Równania konstytutywne
(równania materialne, związki fizyczne, związki fizykalne)
 definicje idealnych ośrodków ciągłych, postulowane na podstawie teoretycznych analiz, weryfikowane
doświadczalnie.
Z zestawu równań podstawowych Teorii Sprężystości definuje materiał  opis stanu geometrycznego i stanu
naprężenia jest jednakowy dla wszystkich ośrodków ciągłych.
Zależność stanu naprężenia w danej chwili od historii obciążenia  tzw. materiały z pamięcią.
Przykład: plastyczne płynięcie dla danej wartości � nie może znalez
ć odpowiadającej (jednoznacznej) wartości
� .
Klasa materiałów bez pamięci  materiałów sprężystych.
OŚRODEK (MATERIAA
) SPR
ZYSTY
Tensor naprężenia w ośrodku sprężystym zależy tylko od aktualnego stanu odkształcenia, nie zależy od historii
odkształcenia (bez pamięci)
�ij = f eij eij = g �ij
( ), %� ( )
%�
f i g - funkcje tensorowe, wzajemnie odwracalne na ogół nieliniowe
%� %�
Ośrodek (materiał) liniowo sprężysty:
�ij = Cijkl�kl
� a" �ij  tensor naprężeń Cauchy
%�
� a" �kl  tensor małych odkształceń
%�
Zapis absolutny: � = Cg� (działanie: zwężenia pełne, brak analogii w rachunku macierzowym)
%� %� %�
C a" Cijkl  tensor stałych sprężystych, tensor IV walencji, 81 składowych
%�
Z symetrii tensorów � , � (�ij = � , �kl = �lk ) wynikają tożsamości
ji
%� %�
Cijkl = Cjikl = Cjilk ,
pozostaje więc 36 niezależnych współrzędnych C
%�
Związek konstytutywny �ij = Cijkl�kl , obejmujący 36 stałych sprężystych, to tzw. uogólnione prawo Hooke a dla
ciał anizotropowych.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 04  str. 1
Przykład  efekt anizotropii (poza kursem WM)
Odkształcenie postaciowe  w tensorze odkształceń � niezerowa jedynie składowa �12
%�
Obecność w tensorze C niezerowej składowej C1112 powoduje, że �11 = C1112�12 `" 0
%�
Efekt ten nie jest możliwy w ośrodku izotropowym (w każdym kierunku własności materiału identyczne)
Notacja alternatywna:
�1 a" �11 �4 a" �23 = �32 �1 a" �11 �4 a" �23 = �32
�2 a" �22 �5 a" �31 = �13 �2 a" �22 �5 a" �31 = �13
�3 a" �33 �6 a" �12 = �21 �3 a" �33 �6 a" �12 = �21
W takiej postaci związki konstytutywne można podać w formie macierzowej
�K = CKL�L `" 0, K, L = 1,...,6
Macierz C = CKL zawiera 36 stałych sprężystych.
%�
Istnieje funkcja zwana potencjałem sprężystym Ś (inaczej energią właściwą odkształcenia sprężystego), w
najprostszej postaci wyrażona formą kwadratową
1
Ś= CKL�K�L
2
Z istnienia tej funkcji wynika CKL = CLK ,
tylko 21 niezależnych stałych.
Symetrie i wynikające z nich uproszczenia:
Trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny symetrii w każdym punkcie  ośrodek ortotropowy, macierz stałych
sprężystych w postaci
C11 C12 C13 0 0 0
�łłł
�łC C22 C23 0 0 0 śł
21
�łśł
�łC31 C32 C33 0 0 0 śł
C
�łśł
%� 0 0 0 C44 0 0
�łśł
�łśł
0 0 0 0 C55 0
�łśł
0 0 0 0 0 C66 �ł
�ł
12 niezależnych stałych, warunek CKL = CLK  9 stałych
Przykładowo: drewno o idealnej strukturze włóknistej.
Symetria obrotowa względem jednej osi (np. x3 )  izotropia poprzeczna, pozostaje 5 stałych sprężystych.
Pełna izotropia
 izotropowy tensor stałych sprężystych
Możliwa postać:
Cijkl = �ij�kl + b�ik� + c�il�
jl jk
 trzy stałe sprężyste
Uogólnione prawo Hooke a dla ciał izotropowych:
�ij = Cijkl�kl = �ij�kl + b�ik� + c�il� �kl = �ij�kk + b�ij + c� =
( )
jl jk ji
= �ij�kk + b + c �ij = �ij�kk + 2��ij
( )
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 04  str. 2
lub � = Itr� + 2��
%� %� %� %�
Liniowo-sprężyste prawo konstytutywne, ośrodek izotropowy  dwie stałe sprężyste, tzw. stałe Lame  i � 
postać � = f �
( )
%� %�
Zależności odwrotne � = g �
( )
%� %�
Relacja pomocnicza: tr� "! tr� :
%�
�ii = 3�kk + 2��ii = 3 + 2� �kk
( )%�
1
Stąd �kk = �ii
3 + 2�
1  1
Zatem �ij = �ij - �ij�kk
2� 2� 3 + 2�
Zależności między stałymi Lame  i � a stałymi technicznymi
E i � .
Zapis wskaz
nikowy związków konstytutywnych:
1
�11 = �ł -� �22 +�33 łł
( )�ł
11
�ł�
E
...
1+�
�12 = �21 �12
E
...
Zapis łączony:
1+� �
�ij = �ij - �ij�kk
E E
Zależności
1 1+� E
= �! � = = G
2� E 2 1+�
( )
 1 � E�
= �!  =
2� 3 + 2� E 1+� 1- 2�
( )( )
Bilans równań i niewiadomych zadania teorii sprężystości
Niewiadome:
symetryczny tensor naprężeń Cauchy � a" �ij  6 składowych
%�
symetryczny tensor małych odkształceń � a" �ij  6 składowych
%�
wektor przemieszczeń u a" uk  3 składowe
%�
razem 15 składowych
Zależności:
równania równowagi div� + �b = 0  3 równania
%� %� %�
1
związki geometryczne � = "u +"uT  6 równań
( )
%� 2 %� %�
prawa konstytutywne � = Itr� + 2��  6 równań
%� %� %� %�
razem 15 równań
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 04  str. 3