Analiza matematyczna 2 Rudol opracowanie

Analiza matematyczna 2

Opracował: Kamil Le ˙zo ´n

19 sierpnia 2013

Całka Riemanna, sumy dolne i górny

Załó ˙zmy, ˙ze f jest funkcj ˛

a okre´slon ˛

a w przedziale domkni˛etym [a, b] i ograniczon ˛

a w tym prze-

dziale. Wobec tego istniej ˛

a liczby rzeczywiste m, M takie, ˙ze:

m ≤ f (x) ≤ M

(x ∈ [a, b])

Podzielmy przedział [a, b] na n dowolnych cz˛e´sci

a = x

< x

< ... < x

n−1

< x

= b

i oznaczmy ∆x

= [x

i−1

, x

]

, mamy wi˛ec

∆x

+ ∆x

+ ... + ∆x

= b − a

´Srednic ˛apodziału nazywamy długo´s´c najwi˛ekszego z odcinków ∆x

i oznaczamy δ

= max ∆x

Je ˙zeli

lim

n→∞

= 0

to podział nazywamy normalnym.
Niech

= sup

∆x

f (x)

= inf

∆x

f (x)

i niech ς

b˛edzie dowolnym punktem przedziału ∆x

, wówczas:

i=1

∆x

suma dolna

i=1

∆x

suma górna

i=1

f (ς

)∆x

suma przybli ˙zona całki

Je ˙zeli ci ˛

ag {σ

} odpowiadaj ˛

acy dowolnemu ci ˛

agowi normalnemu podziałów jest zbie ˙zny i to

zawsze do tej samej granicy to granic˛e t ˛

a nazywamy całk ˛

a oznaczon ˛

a Riemanna

dla funkcji f

w przedziale [a, b]

lim

n→∞

= lim

n→∞

i=1

f (ς

)∆x

f (x) dx

Ograniczono´s´c funkcji całkowalnych

Poniewa ˙z

m ≤ m

≤ f (ς

) ≤ M

≤ M

wi˛ec

m(b − a) ≤ s

≤ σ

≤ S

≤ M (b − a)

Przykład funkcji ograniczonej niecałkowalnej

Niech dana b˛edzie funkcja Dirichleta:

f (x) =

(

dla

x ∈

dla

x /

∈ Q

Wówczas

= 0

= 1

i=1

∆x

= 0

i=1

∆x

= b − a

Definicja całki dolnej i górnej

Ci ˛

agi {S

}, {s

} s ˛

a monotoniczne, gdy zwi˛ekszaj ˛

ac n zachowujemy poprzednie punkty po-

działu. Wobec tego ci ˛

agi te s ˛

a zbie ˙zne, jako ograniczone w my´sl nierówno´sci:

m(b − a) ≤ s

≤ σ

≤ S

≤ M (b − a)

Przy ka ˙zdym normalnym ci ˛

agu podziałów przedziału [a, b] istniej ˛

a granice lim s

oraz lim S

obie sa niezale ˙zne od obranego ci ˛

agu podziałów i oznaczamy je:

lim s

= lim

i=1

∆x

f (x) dx

całka dolna Darboux

lim S

= lim

i=1

∆x

f (x) dx

całka górna Darboux

Przy ka ˙zdym n zachodz ˛

a nierówno´sci:

≤

f (x) dx ≤

f (x) dx ≤ S

Kryterium Darboux

Gdy funkcja jest całkowalna to całki dolne i górne s ˛

a sobie równe i s ˛

a równe całce Riemanna z

tej funkcji.

Kryterium Riemanna

Całka

f (x) dx

istnieje, je ˙zeli ró ˙znica mi˛edzy sum ˛

a górn ˛

a a sum ˛

a doln ˛

a jest dowolnie mała,

tj. je ˙zeli dla ka ˙zdej liczby ε > 0 istnieje cho´c jedna taka para sum S

i s

, ˙ze S

− s

< ε

Wynika to z tego, ˙ze:

≤

f (x) dx ≤

f (x) dx ≤ S

wi˛ec

f (x) dx −

f (x) dx < ε

a poniewa ˙z ε jest dowolnie obran ˛

a liczb ˛

a dodatni ˛

a, nierówno´s´c ta jest równowa ˙zna równo´sci:

f (x) dx =

f (x) dx

a to oznacza całkowalno´s´c funkcji.

Całkowalno´s´c funkcji ci ˛

agłych

Niech funkcja f b˛edzie ci ˛

agła w przedziale [a, b], wówczas jest ona jednostajnie ci ˛

agła, wi˛ec

∀

ε>0

: ∃

δ>0

: ∀

x,y∈[a,b]

: |x − y| < δ : |f (x) − f (y)| <

b − a

Je´sli x

− x

i−1

= ∆x

< δ

to : M

− m

b−a

, wi˛ec:

− s

i=1

− m

)∆x

b − a

i=1

∆x

b − a

(b − a) = ε

St ˛

ad wynika, ˙ze całka górna ró ˙zni si˛e dowolnie mało od całki dolnej, zatem całki te s ˛

a równe,

a przez to całka Riemanna istnieje.

Pierwsze twierdzenie o warto´sci ´sredniej dla całek

inf

[a,b]

f (b − a) ≤

f (t)dt ≤ sup

[a,b]

f (b − a)

inf

[a,b]

f (x) ≤

b − a

f (t)dt ≤ sup

[a,b]

f (x)

gdzie:

b−a

f (t)dt

nazywamy ´sredni ˛

a całkow ˛

Twierdzenie mo ˙zemy sformuowa´c:
Dla funkcji f ci ˛

agłej

∃

c∈[a,b]

b − a

f (x)dx = f (c)

Dowód.

inf

[a,b]

f ≤ f (t) ≤ sup

[a,b]

Całkuj ˛

ac stronami:

inf

[a,b]

f (b − a) ≤

f (t) ≤ sup

[a,b]

f (b − a)

Twierdzenie Newtona - Leibniza

1. Dla f ∈ R[a, b] funkcja :

F (x) :=

f (t)dt

• jest ci ˛

agła w [a, b]

• je´sli f jest ci ˛

agła w x

∈ (a, b), to F jest ró ˙zniczkowalna w x

oraz F

) = f (x

)

2. Gdy f ∈ [a, b] oraz

f (x)dx = Φ(x) + C

, to :

f (t)dt = Φ(b) − Φ(a)

Dowód.
(1).
f

- ci ˛

agła w x

∈ (a, b) wi˛ec :

∀

ε>0

: ∃

δ>0

: |x − x

| < δ ⇒ |f (x) − f (x

)| < ε ⇒ f (x

) − ε < f (x) < f (x

) + ε

czyli:

F (x

+ h) − F (x

)

f (t)dt −

f (t)dt

f (t)dt +

f (t)dt −

f (t)dt

∈ [f (x

) − ε, f (x

) + ε]

gdy |h| < δ

(2).
F (x) = Φ(x) + C

bo z (1). wynika, ˙ze równie ˙z F jest funkcj ˛

a pierwotn ˛

a dla f

f (t)dt = 0 = F (a) = Φ(a) + C ⇒ C = −Φ(a)

bo F (x) :=

f (t)dt

f (s)ds = F (b) = Φ(b) + C = Φ(b) − Φ(a)

wi˛ec

f (t)dt +

f (s)ds =

f (t)dt = Φ(b) − Φ(a)

Kryterium porównawcze zbie˙zno´sci całki niewła´sciwej

Je ˙zeli ∀

t∈[a,b]

: |f (t)| ≤ g(t)

oraz

g(t)dt

jest zbie ˙zna, to:

f (t)dt

- jest zbie ˙zna

10.1

Całkowa nierówno´s´c trójk ˛

ata

Je ˙zeli a < b oraz f ∈ R[a, b] to:

f (t)dt| ≤

|f (t)|dt

Dowód.

