CABAN Piotr A-51

Równanie ruchu ciała o zmiennej masie

Można podać wiele przykładów ruchu ciał o zmiennej masie. Najczęściej wymienianym jest ruch wznoszącej się rakiety. Przyjmijmy, że rakieta startuje w chwili t=0 i wtedy jej prędkość wynosi zero a masa równa jest m_0. Masę rakiety po czasie  t od  chwili startu oznaczmy przez  m_r, a jej prędkość w nieruchomym układzie odniesienia przez  _r. Masę gazów wyrzucanych w czasie dt oznaczmy przez dm_g, a ich prędkość względem rakiety przez _gr. Zapiszmy pęd naszego układu  w chwilach czasu  t oraz  t+dt.

Pęd zapisujemy w nieruchomym układzie współrzędnych.

gdzie d _r  jest przyrostem prędkości rakiety.  Zmiana pędu rakiety  w odcinku czasu  dt  będzie

Zauważmy, że w wyrażeniu  (m_r - dm_g)  masa gazów wyrzucanych w czasie dt jest znacznie mniejsza niż masa całej rakiety i  może  być spokojnie pominięta.

Zmianę pędu możemy więc zapisać w prostszej formie

Skoro znamy wyrażenie na przyrost pędu (F=dp/dt) możemy, dzieląc obie strony wyrażenia przez przyrost czasu dt, zapisać drugą zasadę dynamiki dla naszego przypadku:

Równanie ruchu ma więc postać

W ten sposób sformułowaliśmy równanie ruchu dla ogólnego przypadku, kiedy masa ciała w czasie ruchu ulega zmianie, ubywająca masa odrzucana jest z prędkością _gr, a na ciało działa zewnętrzna siła F.  Zauważmy, że ilość wyrzucanych gazów dm_g/dt, pomnożona przez ich prędkość względem rakiety stanowi dodatkową siłę w naszym równaniu ruchu. To właśnie ta siła sprawia, że rakieta zwiększa swą prędkość, dlatego często nazywa się ja siła ciągu. Siła F  reprezentuje siły zewnętrzne działające na ciało. W naszym przypadku są to siły grawitacji i oporów ruchu działające w kierunku przeciwnym niż siła ciągu.

Zwróćmy także uwagę, że wyrażenie  dm_g/dt  to po prostu masa gazów wyrzucanych w jednostce czasu, którą możemy wyrazić na przykład w  kg/s.  Przyjmijmy, że przez cały czas lotu rakieta spala stałą ilość paliwa w jednostce czasu. Niech będzie to  dm_g/dt=n_g  kilogramów na sekundę. Masa rakiety w funkcji czasu t wyniesie wtedy

lub

gdzie wydzieliliśmy masę korpusu rakiety symbolem m_k  i początkową masę paliwa symbolem  m_0p.  Zauważmy również, że kiedy masa rakiety zmniejsza się w czasie ruchu, to jej ubytek dm_r równy jest masie wyrzucanych gazów, ale wzięty z przeciwnym znakiem czyli

Przyjmijmy teraz dla uproszczenia naszych rozważań, że siła ciągu jest o wiele większa od sił oporów ruchu i sił grawitacji . Wówczas w równaniu ruchu można pominąć siłę F otrzymując prostsze równanie

lub równoważne mu

Jest to równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, co umożliwia całkowanie niezależne lewej i prawej strony w granicach odpowiadających temu samemu przedziałowi czasu

W rezultacie otrzymujemy

W ten sposób uzyskujemy wzór na prędkość rakiety po czasie t.

Uzyskaliśmy słynny wzór Ciołkowskiego wyprowadzony na długo przed rozwojem techniki rakietowej.

1