Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu
Finanse przedsiębiorstw
WARTOŚĆ PIENI
DZA W CZASIE
WST
P ......................................................................................................................................................................... 2
WYJAŚNIENIE STOSOWANYCH PODSTAWOWYCH POJ
Ć: ...................................................................................................... 2
ZASTOSOWANE OZNACZENIA:........................................................................................................................................ 2
LINIA CZASU/ OŚ CZASU/ DIAGRAM CZASU ........................................................................................................................ 2
I. WARTOŚĆ PRZYSZA
A PIENI
DZA................................................................................................................................ 3
PROCENT PROSTY ....................................................................................................................................................... 3
PROCENT SKA
ADANY ................................................................................................................................................... 3
WARTOŚĆ PRZYSZA
A A DA
UGOŚĆ OKRESU KAPITALIZACJI ODSETEK ........................................................................................... 4
WARTOŚĆ PRZYSZA
A A ZMIENNOŚĆ STOPY PROCENTOWEJ ..................................................................................................... 5
II. WARTOŚĆ OBECNA PIENI
DZA ................................................................................................................................. 6
PROCENT PROSTY ....................................................................................................................................................... 6
PROCENT SKA
ADANY ................................................................................................................................................... 6
WARTOŚĆ BIEŻ
CA A DA
UGOŚĆ OKRESU KAPITALIZACJI ODSETEK ............................................................................................. 8
WARTOŚĆ BIEŻ
CA A ZMIENNOŚĆ STOPY PROCENTOWEJ ...................................................................................................... 8
1 | Strona
Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu
Finanse przedsiębiorstw
WST
P
Wyjaśnienie stosowanych podstawowych pojęć:
Kapitalizacja  proces przechodzenia od wartości danej kwoty na dzień dzisiejszy, czyli od tzw.
wartości bieżącej (zaktualizowanej, obecnej, teraz
niejszej, present value - PV) do wartości
przyszłej (future value  FV) [Bodie, Merton, 2003]
Kapitalizacja odsetek  dopisywanie naliczonych odsetek do kapitału
Wartość bieżąca/obecna  wartość, jaką ustalona nominalnie przyszła kwota pieniędzy posiada na
moment bieżący.
Wartość przyszła  wartość, jaką uzyska ustalona nominalnie kwota pieniędzy po upływie określonego
czasu. [Sierpińska, Jachna, 2007]
Zastosowane oznaczenia:
PV - wartość obecna
FVt - wartość przyszła w momencie t
t =1,2, n- kolejny okres obliczeniowy (np. rok)
it - stopa procentowa w danym okresie (np. w danym roku)
ir - realna stopa procentowa
in - nominalna stopa procentowa
ie - efektywna stopa procentowa
iin - stopa inflacji
m - liczba okresów kapitalizacyjnych w ciągu roku
Linia czasu/ oś czasu/ diagram czasu
Oś czasu stanowi jeden z najważniejszych narzędzi przydatnych w analizie wartości pieniądza w czasie.
Pozwala na wizualizację zdarzeń i tym samym odpowiednie sformułowanie problemu.
Przykład osi czasu (5 okresów)
0 1 2 3 4 5
Moment 0 oznacza teraz
niejszość. Moment 1 to oddalenie w czasie o jeden okres (stanowi jego
koniec). Moment 2 to chwila oddalona o 2 okresy od momentu 0 (chwili obecnej) i jednocześnie stanowi
koniec drugiego okresu. Okresem jest pewien ustalony przedział czasu. Może być nim rok, półrocze,
kwartał, miesiąc czy też dzień. Przyjęcie jednego roku za okres na osi czasu, oznaczać będzie, że odcinek
pomiędzy 0 a 1 to rok pierwszy, odcinek między 1 a 2 to rok drugi, itd. Inaczej: kreska, nad którą
umieszczono cyfrę 1 oznacza koniec pierwszego roku i jednocześnie stanowi początek roku drugiego (rok
1 minął)
Dla odpowiedniej wizualizacji zdarzeń, pojawiające się przepływy pieniężne umieszczane są pod
kreskami oznaczającymi momenty, a stopy procentowe występujące w danych okresach, nad linią czasu w
miejscach im odpowiadających.
0 1 2 3
5%
1 000 ?
Jeżeli stopa procentowa zmienia się w czasie, odpowiedni ich poziom przypisujemy poszczególnym
podokresom. Np. jeśli w pierwszym roku stopa procentowa kształtuje się na poziomie 6%,zaś w drugim i
trzecim na poziomie 8% to diagram czasu będzie wyglądał następująco:
0 1 2 3
6% 8% 8%
1 000 ?
2 | Strona
Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu
Finanse przedsiębiorstw
I. WARTOŚĆ PRZYSZA
A pieniądza
Środki pieniężne posiadane dzisiaj mają większą wartość niż środki otrzymane w przyszłości.
Dlaczego?:
" Spadek siły nabywczej pieniądza
" Możliwość korzystnego zainwestowania, otrzymania odsetek i tym samym posiadania w
przyszłości większej kwoty.
" Występowanie ryzyka
KAPITALIZACJA  proces przechodzenia od wartości obecnej (PV) do wartości przyszłej (FV)
KAPITALIZACJA ODSETEK  proces dopisywania odsetek do kapitału na koniec każdego z okresów
kapitalizacyjnego (np. kapitalizacja kwartalna oznacza dopisywanie wartości naliczonych w danym
kwartale odsetek do kapitału początkowego)
Procent prosty
Procent prosty występuje w sytuacji gdy dochód z tytułu uzyskiwanych odsetek nie jest doliczany do
wkładu tzn. gdy nie występuje zjawisko kapitalizacji odsetek.
Wartość przyszła wyznaczana jest wtedy następująco: 1 & .
Jeżeli stopa procentowa jest stała w całym okresie, to równanie ma postać: 1
Procent składany
Jeżeli ma miejsce kapitalizacja odsetek (po kolejnych okresach obliczeniowych), oprocentowaniu w
kolejnych okresach podlega zarówno początkowa wartość kapitału (wkład), jak również odsetki uzyskane
w poprzednich okresach. Wartość przyszła pewnego kapitału początkowego na koniec n-tego okresu
zostaje wyznaczona na podstawie równania:

& (1.1)
Jeżeli stopa procentowa jest stała w całym okresie, to równanie przybiera postać:
(1.2)
Wyrażenie 1 nazywany jest procentem składanym (lub czynnikiem wartości przyszłej).Wartość tego
czynnika w momencie 0 (t=0) wynosi 1, i wzrasta wraz z liczbą lat okresu obliczeniowego. Dodatkowo jego
wartość rośnie tym szybciej im wyższa jest stopa procentowa.
Poziom czynnika wartości przyszłej
9
8
7
6
5
5%
4
10%
3
15%
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Okres
3 | Strona
Czynnik wartości przyszłej
Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu
Finanse przedsiębiorstw
PRZYKA
AD 1.1
Pan X decyduje się na ulokowanie na rachunku oszczędnościowym w banku A wolnych środków
pieniężnych w wysokości 13 tys. zł na 8 % na okres 3 lat (bez dokonywania żadnych wypłat w trakcie
trwania tego okresu). Jaką kwotę wypłaci po upływie okresu lokaty?
PROCES ROZWI
ZANIA:
Dane:
" = 13 000 zł
" = 8%
" = 3
Kreślimy oś czasu celem wizualizacji problemu:
0 1 2 3
8% 8% 8%
13 000 zł
?
Wartość przyszła
16 376,26
Stała stopa procentowa w ciągu okresu obliczeniowego oraz roczny okres kapitalizacji (domyślnie)
implikuje wykorzystanie formuły (1.2)
1 13 000 1 0,08 16 376,26
Odp.: Po upływie 3 lat pan X wypłaci z rachunku oszczędnościowego 16 376,26 zł.
Ćwiczenie. Jaką kwotę z rachunku oszczędnościowego mógłby wypłacić Pan X po dwóch latach przy
założonych wyżej warunkach?
Wartość przyszła a długość okresu kapitalizacji odsetek
Proces kapitalizacji odsetek odbywa się w różnych okresach: kapitalizacja roczna, półroczna, kwartalna,
miesięczna, dzienna czy ciągła. To powoduje konieczność odpowiedniego dostosowania równań
obliczeniowych celem ustalenia wartości przyszłej:
1. Ustalenie efektywnej stopy procentowej, która uwzględnia liczbę kapitalizacji odsetek w ciągu
roku, a dopiero tak obliczona efektywna roczna stopa procentowa jest wykorzystywana w
formule obliczeniowej uwzględniającej podział okresu obliczeniowego na lata
2. Dostosowanie rocznej stopy procentowej dla okresu, w którym następuje kapitalizacja
odsetek i wykorzystanie jej w formule obliczeniowej, przy jednoczesnym wyrażeniu okresu
obliczeniowego nie w latach , lecz w liczbie okresów kapitalizacji (półroczy, kwartałów,
miesięcy, itd.). Wtedy wartość przyszła ustalana jest na podstawie równania:

