48.0 |
100 |
77.5 |
30 |
52.0 |
90 |
74.0 |
40 |
55.0 |
80 |
70.5 |
50 |
59.0 |
70 |
67.0 |
60 |
62.5 |
60 |
63.5 |
70 |
66.0 |
50 |
59.5 |
80 |
70.0 |
40 |
56.0 |
90 |
73.5 |
30 |
52.5 |
100 |
77.5 |
20 |
49.0 |
110 |
81.0 |
10 |
45.0 |
120 |
84.5 |
0 |
41.5 |
Dugo drutu: 97.8 cm
rednica tarczy: 20.026 cm
Dokadno pomiaru:
rednicy drutu: 0.01mm
dugoci drutu: 0.1 cm
rednicy tarczy: 0.002 cm
odksztacenia: 0.5°
Zagadnienia teoretyczne
Odksztacenie ciaa jest spowodowane dziaaniem zrównowaonych si lub zrównowaonych momentów si. Gdy odksztacenie znika z chwil usunicia si odksztacajcych, jest to odksztacenie spryste, a zjawisko to nazywamy sprystoci. Takie odksztacenie, które nie znika po usuniciu siy nazywamy odksztaceniem plastycznym, a zjawisko to nazywamy analogicznie plastycznoci. Siy znieksztacajce mog dziaa prostopadle lub stycznie do powierzchni.
Siy dziaajce prostopadle do powierzchni nazywamy siami normalnymi, za stosunek siy Fn do powierzchni S, na któr dziaaj, nazywamy napreniem normalnym:
Miar wielkoci odksztacenia jest odksztacenie wzgldne , które jest stosunkiem zmiany dugoci z do dugoci pocztkowej z:
Siy deformujce mog dziaa take stycznie do powierzchni. Stosunek siy stycznej Fs do powierzchni S, na któr dziaa, nazywamy napreniem stycznym:
W tym przypadku rol wzgldnego odksztacenia spenia kt ciniania .
Odksztaceniami sprystymi cia staych rzdzi prawo Hooke'a, które mówi, e naprenie jest proporcjonalne do odksztacenia. W przypadku naprenia normalnego prawo to wyraa si wzorem =E , gdzie wspóczynnik proporcjonalnoci E nazywa si moduem Younga. Natomiast w przypadku naprenia stycznego prawo Hooke'a mona wyrazi wzorem =G. Tutaj wspóczynnik G nazywa si moduem sztywnoci. Prawo Hooke'a nie jest spenione dla dowolnych napre. Po przekroczeniu naprenia zwanego granic proporcjonalnoci odksztacenie nie jest ju zgodne z prawem Hooke'a. “Granic sprystoci nazywamy takie naprenie, po przekroczeniu którego ciao nie powraca ju do poprzednich wymiarów z dokadnoci do 0.003%” (Szydowski H., Pracownia Fizyczna). Granic wytrzymaoci natomiast nazywamy takie naprenie, przy którym ciao ulega zniszczeniu (zerwanie, rozkruszenie, itp).