∀

t∈[a,b]

: −|f (t)| ≤ f (t) ≤ |f (t)|

−

|f (t)|dt ≤

f (t)dt ≤

|f (t)|dt

10.2

Kryterium Cauchy’ego

∀

ε>0

: ∃

δ>0

: ∀

β,β

∈[b−δ,b]

f (t)dt

< ε

ale:

f (t)dt =

f (t)dt −

f (t)dt = F (β

) − F (β)

Wi˛ec mo ˙zemy zapisa´c:

∀

ε>0

: ∃

δ>0

: ∀

β,β

∈[b−δ,b]

F (β

) − F (β)

< ε

To jest wi˛ec warunek (wkw) istnienia:

lim

β→b

−

F (β)

10.3

Dowód kryterium porównawczego zbie˙zno´sci całki niewła´sciwej

Dowód. Stosujemy kryterium Cauchy’ego:
Dla danego ε > 0 dobieramy δ > 0 dla funkcji g
( ∃

ze zbie ˙zno´sci

g(t)dt

)

Z całkowej nierówno´sci trójk ˛

ata:

f (t)dt

≤

|f (t)dt| ≤

g(t)dt < ε

( Z warunku Cauchy’ego dla g, o ile a < b − ε < β < β

< b

Kryterium całkowe zbie˙zno´sci szeregów

Niech f b˛edzie funkcj ˛

a nieujemn ˛

a i malej ˛

ac ˛

a w przedziale [1, ∞) oraz a

= f (n)

, wtedy:

Szereg

∞

jest zbie ˙zny wtw, gdy

∞

f (x)dx

jest zbie ˙zna.

2. Ci ˛

ag {s

− I

} jest zbie ˙zny do granicy le ˙z ˛

acej w przedziale (0, a

)

, gdzie s

= a

+ ... + a

f (x)dx

Dowód.

f (x) ≤ a

dla

n ≤ x ≤ n + 1

f (x) ≥ a

dla

n − 1 ≤ x ≤ n

wi˛ec

n+1

f (x) dx ≤ a

n = 1, 2, ...

n−1

f (x) dx ≥ a

n = 2, 3, ...

St ˛

+ a

+ ... + a

≤

f (x)dx ≤ a

+ a

+ ... + a

n−1

czyli:

(∗) s

− a

≤

f (x)dx ≤ s

− a

Je ˙zeli całka I jest zbie ˙zna, to ci ˛

ag (I

)

jest ograniczony wi˛ec i ci ˛

ag (s

)

jest ograniczony,

a przez to zbie ˙zny. Je ˙zeli całka (I) nie istnieje, to ci ˛

ag (I

)

te ˙z, a przez to ci ˛

ag (s

n−1

)

jest

rozbie ˙zny.

2. Ci ˛

ag {s

− I

} jest malej ˛

acy

− I

) − (s

n−1

− I

n−1

) = a

−

n−1

f (x) dx ≤ 0

z (∗) dostajemy:

0 ≤ a

≤ s

− I

≤ a

Drugie twierdzenie o warto´sci ´sredniej dla całek (Wzór Bonneta)

Je ˙zeli f jest ci ˛

agła w [a, b], g jest monotoniczna w [a, b], to:

∃

c∈[a,b]

f (t)g(t)dt = g(a)

f (t)dt + g(b)

f (t)dt

Dowód.
W przypadku g ∈ C

[a, b] (∃

∈C[a,b]

)

Niech F - funkcja pierwotna dla f (F

= f

)

f (t)g(t)dt =

(t)g(t)dt = [F (t)g(t)]

b
a

−

F (t)g

(t)dt = [F (t)g(t)]

b
a

− F (c)

(t)dt =

= F (b)g(b) − F (a)g(a) − F (c)g(b) + F (c)g(a) = g(a)[F (t)]

c
a

+ g(b)[F (t)]

b
c

= g(a)

f (t)dt + g(b)

f (t)dt

Kryterium Dirichleta dla całek

Je´sli f, g : [a, b] → <, f - ci ˛

agła, g - monotoniczna,

lim

β→b

−

g(x) = 0

za´s

f (t)dt

s ˛

a wspólnie ograniczone dla a ≤ β < b (|

f (t)dt| ≤ M

) to:

f (x)g(x)dx

jest zbie ˙zna

Dowód.
Sprawdzimy warunek Cauchy’ego czyli czy :

∀

ε>0

: ∃

β<b

: ∀

β<β

<β

f (t)g(t)dt

< ε

Ze wzoru Bonneta:

f (t)g(t)dt

= g(β

)

f (t)dt + g(β

)

f (t)dt ≤ |g(β

f (t)dt

+ |g(β

f (t)dt

f (t)g(t)dt

≤ M

+ M

= ε

Twierdzenie o przyrostach dla funkcji o warto´sciach wektorowych
f : [a, b] → <

Je ˙zeli F : [a, b] → <

jest ci ˛

agła i ró ˙zniczkowalna w (a, b), to:

∃

c∈(a,b)

: ||F (b) − F (a)|| ≤ ||F

(c)||(b − a)

albo

||F (b) − F (a)|| ≤ sup

t∈(a,b)

: ||F

(t)||(b − a)

Dowód.
Niech L = F (b) − F (a)
Je ˙zeli L = 0 to teza zachodzi, załó ˙zmy zatem, ˙ze L 6= 0 oraz niech e :=

||L||

· ~

Mówimy, ˙ze wektor e jest jednostkowy, bo ||e|| = 1.
Zauwa ˙zmy, ˙ze ||L|| = L · e, bo L · e =

||L||

· L · L =

||L||

· ||L||

= ||L||

Niech

ϕ(t) = F (t) · e = F

(t)e

+ F

(t)e

+ ... + F

(t)e

gdzie F = (F

, F

, ..., F

), e = (e

, e

, ..., e

)

Funkcja ϕ jest ci ˛

agła na [a, b] i ró ˙zniczkowalna na (a, b), wi˛ec spełnia zało ˙zenia twierdzenia

Lagrange’a , wi˛ec:

∃

c∈(a,b)

ϕ(b) − ϕ(a)

b − a

= ϕ

(c)(b − a)

Widzimy, ˙ze:

(t) = F

(t) · e = F

(t)e

+ F

(t)e

+ ... + F

(t)e

wi˛ec:

ϕ(b) − ϕ(a) = F (b)e − F (a)e = (F (b) − F (a))e = L · e = ||L||

St ˛

||L|| = (ϕ

ale ||e|| = 1 czyli |F

(c)|| · 1

, wi˛ec:

||F (b) − F (a)|| ≤ ||F

(c)||(b − a)

Wzór na pochodn ˛

a długo´sci łuku krzywej

l(k) −

długo´s´c łuku krzywej

k : [a, b] → <

Je´sli a < c < b, to:

l(k|

[a,b]

) = l(k|

[a,c]

) + l(k|

[c,b]

)

Je ˙zeli krzywa k jest klasy C

tzn. k, k

s ˛

a ci ˛

agłe na [a, b], to dla

λ(x) = l(k|

[a,x]

)

mamy:

1. λ(x) < ∞ , czyli jest zbie ˙zna

d λ(x)

||k

(x)||

, czyli λ

) = ||k

)||

λ(a) = 0

, λ(b) - długo´s´c całej krzywej

λ(b) = λ(b) − λ(a) =

(t)dt =

(o ile zachodzi (2.))

||k

(t)||dt =

(t) + ... + k

(t)dt

Dowód.
(1.) Je´sli

a = t

< t

< ... < t

n−1

< t

= b

- podział [a, b]

to długo´s´c łamanej o wierzchołkach k(t

), k(t

), ..., k(t

)

wynosi:

(korzystamy z twierdzenia o przyrostach)

j=1

||k(t

) − k(t

j−1

)|| ≤ sup

t∈(a,b)

||k

(t)|| ·

j=1

− t

j−1

)

gdzie: sup

t∈(a,b)

||k

(t)|| < ∞

bo k

ci ˛

agła w[a, b]

oraz

n
j=1

− t

j−1

) = b − a

Wykazali´smy, ˙ze sup{l(k) k - łamana wpisana w krzyw ˛

a} ≤ sup ||k

(t)||(b − a) < ∞

(2.)

