Równania konstytutywne
(równania materialne, związki fizyczne, związki fizykalne)
definicje idealnych ośrodków ciągłych, postulowane na podstawie teoretycznych analiz, weryfikowane
doświadczalnie.
Z zestawu równań podstawowych Teorii Sprężystości definuje materiał opis stanu geometrycznego i stanu
naprężenia jest jednakowy dla wszystkich ośrodków ciągłych.
Zależność stanu naprężenia w danej chwili od historii obciążenia tzw. materiały z pamięcią.
Przykład: plastyczne płynięcie dla danej wartości nie może znalezć odpowiadającej (jednoznacznej) wartości
.
Klasa materiałów bez pamięci materiałów sprężystych.
OŚRODEK (MATERIAA) SPRZYSTY
Tensor naprężenia w ośrodku sprężystym zależy tylko od aktualnego stanu odkształcenia, nie zależy od historii
odkształcenia (bez pamięci)
ij = f eij eij = g ij
( ), % ( )
%
f i g - funkcje tensorowe, wzajemnie odwracalne na ogół nieliniowe
% %
Ośrodek (materiał) liniowo sprężysty:
ij = Cijklkl
a" ij tensor naprężeń Cauchy
%
a" kl tensor małych odkształceń
%
Zapis absolutny: = Cg (działanie: zwężenia pełne, brak analogii w rachunku macierzowym)
% % %
C a" Cijkl tensor stałych sprężystych, tensor IV walencji, 81 składowych
%
Z symetrii tensorów , (ij = , kl = lk ) wynikają tożsamości
ji
% %
Cijkl = Cjikl = Cjilk ,
pozostaje więc 36 niezależnych współrzędnych C
%
Związek konstytutywny ij = Cijklkl , obejmujący 36 stałych sprężystych, to tzw. uogólnione prawo Hooke a dla
ciał anizotropowych.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 04 str. 1
Przykład efekt anizotropii (poza kursem WM)
Odkształcenie postaciowe w tensorze odkształceń niezerowa jedynie składowa 12
%
Obecność w tensorze C niezerowej składowej C1112 powoduje, że 11 = C111212 `" 0
%
Efekt ten nie jest możliwy w ośrodku izotropowym (w każdym kierunku własności materiału identyczne)
Notacja alternatywna:
1 a" 11 4 a" 23 = 32 1 a" 11 4 a" 23 = 32
2 a" 22 5 a" 31 = 13 2 a" 22 5 a" 31 = 13
3 a" 33 6 a" 12 = 21 3 a" 33 6 a" 12 = 21
W takiej postaci związki konstytutywne można podać w formie macierzowej
K = CKLL `" 0, K, L = 1,...,6
Macierz C = CKL zawiera 36 stałych sprężystych.
%
Istnieje funkcja zwana potencjałem sprężystym Ś (inaczej energią właściwą odkształcenia sprężystego), w
najprostszej postaci wyrażona formą kwadratową
1
Ś= CKLKL
2
Z istnienia tej funkcji wynika CKL = CLK ,
tylko 21 niezależnych stałych.
Symetrie i wynikające z nich uproszczenia:
Trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny symetrii w każdym punkcie ośrodek ortotropowy, macierz stałych
sprężystych w postaci
C11 C12 C13 0 0 0
łłł
łC C22 C23 0 0 0 śł
21
łśł
łC31 C32 C33 0 0 0 śł
C
łśł
% 0 0 0 C44 0 0
łśł
łśł
0 0 0 0 C55 0
łśł
0 0 0 0 0 C66 ł
ł
12 niezależnych stałych, warunek CKL = CLK 9 stałych
Przykładowo: drewno o idealnej strukturze włóknistej.
Symetria obrotowa względem jednej osi (np. x3 ) izotropia poprzeczna, pozostaje 5 stałych sprężystych.
Pełna izotropia
izotropowy tensor stałych sprężystych
Możliwa postać:
Cijkl = ijkl + bik + cil
jl jk
trzy stałe sprężyste
Uogólnione prawo Hooke a dla ciał izotropowych:
ij = Cijklkl = ijkl + bik + cil kl = ijkk + bij + c =
( )
jl jk ji
= ijkk + b + c ij = ijkk + 2ij
( )
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 04 str. 2
lub = Itr + 2
% % % %
Liniowo-sprężyste prawo konstytutywne, ośrodek izotropowy dwie stałe sprężyste, tzw. stałe Lame i
postać = f
( )
% %
Zależności odwrotne = g
( )
% %
Relacja pomocnicza: tr "! tr :
%
ii = 3kk + 2ii = 3 + 2 kk
( )%
1
Stąd kk = ii
3 + 2
1 1
Zatem ij = ij - ijkk
2 2 3 + 2
Zależności między stałymi Lame i a stałymi technicznymi
E i .
Zapis wskaznikowy związków konstytutywnych:
1
11 = ł - 22 +33 łł
( )ł
11
ł
E
...
1+
12 = 21 12
E
...
Zapis łączony:
1+
ij = ij - ijkk
E E
Zależności
1 1+ E
= ! = = G
2 E 2 1+
( )
1 E
= ! =
2 3 + 2 E 1+ 1- 2
( )( )
Bilans równań i niewiadomych zadania teorii sprężystości
Niewiadome:
symetryczny tensor naprężeń Cauchy a" ij 6 składowych
%
symetryczny tensor małych odkształceń a" ij 6 składowych
%
wektor przemieszczeń u a" uk 3 składowe
%
razem 15 składowych
Zależności:
równania równowagi div + b = 0 3 równania
% % %
1
związki geometryczne = "u +"uT 6 równań
( )
% 2 % %
prawa konstytutywne = Itr + 2 6 równań
% % % %
razem 15 równań
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 04 str. 3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wykłady notatkiWykład 4 NOTATKIZACHOWANIA PROSPOLECZNE WYKLADX NOTATKABankowość wykłady (notatki ze slajdów)Rachunkowość zarządcza wykłady notatkikoncepcje zarządzania, część wykładu 5, 6, 7, 8 notatkikoncepcje zarządzania, wykład 1, 2, 3, 4, część wykładu 5 notatki najlepsza jakośćOPA wykład 2 notatkiMikrobiologia wykłady notatki z UM Łódźfizyka wyklad notatki[transport]Wyklad notatkiLogistyka wykład notatkiwięcej podobnych podstron