Przy skrcaniu drutu, kady jego element ulega deformacji prostego cinania. Wemy na przykad cylindryczny wycinek drutu (piercie) o promieniu wewntrznym r', gruboci dr' i dugoci l, króra jest równa dugoci caego drutu. Wtedy kt cinania wynosi (r' )/ l, gdzie jest wzgldnym ktem obrotu jednego koca cylindra wzgldem drugiego. Podstawiajc powysze do prawa Hooke'a dla napre stycznych, otrzymujemy
Naprenie styczne jest stosunkiem dziaajcej siy stycznej dFs do powierzchni przekroju piercienia: S=2r'dr'. Wówczas powysze równanie zmienia si na
Mnoc obustronnie przez r' otrzymujemy moment siy dM, dziaajcy na piercie:
Sumujc wszystkie piercienie, tzn. cakujc powysze wyraenie po r' w granicach od r'= 0 do r, otrzymujemy nastpujce wyraenie na moment siy:
W przypadku gdy chcemy wyznaczy modu sztywnoci metod statyczn, za porednictwem przerzuconych przez bloczki dwóch równolegych nici skierowanych w przeciwnych kierunkach, wytwarzamy moment skrcajcy na na tarczy o promieniu R, która przekazuje tene moment drutowi. Wówczas tworzy si moment skrcajcy M=2RF. Pamitajc o zalenoci F=mg, podstawiamy to do powyszego wzoru i otrzymujemy wzór na modu sztywnoci skrcanego drutu:
Opis dowiadczenia
W celu wyznaczenia moduu sztywnoci drutu, po ustawieniu i wypoziomowaniu urzdzenia dokonano dziesiciu pomiarów rednicy drutu rub mikrometryczn. rednia warto rednicy drutu wyniosa w tym przypadku 2.44 mm. Nastpnie zmierzono dugo drutu oraz rednic tarczy. Pooenie pocztkowe tarczy (bez dodatkowego obcienia) wynosio 41.5°. Nastpnie obciano szalki odwanikami, przy obcieniach od 0 do 120 g co 10 g, za kadym razem notujc kt skrcenia tarczy wzgldem wskanika. W celu zmniejszenia moliwego bdu, pomiary powtórzono take dla obcie malejcych.
Opracowanie wyników pomiarów
Najpierw wyliczono wartoci rednie dla jednakowych obcie dla obcie rosncych i malejcych, jak równie wartoci si dziaajcych na szalki (obcienie razy przypieszenie grawitacyjne w Wrocawiu - 9.8115 m/s2) :
Podstawiajc kolejno wartoci siy i odksztacenia do wzoru
i jednoczenie przeliczajc stopnie na radiany otrzymujemy nastpujc tabelk:
Wobec tego rednia warto moduu sztywnoci badanego prta wynosi 8.871 N"m-2"rad-1.
Nastpnie sporzdzono wykres odksztacenia jako funkcji siy odksztacajcej (patrz ostatnia strona). Korzystajc z programu Statistica obliczono zaleno midzy napreniem i odksztaceniem metod wielokrotnej liniowej regresji. Okazao si, e ctg nachylenia linii prostej przybliajcej funkcj = f(F) wynosi 36.83444. Wobec tego, w tym przypadku sia 1 N (2 N jeli bierzemy pod uwag obie szalki) odksztaca drut o 36.83444°.
Podstawiajc dwie ostatnie wartoci do wzoru
i przeliczajc stopnie na radiany otrzymujemy
Jest to wynik rónicy si od otrzymanego metod tradycyjn o niecae 2%.
Ocena bdu i wnioski
Bd zostanie policzony metod róniczki zupenej. Poniewa korzystalimy ze wzoru
,
przykadowy bd dla wartoci zaznaczonej na ostatniej tabelce wynosi:
= 89,685,743.56 + 17,519,740.33 + 2,871,117,308 + 1,019,914,655 = 3,998,237,447 = 4.00"109 N"m-2"rad-1
Jest to bd wzgldny rzdu 4.5%. Naley jednake wzi pod uwag fakt, e liczc bd nie policzono bdu masy ciarków zawieszanych na szalkach. Z braku innej moliwoci ich wartoci nominalne przyjto za pewnik, i std nie ma moliwoci uwzgldnienia bdu siy F. Bd odczytu kta odksztacenia (0.5°) naniesiono na wykresie. Oceniajc bd pomiaru, dodatkowo naleaoby take uwzgldni np. opory tarcia bloczków.
Porównujc otrzyman warto moduu sztywnoci badanego drutu (8.871"1010 N"m-2"rad-1) z danymi tablicowymi (Szydowski H., Pracownia Fizyczna, PWN 1997), zauwaamy, e jedynymi metalami, których modu sztywnoci jest podobny do naszego s nikiel (7.8), stal (8.15), i elazo kute (8.1 N"m-2"rad-1). Poniewa drut z ca pewnoci nie by kuty, a druty z niklu s drogie i bardziej byszczce ni ten w pracowni, z du doz pewnoci moemy stwierdzi, e drut zosta wykonany z którego ze stopów stali.