(1.3)

PRZYKA
AD 1.2
Pan X (patrz: przykład 1) rozważa ofertę rachunków oszczędnościowych dwóch innych banków, aby
wybrać najkorzystniejszą możliwość lokacji własnych środków.
" W banku B rachunek oszczędnościowy cechuje się oprocentowaniem 8%, kapitalizacja
następuje co pół roku (półroczna kapitalizacja odsetek).
" W banku C rachunek oszczędnościowy cechuje się oprocentowaniem 8% z kapitalizacją
kwartalną.
Jaką kwotę będzie mógł wypłacić pan X za 3 lata lokując środki w banku B lub C?
PROCES ROZWI
ZANIA (w podziale na bank B i C)
BANK B BANK C
4 | Strona
Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu
Finanse przedsiębiorstw
= 13 000 zł = 13 000 zł
= 8% = 8%
= 3 = 3
= 2 * = 4 **
*
w przypadku oferty banku B kapitalizacja ** w przypadku oferty banku B kapitalizacja
następuje co pół roku. W ciągu roku następuje co kwartał. W ciągu roku następują
następują więc 2 okresy kapitalizacji odsetek więc 4 okresy kapitalizacji odsetek

1 1

0,08 0,08
13 000 1 16 449,15 ł 13 000 1 16 487,14 ł
2 4
Kwoty jakie będzie mógł wypłacić Pan X za 3 lata lokując 13 000 zł
Oferta: Kapitalizacja Wartość przyszła
13 000 zł
BANK A roczna 16 376,26 ł
BANK B półroczna 16 449,15 ł
BANK C kwartalna 16 487,14 ł
WNIOSEK (zał: stała stopa procentowa): Skracanie okresu kapitalizacji (częstsza kapitalizacja w ciągu
roku) powoduje wzrost wartości przyszłej pieniądza.
Graniczną wartością tego wzrostu jest kapitalizacja ciągła (tzn. nieskończenie krótki okres kapitalizacji
odsetek. Wartość przyszłą w sytuacji ciągłej kapitalizacji odsetek można ustalić wg równania:
gdzie e to podstawa logarytmu naturalnego (H"2,7182818) (1.4)
Cd. PRZYKA
ADU
Jaką kwotę mógłby wypłacić pan X po 3 latach mając możliwość ulokowania swoich środków na rachunku
oszczędnościowym z oprocentowaniem 8% i kapitalizacją ciągłą?
13 000 , 16 526,24 ł
Wartość przyszła a zmienność stopy procentowej
W sytuacji kiedy w okresie obliczeniowym ma miejsce zmiana poziomu stopy procentowej, wartość
przyszła ustalana jest na podstawie równania (zał: zmiana stopy % następuje w momencie kapitalizacji
odsetek):

& (1.5)
PRZYKA
AD 1.3
Spółka ABC chce lokuje w banku 100 000 zł na okres 4 lat. Bank ma prawo zmiany oprocentowania lokaty
w czasie jej trwania. Przewidywana roczna stopa procentowa wynosi: 8% w 1 roku, 6% w drugim roku oraz
4% w 3 i 4 roku. Jaką kwotą będzie dysponowało przedsiębiorstwo na końcu 4 roku?
PROCES ROZWI
ZANIA
Jako, że w zadaniu nie ma wzmianki o okresie kapitalizacji, przyjmujemy domyślny okres kapitalizacji:
kapitalizację roczną. Nie ma więc konieczności dostosowywania stopy procentowej rocznej do okresu
kapitalizacji.
0 1 2 3 4
8% 6% 4% 4%
Płatność 100 000 FV4
Wartość przyszła
5 | Strona
skracanie
wzrost
Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu
Finanse przedsiębiorstw

100 000 1 0,08 1 0,06 1 0,04 123 821,57 ł
Tłumacząc krokowo:

" 100 tys. zł po pierwszym roku będzie warte 100 000 1 0,08 108 000 ł

" Po dwóch latach wartość będzie wynosiła 1 0,06 100 000 1 0,08

1 0,06 114 480 ł

" Po trzech latach wartość będzie wynosiła 1 0,04 100 000 1 0,08

1 0,06 1 0,04 119 059,2 ł

" Po czterech latach wartość 100 zł będzie wynosiła 1 0,04 100 000

1 0,08 1 0,06 1 0,04 1 0,04 123 821,57 ł
II. WARTOŚĆ OBECNA pieniądza
Aby ustalić wartość, jaką ustalona nominalnie przyszła kwota pieniędzy posiada na moment bieżący,
należy oszacować wartość obecną/teraz
niejszą tej kwoty. (DYSKONTOWANIE)
Procent prosty
W sytuacji niewystępowania kapitalizacji odsetek, aby ustalić wartość bieżącą danej kwoty pieniężnej
wystarczy dokonać odpowiedniego przekształcenia formuły na wartość przyszłą. Otrzymujemy wtedy:


1 &

a zakładając stałość stopy procentowej w całym okresie obliczeniowym:

Procent składany
Jeżeli ma miejsce kapitalizacja odsetek (po kolejnych okresach obliczeniowych), oprocentowaniu w
kolejnych okresach podlega zarówno początkowa wartość kapitału (wkład), jak również odsetki uzyskane
w poprzednich okresach. Aby obliczyć teraz
niejszą wartość kwoty pieniężnej konieczne korzystamy z
przekształcenia formuły (1.1)/(1.2):

(2.1)

&
A zakładając, że stopa procentowa jest stała w całym okresie, równanie przybiera postać:

(2.2)

Jak widać na podstawie przedstawionych formuł obliczeniowych, równanie wartości bieżącej pieniądza to
odwrotność równania wartości przyszłej. Proces przejścia do wartości obecnej kwoty pieniężnej
nazywamy DYSKONTOWANIEM.

Wyrażenie przez który przemnażana jest wartość przyszła kwoty pieniężnej FV, nazywane jest
czynnikiem dyskontującym (czynnikiem wartości obecnej). Maksymalnie osiąga on wartość 1 (sytuacja
taka występuje w momencie 0 [t=0]) i przyjmuje wartości coraz niższe wraz z wydłużaniem okresu
obliczeniowego zmierzając do zera, ale nigdy go nie osiągając (teoria granic funkcji).
6 | Strona
Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu
Finanse przedsiębiorstw
Poziom czynnika wartości obecnej
1,5
1
5%
0,5
10%
0 15%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Okres
PRZYKA
AD 2.1.
Pan Y ma świadomość, że za trzy lata konieczne będzie kupno nowego samochodu za 80 000 zł. Posiadając
wolne środki pieniężne, chce przeznaczyć je na ten cel odkładając odpowiednią sumę na lokacie bankowej
oprocentowanej 9% (roczna kapitalizacja odsetek). Doradz
Panu Y jaką wartość nominalnie w dniu
dzisiejszym powinna mieć założona przez niego lokata.
Dane:
" =80 000 zł
" T = 3
" i = 9%
Wizualizacja problemu na osi czasu (odstęp pomiędzy 0,1; 1,2; 2,3 to 1 rok)
0 1 2 3
9% 9% 9%
80 000 zł
Wartość
bieżąca
Konieczne jest obliczenie wartości obecnej (dzisiejszej) kwoty 80 000 zł, które pan Y przeznaczy na zakup
samochodu za trzy lata. Kwota która za 3 lata będzie warta 80 tys., dziś jest warta mniej, a dokładnie jej
wartość wynosi:

61 774,68 ł
,
Można stwierdzić, że im niższa stopa procentowa (dyskontowa) przyjmowana do szacowania wartości
obecnej tym wyższa wartość bieżąca, i odwrotnie. (np. pan Y musiałby większą kwotę pieniężną ulokować
na rachunku gdyby stopa dyskontowa była niższa niż 9%)
Ćwiczenie. Dla podanej w przykładzie kwoty 80 tys., sprawdz
jak kształtowałaby się kwota koniecznego do
złożenia depozytu, gdyby oprocentowanie rachunku oszczędnościowego wynosiło
" 7%
" 11%.
CD. PRZYKA
ADU
Jaką kwotę musiałby dziś ulokować Pan Y, jeżeli stwierdziłby, że kupno auta będzie konieczne za 5 lat a nie
za 3?
Dane:
" =80 000 zł
" T = 5 (poprzednio T=3)
" i = 9%

wtedy 51 994,51 ł

,
7 | Strona
Czynnik wartości obecnej
Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu
Finanse przedsiębiorstw
WNIOSEK: Stwierdzamy więc, że wydłużenie okresu pojawienia się wartości przyszłej powoduje niższą
wartość obecną kwoty (przy pozostałych warunkach niezmienionych)
Wartość bieżąca a długość okresu kapitalizacji odsetek
Podobnie jak przy rozpatrywaniu wartości przyszłej, tak i szacując wartość obecną należy wziąć pod uwagę
okres kapitalizacji. W przypadku gdy jest on krótszy niż rok, należy:
" dostosować roczną stopę procentową do ilości kapitalizacji w ciągu roku (m) [tzn.