) = lim

h→0

l(k|

[a,x

+h]

) − l(k|

[a,x

]

)

dla h > 0 to:

l(k|

+h]

)

dla h < 0 to:

(l(k[a, x

− |h|] − k[a, x

])) =

|h|

· l[x

− |h|, x

] ≤

|h|

||k

)|| = ||k

)||

|h| - długo´s´c odcinka [x

, x

+ h]

|h|

· l(k|

+h]

) ≥ ||

k(x

) − k(x

+ h)||

· [λ(x

+ h) − k(x

)]

≤

[λ(x

+ h) − λ(x

)] ≤ ||k

)||

gdzie:

· [λ(x

+ h) − k(x

)]

przy h → 0 d ˛

a ˙zy do ||k

)||

oraz
||k

)||

(gdzie: x

< c

< x

+ h)

przy h → 0,

→ x

, x

- ci ˛

agła ⇒ k

) → k

)

Zatem z twierdzenia o trzech ci ˛

agach

(x) = ||k

(x)||

Wzór na długo´s´c łuku krzywej

Niech b˛edzie dana krzywa

(1) x = x(t),

y = y(t)

α ≤ t ≤ β

∆

= {α = t

< t

< ... < t

n−1

< t

= β}

= (x(t

), y(t

))

- wierzchołki łamanej wpisanej w krzyw ˛

= max

1≤i≤n

− t

i−1

)

(2) d

- długo´s´c łamanej wpisanej w krzyw ˛

a (1) odp. podziałowi ∆

k=1

k−1

| =

k=1

[x(t

) − x(t

i−1

)]

+ [y(t

) − y(t

i−1

)]

Je ˙zeli istnieje sko ´nczona granica

lim

n→∞

= d

i nie zale ˙zy ona od wyboru normalnego ci ˛

agu podziałów ∆

, to mówimy, ˙ze krzywa (1) jest

prostowalna

i jej długo´s´c jest równa d

{∆}

∞
1

- normalny ci ˛

ag podziałów ⇔ lim

n→∞

= 0

Przykład krzywej nieprostowalnej

Nie ka ˙zda krzywa jest prostowalna.
Krzywa Peano jako przykład krzywej nieprostowalnej.

Wahanie całkowite

BV - ( „Bounded variation”) - Funkcje o wahaniu sko ´nczonym.

(f ) := sup{

j=1

|f (t

) − f (t

j−1

dla ∆

= (a = t

< t

< ... < t

= b)

1. Gdy f spełnia warunek Lipschitza:

|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|

to f ma wahanie ograniczone:

(f ) ≤ L(b − a)

2. Gdy f ∈ C

[a, b]

, to

f ∈ BV [a, b] := {g : [a, b] ∈ < : V

(g) < ∞}

i wówczas :

(f ) =

(t)|dt

bo :

|f (t

) − f (t

j−1

)| =

gdzie:

- suma całkowa dla

(t)|dt

3. Gdy f jest niemalej ˛

aca, to

(f ) = f (b) − f (a)

4. Gdy f jest monotoniczna, to

(f ) = |f (b) − f (a)|

(f + g) ≤ V

(f ) + V

(g)

(f ) = 0 ⇔ f − const.

(c · f ) = |c| · V

(f )

BV [a, b]

jest przestrzeni ˛

a unormowan ˛

a z norm ˛

||f || = |f (a)| + V

(f )

Twierdzenie Hahna

f ∈ BV [a, b] ⇔ ∃

niemalej ˛

ace takie, ˙ze f = f

− f

Dowód.
(⇐) wynika z (3.) - oczywiste
(⇒)

Rozkład Hahna:

(x) =

(f (x) + V

(f ))

(x) =

(f ) − f (x))

⇒ f

(x) − f

(x) =

f (x) +

(f ) −

(f ) +

f (x) = f (x)

Sumy całkowe Stieltjesa

Twierdzenie.
Dla f ci ˛

agłej i dla normalnego ci ˛

agu podziałów (∆

)

∃ lim

n→∞

(f, ∆

) =

f dg

- całka Riemanna - Stieltjesa

gdy g ∈ C

, to:

f dg =

f (t)g

(t)dt

oraz zawsze

f dg

≤ sup

[a,b]

|f | − V

Przestrze ´n metryczna

21.1

Wst˛ep

- przestrze ´n wektorowa

norma

- długo´s´c wektora - ||x|| - spełnia warunki:

1. ||x|| = 0 ⇔ x = 0

2. ∀

α∈<

: ∀

x∈V

: ||α · x|| = |α| · ||x||

jednorodno´s´c

3. ∀

x,y∈V

: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

nierówno´s´c trójk ˛

ata

21.2

Przestrze ´n metryczna-definicja

Przestrze ´n metryczna - zbiór X z odwzorowaniem

d : X × X → <

= [0, +∞)

takim, ˙ze:

1. d(x, y) = 0 ⇔ x = y

2. d(x, y) = d(y, x)

symetria

3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

nierówno´s´c trójk ˛

ata

21.3

Twierdzenie o przestrzeni unormowanej (V, || ◦ ||)

Wzór

||x − y|| = d(x, y)

okre´sla metryk˛e

Dowód.

1. ||x − y|| = 0 ⇒ x − y = 0 (⇔ x = y)

2. d(y, x) = ||y − x|| = ||(−1)(x − y)|| = | − 1| · ||x − y|| = ||x − y|| = d(y, x)

3. d(x, z) = ||x − z|| = ||x − y + y − z|| ≤ ||x − y|| + ||y − z|| = d(x, y) + d(y, z)

Iloczyn skalarny zdefiniowany przez całk˛e

Iloczyn skalarny < f, g > dla f, g ∈ R[a, b], definiujemy jako:

< f, g >:=

f (t)g(t)dt

- w przypadku f, g : [a, b] → C

Porównanie norm :

Normy :

||f ||

|f (t)|dt

- taksówkowa

||f ||

|f (t)|

- euklidesowa (´sredniokwadratowa)

||f ||

∞

lub

||f ||

[a,b]

:= sup{|f (t)| : t ∈ [a, b]}

- supremowa

Nierówno´s´c Schwarza:

| < f, g > | ≤ ||f || · ||g||

Porównanie norm:

||f ||

|f (t)|

dt ≤

(b − a)(sup

[a,b]

|f (t)|)

√

b − a sup

[a,b]

|f (t)| = ||f ||

[a,b]

√

b − a

czyli: ||f ||

≤ ||f ||

[a,b]

√

b − a

||f ||

|f (t)| dt ≤ (b − a)(sup

[a,b]

|f (t)|) = (b − a)||f ||

[a,b]

czyli: ||f ||

≤ (b − a)||f ||

[a,b]

Ci ˛

agło´s´c funkcjonału:

(zbie ˙zno´s´c ci ˛

agu f

do f (´sredniokwadratowa))

Ci ˛

ag f

∈ R[a, b] taki, ˙ze ||f

− f

→ 0

−

− f

)

≤

√

b − a||f

− f

→ 0

Całkowanie szeregu wyraz po wyrazie

Niech b˛edzie dany szereg funkcyjny:

∞

n=1

(x) = f (x)

Je ˙zeli szereg ten jest jednostajnie zbie ˙zny w przedziale [a, b] i wyrazy f

s ˛

a w tym przedziale

całkowalne, to suma f te ˙z jest całkowalna i:

f (x) dx =

∞

n=1

(x) dx

Przestrze ´n metryczna zupełna

Przestrze ´n metryczna (X, d) jest zupełna gdy ka ˙zdy ci ˛

ag x

⊂ X spełniaj ˛

acy nast˛epuj ˛

acy

"warunek Cauchy’ego"

∀

ε>0

: ∃

M ∈ℵ

: ∀

n,k≥M

M < n < k : d(x

, x

) < ε

jest zbie ˙zny

(∃

∈X

: d(x

, x

) → 0 (n → ∞)

= lim x

))

Przestrze ´n Banacha

Przestrze ´n Banacha - przestrze ´n unormowana, zupełna, wzgl˛edem metryki:

d(x, y) := ||x − y||

Zupełno´s´c przestrzeni C[a, b] oraz M (Ω) z norm ˛

a supremow ˛

Ω

- zbiór

M (Ω) = {f : Ω →

C ||f ||

Ω

< ∞}

||f ||

Ω

< ∞

czyli f - ograniczona

M (Ω)

z norm ˛

a || ||

Ω

jest przestrzeni ˛

a Banacha

Gdy Ω metryczna, to przestrze ´n

(Ω) =

C(Ω) ∩ M (Ω)

z norm ˛

a || ||

Ω

jest te ˙z zupełna

Dowód.
Wystarczy dla ciagu f

∈ M (Ω) takiego, ˙ze :

(∗) ∀

ε>0

: ∃

: ∀

n,k≥M

: ||f

− f

Ω

< ε

Znale´z´c f ∈ M (Ω) : ||f

− f ||

→ 0

czyli f

) f

jednostajnie zbie ˙zny do f )

Ustalmy t ∈ Ω, chcemy sprawdzi´c czy

∃f (t) = lim

n→∞

(t)

Zatem dla n, k ≥ M

(t) − f

(t)| ≤ ||f

− f

Ω

< ε

Z warunku (∗) mamy :

∀

s∈Ω,n,k≥M

: |f

(s) − f

(s)| < ε

lim

k→∞

(s) = f (s)

(s) − f (s)| ≤ ε

przechodz ˛

ac do kresu po s ∈ Ω mamy:

||f

− f ||

Ω

≤ ε

∀

n≥M

mamy:

|| ||

Ω

|f (s)| ≤ |f

(s)| + |f (s) − f

(s)|

gdzie: |f (s) − f

(s)| = ε

(s)| ≤ ||f

Ω

< ∞

||f ||

Ω

≤ ||f

Ω

+ ε

∀

n≥M

⇒ f ograniczona

Gdy f

s ˛

a ci ˛

agłe f

) f ⇒ f

ci ˛

agła ⇒ zupełno´s´c C

(Ω)

oraz M (Ω)

Zbie˙zno´s´c szeregów bezwzgl˛ednie zbie˙znych w przestrzeni Ba-
nacha

Szeregiem

∞

n=1

w przestrzeni unormowanej, nazywamy ci ˛

ag : S

n=1

k ∈ ℵ

Mówimy, ˙ze

∞

n=1

jest zbie ˙zny, oraz S =

∞

n=1

gdy:

∃

S∈X

: lim

k→∞

||S

− S|| = 0

Szereg jest bezwgl˛ednie zbie ˙zny, gdy

∞

n=1

||x

|| < ∞

Twierdzenie:
W przestrzeni Banacha szeregi bezwgl˛ednie zbie ˙zne s ˛

a zbie ˙zne

Dowód.
Niech m > k, wówczas :

||S

− S

|| = ||

j=1

−

j=1

|| = ||

j=k+1

Z nierówno´sci trójk ˛

ata dla || k :

j=k+1

|| ≤

j=k+1

||x

|| = σ

−σ

−→

m,k→∞

(

tzn. jest < ε dla dostatecznie du ˙zych m, k)

Gdy przyjmiemy:

n=1

||x

Test majorant Weierstrassa

Gdy f

: Ω →

s ˛

a ograniczone oraz ∃

≥0

stałe takie, ˙ze:

∀

x∈Ω

(x)| ≤ M

oraz

< ∞

to:

∞

n=1

(x)

jest jednostajnie zbie ˙zny

Dowód.
Z zupełno´sci (M (Ω), || ||

Ω

)

i z twierdzenia o zbie ˙zno´sci szeregów bezwzgl˛ednie zbie ˙znych w

przestrzeni Banacha wystarczy, by

||f

Ω

< ∞

Ale z zało ˙zenia

||f

Ω

≤ M

Czyli teza wynika z kryterium porównawczego dla szeregów liczbowych.

13, 14

Szereg pot˛egowy

Szereg postaci

∞

n=0

(z − z

)

nazywa si˛e szeregiem pot˛egowym o współczynnikach a

, o ´srodku w z

30.1

Promie ´n i koło zbie˙zno´sci

Szereg pot˛egowy

∞

n=0

(z − z

)

jest dla promienia R =

1
g

(gdzie g = lim

n→∞

sup

|), zbie ˙zny w kole K := {z : |z −z

| < R}

jednostajnie wraz z pochodnymi

Zbie˙zno´s´c jednostajna wraz z pochodnymi na zwartych podzbio-
rach koła zbie˙zno´sci

Uwaga:
Zbiór punktów zbie ˙zno´sci ci ˛

agu funkcyjnego (f

) f

: Ω →

to zbiór {x ∈ Ω : ∃

lim f

(x)

}

Wyka ˙zemy, ˙ze dla szeregów pot˛egowych zawsze ∃

R∈[0,∞)

takie, ˙ze zbiór p. zbie ˙zno´sci zawiera

koło K(z

, R)

i gdy

(z − z

)

jest zbie ˙zny, to : |z − z

| ≤ R

Twierdzenie:
Zało ˙zenia: f

, f ∈ C

[a, b] f

(a) → f (a)

oraz f

jest zbie ˙zny jednostajnie

(tzn. ∃

g∈C[a,b]

: f

) g

na [a, b])

Teza:

1. f

jest zbie ˙zny jednostajnie w [a, b] oraz (lim f

)

= g (= lim f

)

2. Punkt 13. w zag. prof. Rudola ( zupełno´s´c C

[a, b]

)

[a, b]

jest przestrzeni ˛

a Banacha (wzgl˛edem normy || ||

[a,b]

)

Dowód.
*

)

- jednostajnie zbie ˙zny

(1.) Sprawdzamy warunek Cauchy’ego

||f ||

[a,b]

= |f (a)| + ||f

[a,b]

Dla: f

(x) − f

(x) = f

(a) − f

(a) +

(t) − f

(t)]dt

) g ⇒

spełnia warunek Cauchy’ego dla

|| ||

[a,b]

⇒ ∃

: ∀

m,k≥M

: ∀

t∈[a,b]

: |f

(t) − f

(t)| < ε

(x) − f

(x)| ≤ |f

(a) − f

(a)| + (b − a)||f

− f

|| ≤ [1 + (b − a)]||f

− f

[a,b]

przechodz ˛

ac do supremum

||f

− f

[a,b]

≤ [1 + (b − a)]||f

− f

[a,b]

czyli jest zbie ˙zny jednostajnie ⇒
z zupełno´sci C[a, b] ⇒ ∃

f :f

Teraz sprawdzamy czy f jest ró ˙zniczkowalna

(x) = f

(a) +

(t) dt

poniewa ˙z f

) g

f (x) = f (a) +

g(t) dt

poniewa ˙z g jest ci ˛

agła, wi˛ec

g(t) dt = g(x)

czyli ∃

(x)=g(x)

(2.) Zupełno´s´c C

[a, b]

Gdy f

- ci ˛

ag Cauchy’ego w C

[a, b]

, to (f

)

jest ci ˛

agiem Cauchy’ego w C[a, b] wzgl˛edem || ||

[a,b]

(⇒ z zupełno´sci C[a, b]) ∃

g:f

Natomiast

(a) − f

(a)| ≤ ||f

− f ||

[a,b]

−→

n,k→∞

0 ⇒

warunek Cauchy’ego dla ci ˛

agu (f

(a)) ⇒

⇒ (f

(a))

zbie ˙zny, a reszta wynika z tezy (1.)

Twierdzenie Abela

Gdy

∞

n=0

(x − x

)

jest zbie ˙zny dla |x − x

| < R oraz dla pewnego x

S(x

) =

∞

n=0

− x

)

jest zbie ˙zny, za´s |x

− x

| = R, to zbie ˙zno´s´c jest jednostajna na promieniu

+ Θ(x

− x

) : Θ ∈ [0, 1]}

w szczególno´sci

lim

r→1

−

∞

n=1

(r(x

− x

))

= S(x

)

Gdy np. x

= 0, x

= 1

, to

lim

r→1

−

∞

n=0

∞

n=0

Dowód.
Dla x

= 0, x

= 1, R = 1

Wystarczy wykaza´c dla x ∈ [0, 1] zbie ˙zno´s´c jednostajn ˛

Przez warunek Cauchy’ego warto´s´c

n=k+1

ma by´c jednostajnie mała dla x ∈ [0, 1], k, m - dostatecznie du ˙zych.

= A

− A

n−1

j=k

n=k+1

| = |c

k+1

+ c

k+2

+ ... + c

| =

= |(A

k+1

− A

k+1

+ (A

k+2

− A

k+1

k+2

+ ... + (A

− A

m−1

| =

= |A

(−x

k+1

) + A

k+1

− x

k+2

) + ... + A

)| ≤

≤ |A

k+1

| + |A

k+1

|(x

k+1

− x

k+2

) + ... + |A

ze zbie ˙zno´sci

⇒ |A

| < ε dla n dostatecznie du ˙zych (warunek Cauchy’ego dla ci ˛

agu

)

≤ ε(x

k+1

− (x

k+1

− x

k+2

) + ... + x

m−1

− x

+ x

) = ε · 2x

k+1

≤ 2ε

Zastosowanie do przedstawienia ln 2

f (x) =

∞

n=0

zbie ˙zny w (−R, R) oraz w punkcie R, to funkcja ci ˛

agła w (−R, R]

f (R) = lim

r→R

−

= f (r)

Niech

ln(1 + x) =

∞

n=1

(−1)

n+1

x = 1 = R ⇒

ln 2 = lim

r→1

−

ln(1 + x) =

∞

n=1

(−1)

n+1

Zbiór zwarty

Zbiór K w przestrzeni metrycznej (X, d) jest (ci ˛

agowo) zwarty, gdy ka ˙zdy ci ˛

ag o wyrazach

∈ K zawiera podci ˛

ag zbie ˙zny.