],

" okres obliczeniowy wyrazić w odpowiedniej liczbie okresów kapitalizacji (czyli )
Formuła obliczeniowa przybiera wtedy postać: [przekształcenie formuły (1.3)]

(2.3)



PRZYKA
AD 2.2
Pan Y z przykładu poprzedniego otrzymał ofertę innego banku i może ulokować dziś pewną kwotę
pieniędzy na rachunku oprocentowanym 9% z kapitalizacją następującą co dwa miesiące. Jaką kwotę
musiałby wpłacić dzisiaj aby zrealizować za 3 lata założony cel (kupno auta)?
Dane:
" =80 000 zł
" T = 3
" i = 9%
" m = 6 (6 razy w ciągu roku nastąpi kapitalizacja [co dwa miesiące])
80000
61 192,93


1
1 0,09

6
WNIOSEK: Skracanie okresu kapitalizacji (tzn. wzrost jej częstotliwości w przeciągu roku), zakładając stałą
stopę procentową powoduje spadek wartości obecnej pieniądza. (porównaj z przykładem 2.1)
Wartością graniczną tego spadku jest kapitalizacja ciągła. Bieżąca wartość kwoty pieniężnej w przypadku
kapitalizacji ciągłej obliczana jest wg formuły poniżej
(2.4)
Wartość bieżąca a zmienność stopy procentowej
W sytuacji kiedy w okresie obliczeniowym ma miejsce zmiana poziomu stopy procentowej, wartość
bieżąca ustalana jest na podstawie równania (zał: zmiana stopy % następuje w momencie kapitalizacji
odsetek):

(2.5)

&
PRZYKA
AD 2.3
Pan Y z poprzedniego przykładu otrzymał ofertę kolejnego banku, oferującego 3-letnią lokatę środków
pieniężnych z zastrzeżeniem możliwości zmiany stopy procentowej przy kapitalizacji półrocznej.
Przewidywane stopy procentowe kształtują się następująco:
" I rok 9%
" II rok 7%
" III rok 6%
Jaką kwotę środków pieniężnych powinien dzisiaj złożyć na lokacie pan Y aby osiągnąć założony cel?
Dane:
" =80 000 zł
8 | Strona
Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu
Finanse przedsiębiorstw
" T = 3
" M=2 (kapitalizacja półroczna)
" i - zmienna w czasie
Oś czasu: (odstęp od 0 do 1 oznacza 1 rok  należy jednak mieć na uwadze kapitalizację półroczną
(krótsze kreski oznaczają podział na połroczne podokresy)
0
1 2 3
9% 7% 6%
80 000 zł
Wartość
bieżąca
Aby rozwiązać problem, należy oszacować wartość obecną 80 tys. zł wypłacanych za 3 lata.

Stosujemy formułę
dostosowując ją do określonego problemu  tzn. trzech

&
różnych poziomów stóp % oraz okresu 3 lat (ale 6 okresów kapitalizacyjnych).
80 000 zł należy odpowiednio zdyskontować, dostosowując stopy roczne do okresu kapitalizacji i
odpowiednio wyrażając okres obliczeniowy:



1 1 & 1

80000
64 461,77 ł
0,09 1 0,07 1 0,06
1
2 2 2
Półroczna stopa procentowa
Odpowiednie wyrażenie
okresu obliczeniowego: stopa
9% obowiązuje przez jeden
rok, a w czasie tego roku
następują dwie kapitalizacje
odsetek (czyli liczba lat * liczba
okresów kapitalizacji w ciągu
roku = 1*2)
Opracowano na podstawie:
1. Rutkowski A., Zarządzanie finansami, PWE, Warszawa 2007
2. Brigham, E.F., Houston, J.F., Podstawy zarządzania finansami, PWE, 2005
3. Sierpińska, M., Jachna, T., Metody podejmowania decyzji finansowych, Wydawnictwo
Naukowe PWN, 2007
W następnych częściach kursu:
" Płatności annuitetowe
" Zadania do samodzielnego rozwiązania
9 | Strona