Warunek pokry´c sko ´nczonych

Rodzina zbiorów A

⊂ X, j ∈ J jest pokryciem zbioru K, gdy

K ⊂

[

j∈J

Przestrze ´n X jest zwarta, gdy z ka ˙zdego pokrycia otwartego X mo ˙zna wybra´c pokrycie sko ´n-
czone.

Dowód.

[a, b] ⊂

[

j∈J

- otwarte w < wzgl. metryki |s − t| = d(s, t)

M = {t ≤ b : [a, t]

ma pokrycie sko ´nczone zbioru A

} 6= ∅ ⇒ a ∈ M ⇒ ∃

a ∈ A

otwarty ⇒ ∃

ε>0

: a +

∈ M

Niech s = sup M to wykazujemy, ˙ze s ∈ M oraz s = b

∃

∗

∈J

: s ∈ A

∗

⊃ (s − δ, s + δ)

dla pewnego δ > 0

s −

< s ⇒ [a, s −

]

czyli ma pokrycie sko ´nczone A

∪ ... ∪ A

Gdyby s ⊂ b bior ˛

ac 0 < δ < b − s

[a, s +

] ⊂ A

∪ ... ∪ A

∪ A

∗

−

pokrycie sko ´nczone

⇒ s +

∈ M

co jest sprzeczne z def. sup M = s

Ograniczono´s´c i domkni˛eto´s´c f. ci ˛

agłych na zbiorach zwartych

Zbiór zwarty w przestrzeni metrycznej jest domkni˛ety i ograniczony w <

Dowód ograniczono´sci zbioru zwartego K.
Ustalmy x

∈ K

[

n∈ℵ

K(x

, n

) = X ⊃ K

ze zwarto´sci

∃

,...,n

: k < ∞ : K ⊂ K(x

, n

) ∪ K(x

, n

) ∪ ... ∪ K(x

, n

) = K(x

, max n

) < ∞, j ≤ k

Pochodna zespolona

Ω ⊂

- otwarty

f : Ω →

ma pochodn ˛

a zespolon ˛

a w punkcie z

∈ Ω, je ˙zeli istnieje granica:

) = lim

z→z

f (z) − f (z

)

z − z

Wówczas

(n)

) = (f

(n−1)

)

Funkcja analityczna

Ω ⊂

- otwarty

f : Ω →

jest analityczna, gdy

∀

∈Ω

: ∃

∈

C : f (z) =

∞

n=0

(z − z

)

dla:

|z − z

| < r

jest ró ˙zniczkowalna w sensie zespolonym w ka ˙zdym punkcie z

∈ Ω

Całka z funkcji zmiennej zespolonej wzdłu˙z krzywej

Zało˙zenia: k : [a, b] → C

jest krzyw ˛

a kawałkami klacy C

k(t) = x(t) + iy(t)

x, y

- funkcje klasy C

na odcinkach [t

j−1

, t

]

pewnego sko ´nczonego podziału : a = t

< t

< ... < t

= b

- zamknieta, gdy k(a) = k(b)

- krzywa jordana, gdy jest zamkni˛eta i k|

[a,b]

- iniekcja

(t) = x

(t) + iy

(t) =

Gdy f ma pochodn ˛

a zespolon ˛

) = lim

z→z

f (z) − f (z

)

z − z

w z

= k(t

)

, to

f (k(t))

) = f

(k(t)) · k

(t)

dowód identyczny jak w <

(k(t))k

(t) dt = F (k(t)) − F (k(t))

Gdy ∃

(z)

: ∀

z∈k[a,b]

, to

k ◦ τ = δ

τ : [a, b]

bijekcja rosn ˛

aca kawałkami C

, to nasza całka równa si˛e

(δ(t))δ

(t) dt

∗

- "krzywa skierowana"(całka krzywoliniowa)

- jaka´s jej parametryzacja

Wtedy całka po zbiorze k

∗

f (z)dz =

f (k(t))k

(t)dt

gdy k

∗

= k[a, b]

k(a)

- pocz ˛

atek k

−k

∗

- krzywa skierowana przeciwnie (o ko ´ncu w k(a) i pocz ˛

atku w k(b))

−k

∗

ma np. parametryzacj˛e

δ(t) = k(b + t(a − b))

t ∈ [0, 1]

Wówczas:

−k

∗

f (z) dz = −

∗

f (z) dz

Mo ˙zna oszacowa´c :

∗

f (z) dz

≤ sup

z∈k

∗

|f (z)| − l(k)

gdzie l(k) - długo´s´c krzywej

(x(t) + iy(t)) dt =

x(t)dt + i

y(t) dt

Twierdzenie o warunkach równowa˙znych analityczno´sci

Niech Ω ⊂ C - otwarty
Dla f : Ω → C ci ˛

agłej, nast˛epuj ˛

ace warunki s ˛

a równowa ˙zne:

1. f jest analityczna w Ω

2. Gdy {z : |z − z

| < R} ⊂ Ω, to f (z) jest postaci

∞

n=0

(z − z

)

dla |z − z

| < R

k∗

f (z)dz = 0

dla ka ˙zdej krzywej (zamkni˛etej) Jordana k∗ ⊂ Ω, takiej ˙ze wn˛etrze k

zawiera si˛e w Ω

4. ∀

z∈Ω

∃

(z)

ró ˙zniczkowalna w całym obszarze.

Twierdzenie Liouville’a

41.1

Nierówno´s´c Cauchy’ego

Niech f (z) - analityczna, ograniczona : |f (z)| ≤ M , wówczas:

(n)

)| ≤ M

41.2

Twierdzenie Liouville’a

Gdy f : C → C analityczna i ograniczona to f jest stała.

Dowód. Niech

f (z) =

∞

n=0

oraz

∀

|z−z

|≤R

: |f (z)| ≤ M

to z nierówno´sci Cauchy’ego:

|f (z)| ≤ M ⇒ |f

)| ≤

−→

(R→∞)

0 ⇒ ∀

: f

) = 0

a zatem f (z) jest stała.

Zasadnicze twierdzenie algebry

Ka ˙zdy wielomian stopnia dodatniego ma co najmniej jeden pierwiastek.

Dowód nie wprost.
Załó ˙zmy, ˙ze wielomian W (z) stopnia dodatniego nie ma punktu zerowego.
Wówczas jego odwrotno´s´c

f (z) =

W (z)

byłaby funkcj ˛

a analityczn ˛

Poniewa ˙z

lim

z→∞

W (z) = ∞

,to lim

z→∞

f (z) = 0

A zatem f (z) byłaby ograniczona i zgodnie z tw. Liouville’a - stała.
St ˛

ad W (z) równie ˙z byłby stały, wbrew zało ˙zeniu, ˙ze to wielomian stopnia dodatniego.

Zatem na mocy dowodu nie wprost udowodnili´smy, ˙ze W (z) ma przynajmniej jedno miejsce
zerowe.

Twierdzenie Pitagorasa

Je ˙zeli : x ⊥ y

to:

||x + y||

= ||x||

+ ||y||

Dowód.

x ⊥ y ⇒< x, y >= 0

||x+y||

=< x+y, x+y >=< x, x > +2 < x, y > + < y, y >=< x, x > + < y, y >= ||x||

+||y||

Definicja rzutu prostopadłego

Rzutem prostopadłym P

wektora x ∈ H na zbiór wypukły, domkni˛ety M nazywamy taki

wektor y, ˙ze:

(

y ∈ M
∀

m∈M

||x − y|| ≤ ||x − m|| = inf

m∈M

||x − m|| = dist(x, M ) = δ

Równowa˙zno´s´c warunku minimalnej odległo´sci z warunkiem pro-
stopadło´sci

Gdy M jest podprzestrzeni ˛

a liniow ˛

a, to:

x = y ⇔

(

y ∈ M
∀

m∈M

: x − y ⊥ M

Dowód.
Dygresja:
Zbiór M ⊂ H jest wypukły, gdy wraz z dowoln ˛

a par ˛

a punktów x, y ∈ M , zbiór M zawiera

odcinek

[x : y] = {x + t(y − x) : t ∈ [0, 1]}

Przechodz ˛

ac do dowodu:

y, m ∈ M ⇒

prosta wyznaczona przez te punkty zawiera si˛e w M

∀

: f (t) = ||x − [y + t(m − y)]||

osi ˛

aga minimum dla t = 0

f (t) = ||(x − y) + t(y − m)||

= ||x − y||

+ 2t<e < x − y, y − m > +t

||y − m||

(0) = 0

(0) = 2<e < x − y, y − m >

co ko ´nczy dowód w przypadku rzeczywistym, bo

y ∈ M ⇒ {y − m : m ∈ M } = M

Gdy

< x − y, y − m >= <e

iϕ

to dla

(y − m)e

−iϕ

= y − m

0 = <e < x − y, y − m

>= <e(R · e

iϕ

· e

iϕ

) = <e · R = R

x − y ⊥ m

||x − m||

= ||x − y + y − m||

= ||x − y||

+ ||y − m||

≥ ||x − y||

⇒

minimalno´s´c ||x − m||

dla m = y

Nierówno´s´c Bessela

Maj ˛

ac szereg Fouriera:

f =

j∈

(f )e

gdzie:

(f ) =< f, e

< S

, e

j=−k

(f ) < e

, e

>= c

(f )

wówczas:

< S, e

>=< f, e

odejmuj ˛

ac stronami : < s − f, e

>= 0

czyli S − f ⊥ e

, a w konsekwencji:

f − S

⊥ S

Z twierdzenia Pitagorasa :

||f ||

= ||f − S

+ ||S

≥ ||S

j=−k

(f )|

Czyli st ˛

ad otrzymujemy nierówno´s´c Bessela:

j∈J

| < f, e

> |

≤ ||f ||

Ortogonalno´s´c układu trygonometrycznego

Układ trygonometryczny

(1, cos(nt), sin(nt))

jest zupełny i ortogonalny. Normy jego elementów s ˛

a stałe i równe

√

−π

|f (t)|

dt =

∞

gdzie

S|f |(t) =

∞

cos(nt) + b

sin(nt)

Dygresja:
Dwie funkcje f (x) i g(x) okre´slone w [a, b] nazywamy funkcjami ortogonalnymi w tym prze-
dziale je ˙zeli :

f (x)g(x) = 0

Układ trygonometryczny

1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ..., cos(nt), sin(nt)

w przedziale [−π, π] jest ortogonalny, wynika to z :

−π

cos(nx) dx =

sin(nx)

−π

= 0

−π

sin(nx) dx = −

cos(nx)

−π

= 0

−π

sin(nx) cos(mx) dx =

−π

[sin(n + m)x + sin(n − m)x]dx = 0

−π

cos(nx) cos(mx) dx =

−π

[cos(n + m)x + cos(n − m)x]dx = 0

−π

sin(nx) sin(mx) dx =

−π

[cos(n − m)x + cos(n + m)x]dx = 0

dla n 6= m

Szereg Fouriera - wzory na współczynniki

Podstawowa idea le ˙z ˛

aca u podstaw teorii szeregów Fouriera, polega na u ˙zyciu powy ˙zszych

zwi ˛

azków ortogonalno´sci w celu wyra ˙zenia dowolnej funkcji okresowej f o okresie 2π poprzez

niesko ´nczony szereg sinusów i cosinusów tzn.:

f (x) =

∞

m=1

cos(mx) + b

sin(mx)

W celu wyznaczenia współczynników a

n ∈ ℵ

pomnó ˙zmy obie strony przez cos(nx), a

nast˛epnie przecałkujmy obie strony na przedziale [−π, π]. Korzystaj ˛

ac ze zwi ˛

azków ortogonal-

no´sci dostajemy:

−π

f (x) cos(nx) dx =

−π

cos(nx) dx +

∞

m=1

−π

cos(mx) cos(nx) dx + b

−π

sin(mx) cos(nx) dx

= πa

wi˛ec

−π

f (x) cos(nx) dx

podobnie mno ˙z ˛

ac obie strony przez sin(nx), a nast˛epnie całkuj ˛

ac obie strony na przedziale

[−π, π]

i korzystaj ˛

ac ze zwi ˛

azków ortogonalno´sci dostajemy:

−π

f (x) sin(nx) dx

Równie ˙z widzimy, ˙ze:

−π

f (x) dx

48.1

Posta´c zespolona szeregu Fouriera

Szeregi Fouriera wyra ˙za si˛e cz˛esto w postaci szeregów funkcji eksponencjalnych zamiast sze-
regów sinusów i cosinusów. W celu ich wyprowadzenia przypomnijmy wzór Eulera:

iϕ

= cos ϕ + i sin ϕ

dla

ϕ ∈ <

−iϕ

= cos ϕ − i sin ϕ

dla

ϕ ∈ <

St ˛

ad dostajemy:

cos ϕ =

iϕ

+ e

−iϕ

sin ϕ =

iϕ

− e

−iϕ

) =

−i

iϕ

− e

−iϕ

)

Zatem

f (x) =

∞

n=1

cos(nx) + b

sin(nx)) =

∞

n=1

cos(nx) + b

sin(nx)) =

∞

n=1

− ib

inx

+ ib

−inx

∞

n=−∞

f (n)e

inx

gdzie:

f (0) =

, ˆ

f (n) =

(

−ib

dla

n ∈ ℵ

+ib

dla n ∈ −ℵ

)

ale a

−π

f (x) cos(nx)dx

, wi˛ec:

f (n) =

2π

−π

f (x)e

−inx

dx,

n ∈

Twierdzenie Dirichleta

Gdy f ma wahanie ograniczone (tzn. f jest ró ˙znic ˛

a dwóch funkcji niemalej ˛

acych) w otoczeniu

, to :

f ](x) = (

cos(kx) + b

sin(kx))

zmierzaj ˛

a do:

f (x) =

f (x + 0) + f (x − 0)

(= f (x)

w punktach nieci ˛

agło´sci)

Innymi słowy:
Je ˙zeli funkcja f (x) o okresie 2π jest przedziałami monotoniczna i ma conajwy ˙zej sko ´nczon ˛

ilo´s´c punktów nieci ˛

agło´sci to jej szereg Fouriera w punktach ci ˛

agło´sci ma sum˛e f (x

)

, a w

punktach nieci ˛

agło´sci

f (x

) = lim

x→x

f (x

+
0

) + f (x

−
0

)

Twierdzenie Fejera

(x) =

j=1

cos(jt) + b

sin(jt)

−π

f (x) cos(nx)dx

−π

f (x) sin(nx)dx

(x) =

−π

f (x)

St ˛

ad dostajemy:

(x) =

−π

f (t)





j=1

cos(jx) cos(jt) + sin(jx) sin(jt)





Ze wzorów trygonometrycznych:

(x) =

−π

f (t)





j=1

cos j(x − t)dt





Okre´slmy j ˛

adro Dirichleta :

Przypomnijmy wzór trygonometryczny:

+ cos x + cos 2x + ... + cos nx =

sin(

2n+1

2 sin

x
2

Mamy:

j=1

cos j(x) =

sin(

2n+1

2 sin

x
2

= D

(x) −

j ˛

adro Dirichleta

Wi˛ec

(x) =

f (t)D

(t − x)dt =

Podstawiaj ˛

ac s = t − x, ds = dt

x+π

x−π

f (x + s)D

(s)ds =

z okresowo´sci

f (x + s)D

(s)ds

ale

−π

−

−π

oraz

(t) = −D

(−t)

wi˛ec

(x) =

f (x + t)D

(t)dt +

f (x − t)D

(t)dt =

(f (x + t) − f (x − t)) D

(t)dt

Zauwa ˙zmy te ˙z, ˙ze :

(x)dx =

j=1

cos j(x)dx =

dx =

Okre´slmy teraz j ˛

adro Fejera:

(x) =

+ ... + D

(x)

n + 1

Wtedy

(x) =

[f (x + t) + f (x − t)] ·

+ ... + D

(x)

n + 1

dx =

[f (x + t) + f (x − t)] · K

(x)dx

Przypomnijmy:

(x) =

sin(

2n+1

2 sin

Ze wzoru:

sin x + sin 3x + ... + sin(2n − 1)x =

sin

sin x

dostajemy:

(x) =

sin

(

2n+1

(n + 1)(2 sin

2 x

)

(x)dx =

oraz

(x)dx =

wi˛ec, gdy f ci ˛

agła, to

(x) − f (x) =

[f (x + t) + f (x − t)] · K

(x)dx

TWIERDZENIE FEJERA:
Dla funkcji f ci ˛

agłej i okresowej w przedziale [−π, π], ci ˛

ag sum Fejera:

(x) =

n + 1

(x) + ... + S

(x))

jest zbie ˙zny jednostajnie do f

Z tego wynika zupełno´s´c układu trygonometrycznego
Dowód:
f

jest jednostajnie ci ˛

agła.

Niech ε > 0 i niech δ ∈ (0, 1) b˛edzie tak ˛

a liczb ˛

a, ˙ze |x

− x

| < δ ⇒ |f (x

) − f (x

)| < ε

Niech M b˛edzie tak ˛

a liczb ˛

a, ˙ze ∀

x∈<

: |f (x)| ≤ M

, mamy:

|σ

(x) − f (x)| =

(f (x − t) + f (x + t))K

(x) dx

≤

(f (x − t) + f (x + t))K

(x) dx

(f (x − t) + f (x + t))K

(x) dx

≤

2M K

(x) dx

2M K

(x) dx

≤

(n + 1)π

sin

(

2n+1

(sin

2 x

)

(n + 1)π

sin

(

2n+1

(sin

2 x

)

−→ 0 przy n → ∞

Zbie˙zno´s´c szeregu Fouriera

Niech ci ˛

ag e

(x), e

(x), ...

b˛edzie ortogonalny, czyli

< e

, e

(x)e

(x) dx = 0

∀

i6=j

Wówczas szereg Fouriera ma posta´c:

f ∼

∞

k=1

< f, e

< e

, e

(x)

gdzie : ˆ

f =

<f,e

to współczynniki Eulera - Fouriera

Zbie˙zno´s´c

Zbie ˙zno´s´c szeregu Fouriera, to zbie ˙zno´s´c ci ˛

agu P

gdzie:

f =

j=1

< f, e

> e

oraz

(f − P

f ) ⊥ e

Dowód zbie ˙zno´sci:

||P

f − P

f ||

z tw. Pitagorasa =

|k|=N +1

| < f, e

> |

||e

→ 0

bo z nierówno´sci Bessela szereg

∞

−∞

|| ˆ

f (x)e

jest zbie ˙zny
To˙zsamo´s´c Parsevala

k=−N

| < f, e

> |

||e

= ||P

f ||

→ z ci ˛

agło´sci normy → ||f ||

−π

(x)dx =

∞

k=1

2
k

+ b

2
k

)

Albo inaczej:
Z nierówno´sci Bessela:

j∈J

| < f, e

> |

≤ ||f ||

oraz z ci ˛

agło´sci normy dostajemy to ˙zsamo´s´c Parsevala:

j∈J

| < f, e

> |

= ||f ||

Granice- definicje

Zbiór G ⊂ <

jest otwarty, gdy

∀

∈G

: ∃

r>0

: ||P − P

|| < r ⇒ P ∈ G

Definicja granicy ci ˛

agu

Niech f : G ⊂ <

→ <

Je´sli P

jest punktem skupienia znioru G ( ∃

∈G\{P

}

: P

→ P

), to g ∈ <

jest granic ˛

a funkcji

w punkcie P

g = lim

P →P

f (P )

gdy

∀

ε>0

: ∃

δ>0

: ∀

P ∈G

: 0 < ||P − P

|| < δ ⇒ ||f (P ) − g|| < ε

Przypadek f : <

→ <

Niech P = (x, y), P

= (x

, y

), P

= (x

, y

)

, wówczas:

lim

P →P

f (P )

nazywamy granic ˛

a podwójn ˛

Dla ustalonego y mo ˙zna rozwa ˙zy´c funkcj˛e jednej zmiennej x 7→ f (x, y), wtedy:

ϕ(y) := lim

x→x

f (x, y)

nazywamy granic ˛

a cz˛e´sciow ˛

Podobnie dla ustalonego x mo ˙zemy rozwa ˙zy´c funkcj˛e y 7→ f (x, y) , wtedy

Ψ(x) := lim

y→y

f (x, y)

te ˙z nazywamy granic ˛

a cz˛e´sciow ˛

Granic˛e

lim

y→y

ϕ(y) = lim

y→y

lim

x→x

f (x, y)

nazywamy granic ˛

a iterowan ˛

, podobnie jak

lim

x→x

Ψ(x) = lim

x→x

lim

y→y

f (x, y)

Twierdzenie o granicy podwójnej

Gdy istnieje granica podwójna

lim

(x,y)→(x

)

f (x, y)

oraz istnieje granica cz˛e´sciowa

Ψ(x) = lim

y→y

f (x, y)

to istnieje granica iterowana lim

x→x

Ψ(x)

równa:

lim

x→x

Ψ(x) =

lim

(x,y)→(x

)

f (x, y)

Dowód.

g =

lim

(x,y)→(x

)

f (x, y)

We´zmy

ε > 0,

wtedy istnieje :

δ > 0 :

0 < |x − x

| < δ

0 < |y − y

| < δ

)

⇒ |f (x, y) − g| < ε

to z zachowania ≤ w granicy:

∀

0<|x−x

|<δ

: |Ψ(x) − g| ≤ ε

Przykład braku równo´sci granic iterowanych

f (x, y) =

− y

+ y

lim

y→0

f (x, y) = 1

lim

x→0

f (x, y) = −1

Twierdzenie o ci ˛

agło´sci pochodnych cz ˛

astkowych

Gdy wszystkie pochodne cz ˛

astkowe

∂f

∂x

s ˛

a ci ˛

agłe w punkcie P , to f : D ⊂ <

→ < jest

ró ˙zniczkowalna w punkcie P

Dowód.
Niech P = (x

, x

, ..., x

), h = (h

, h

, ..., h

)

∆f (P ) = f (P + h) − f (P )

- przyrost funkcji f

df (P ) =

∂f

∂x

(P )h

∂f

∂x

(P )h

+ ... +

∂f

∂x

(P )h

- ró ˙zniczka funkcji f w punkcie P

|h| =

+ h

+ ... + h

Wówczas je ˙zeli:

lim

h→0

∆f (P ) − df (P )

|h|

= 0

to jest ró ˙zniczkowalna w punkcie P .
Z t ˛

a wiedz ˛

a przechodzimy do dowodu.

∆f = f (P + h) − f (P ) = f (x

+ h

, x

+ h

, ..., x

+ h

) − f (x

, x

, ..., x

)

Mo ˙zemy wyrazi´c jako sum˛e przyrostów wzgl˛edem ka ˙zdej ze zmiennych:

∆f = f (x

+ h

, x

+ h

, ..., x

+ h

) − f (x

, x

+ h

, ..., x

+ h

+f (x

, x

+ h

, ..., x

+ h

) − f (x

, x

+ h

, ..., x

+ h

+f (x

, x

+ h

, ...., x

+ h

) − .... +

+f (x

, x

, ..., x

+ h

) − f (x

, ..., x

)

Stosuj ˛

ac teraz twierdzenie Lagrange’a o warto´sci ´sredniej znajdujemy pewne t

∈ (0, 1),

j ∈ {1, ..., n}

takie, ˙ze ka ˙zde z tych m-tych przyrostów ma j-t ˛

a współrz˛edn ˛

a postaci:

∂f

∂x

, ..., x

m−1

, x

+ t

· h

, x

m+1

, ..., x

) =

∂f

∂x

(Θ

)

Teraz

∆f

= f

(P + h) − f

(P ) =

m=1

∂f

∂x

(P )h

m=1

∂f

∂x

(Θ

) −

∂f

∂x

(P )

gdzie wyra ˙zenie w nawiasie d ˛

a ˙zy do 0, co wynika z ci ˛

agło´sci

∂f

∂x

, bo Θ

−→ 0, przy h → 0.

Czyli jest f ró ˙zniczkowalna.

Definicja przestrzeni C

(Ω)

Mówimy, ˙ze odwzorowanie zbioru otwartego Ω ⊂ <

w <

jest ró ˙zniczkowalne w sposób

ci ˛

agły (f ∈ C

(Ω))

, je ˙zeli f

jest odwzorowaniem ci ˛

agłym, tzn.:

∀

x,y∈E

: ∀

ε>0

: ∀

δ>0

: ||y − x|| < δ ⇒ ||f

(y) − f

(x)|| < ε

Ró˙zniczka

Odwzorowanie spełniaj ˛

ace warunek ró ˙zniczkowalno´sci nazywamy ró ˙zniczk ˛

a ( ró ˙zniczk ˛

a zu-

pełn ˛

a) odwzorowania f w punkcie P

i oznaczamy:

L = d

Dla f : D ⊂ <

→ < ró ˙zniczkowalnej w punkcie P

mamy:

f )(x

, ..., x

) =

∂f

∂x

+ ... +

∂f

∂x

Twierdzenie o zło˙zeniu ró˙zniczki

f : D ⊂ <

→ <

ró ˙zniczkowalna w punkcie a

g : U ⊂ <

→ <

ró ˙zniczkowalna w punkcie b := f (a), to:

g ◦ f

jest ró ˙zniczkowalna w punkcie a, oraz

(g ◦ f ) = d

f (a)

g ◦ d

Dowód.
Z zało ˙ze ´n wynika, ˙ze:
∃

lim

h→0

α(h)=0

, ∃

lim

k→0

β(k)=0

takie, ˙ze:

(1)

α(h) =

f (a + h) − f (a) − d

f (h)

||h||

⇒ f (a + h) = f (a) + d

f (h) + α(h)||h||

(2)

β(k) =

g(b + k) − g(b) − d

g(k)

||k||

⇒ g(b + k) = g(b) + d

g(k) + β(k)||k||

Ale z (1) wynika, ˙ze:

b = f (a) = f (a + h) − (d

f (h) + α(h)||h||)

Je´sli k = (d

f (h) + α(h)||h||)

f (a + h) = b + k

wówczas:

(g ◦ f )(a + h) = g(f (a + h)) = g(b + k) =

(2)

= g(b) + d

g(k) + β(k)||k||

przy czym

k = d

f (h) + α(h)||h|| −→ 0

(

przy h → 0)

oraz d

g(k) = d

g(d

f (h) + α(h)||h||) = d

g(d

f (h)) + d

g(α(h)||h||)

, wi˛ec

(g ◦ f )(a + h) = (g ◦ f )(a) + [d

g(d

f (h)) + d

g(α(h)||h||)] + β(k) · ||d

f (h) + α(h)||h|| ||

St ˛

(g ◦ f )(a + h) − (g ◦ f )(a) − (d

g ◦ d

f )(h)

||h||

−→ 0 ⇔

⇔

g(α(h)||h||) + β(k)||d

f (h) + α(h)||h|| ||

||h||

−→

h→0

Posta´c macierzowa ró˙zniczki zło˙zenia

Niech f = (f

, ..., f

) : <

→ <

- ró ˙zniczkowalna w punkcie a

g = (g

, ..., g

) : <

→ <

- ró ˙zniczkowalna w punkcie f (a) := b

Wiemy, ˙ze istnieje ró ˙zniczka zło ˙zenia g ◦ f : <

→ <

w punkcie a.

Ró ˙zniczk˛e d

reprezentuje macierz pochodnych cz ˛

astkowych:










∂f

∂x

(a)

∂f

∂x

(a)

...

∂f

∂x

(a)

∂f

∂x

(a)

∂f

∂x

(a)

...

∂f

∂x

(a)

. ..

∂f

∂x

(a)

∂f

∂x

(a)

...

∂f

∂x

(a)










a ró ˙zniczk˛e d

f (a)

macierz:










∂g

∂x

(b)

∂g

∂x

(b)

...

∂g

∂x

(b)

∂g

∂x

(b)

∂g

∂x

(b)

...

∂g

∂x

(b)

. ..

∂g

∂x

(b)

∂g

∂x

(b)

...

∂g

∂x

(b)










Zło ˙zenie odwzorowa ´n liniowych reprezentuje iloczyn tych macierzy A

· A

Pochodna kierunkowa

Funkcja f : D ⊂ <

→ <

ma pochodn ˛

a kierunkow ˛

wzdłu ˙z wektora u 6= 0 w punkcie x ∈ D,

je ˙zeli istnieje i jest sko ´nczona granica:

∂f (x)

∂u

= lim

t→0

f (x + tu) − f (x)

gdzie t ∈ <
gradient to: 5f (x) = [

∂f

∂x

, ...,

∂f

∂x

]

wówczas:

∂f (x)

∂u

= 5f (x) ◦ u

Twierdzenie o warto´sci ´sredniej

Dla f : Ω ⊂ <

→ < ró ˙zniczkowalnej w [a, b]:

∃

t∈(0,1)

: f (b) − f (a) = (d

a+t(b−a)

f )(b − a)

Dowód.
Niech ϕ(t) := a + t(b − a), wówczas h = f ◦ ϕ - ró ˙zniczkowalna w (0, 1) i ci ˛

agła w [0, 1]

h(1) = f (b),

h(0) = f (a)

, wtedy z tw. Lagrange’a:

∃

t∈(0,1)

: h

(t) =

h(1) − h(0)

1 − 0

czyli

(t) = [d

ϕ(t)

f ◦ d

ϕ](1)

Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji

Wzór na równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni S o równaniu g(x, y, z) = 0 w punkcie
P

= (x

, y

, z

)

takim, ˙ze g(P

) = 0

mo ˙zemy zapisa´c

P − P

⊥ w

[P = (x, y, z) - dowolny punkt płaszczyzny, w = [A, B, C] - wektor normalny]

(x − x

)A + (y − y

)B + (z − z

)C = 0

Wektorem normalnym

do powierzchni S = {P ∈ <

: g(P ) = 0}

w punkcie P

jest 5

Równianie płaszczyzny stycznej ma wi˛ec posta´c

(x − x

)

∂g

∂x

) + (y − y

)

∂g

∂y

) + (z − z

)

∂g

∂z

) = 0

Gdy S jest wykresem funkcji 2 zmiennych

S = {(x, y, z) ∈ <

: z = f (x, y), (x, y) ∈ Ω}

to f mo ˙zemy uwikła´c g(x, y, f (x, y)) = 0, gdzie g(x, y, z) = f (x, y) − z
Poniewa ˙z 5

= (

∂f
∂x

∂f
∂y

, −1)

, wtedy

z − z

= (x − x

)

∂f

∂x

, y

) + (y − y

)

∂f

∂y

, y

)

Otwarto´s´c zbioru macierzy nieosobliwych i ci ˛

agło´s´c operacji od-

wracania macierzy

Oznaczenia:
G

- ogół macierzy odwracalnych rozmiaru n × n

norma operatorowa macierzy : ||A|| = sup ||Ax||

(∀

x∈<

: ||A|| ≤ M ⇒ ||Ax|| ≤ M ||x||)

Twierdzenie

jest zbiorem otwartym w M

n×n

Operacja odwracania : G

3 A → A

−1

∈ G

jest ci ˛

agła.

Dowód.
Dla A ∈ G

, B ∈ M

n×n

, niech α =

||A

−1

β := ||B − A||

Niech β < α

||x|| = ||A

−1

Ax|| ≤ ||A

−1

|| · ||Ax||

ale ||A

−1

|| =

, wi˛ec

α||x|| ≤ ||Ax||

Dalej:

α||x|| − β||x|| ≤ ||Ax|| − β||x||

(α − β)||x|| ≤ ||Ax|| − β||x||

(α − β)||x|| ≤ ||Ax|| − ||B − A|| · ||x||

ale ||(B − A)x|| ≤ ||B − A|| · ||x||, wi˛ec

(α − β)||x|| ≤ ||Ax|| − ||(B − A)x||

Z nierówno´sci trójk ˛

ata b˛edzie to ≤ ||Bx||, czyli:

(α − β)||x|| ≤ ||Bx||

Niech y = Bx czyli x = B

−1

, wtedy:

(1.)

||B

−1

y|| ≤

α − β

||y|| ⇒ ||B

−1

|| ≤

α − β

udowodnili´smy otwarto´s´c.
(2.)

α − β

||Bx|| ≥ ||x|| ⇒ ker B = {0} ⇒ B - odwracalne

(3.) Zauwa ˙zmy, ˙ze

−1

− A

−1

= B

−1

(A − B)A

−1

wtedy

||B

−1

− A

−1

|| ≤ ||B

−1

|| · ||A − B|| · ||A

−1

||B

−1

− A

−1

|| ≤

α − β

· β ·

α(α − β)

−→

β→0

B → A

oznacza, ˙ze β → 0

Udowodnili´smy ci ˛

agło´s´c

twierdzenie o lokalnej odwracalno´sci

Zało˙zenie: f : D ⊂ <

→ <

klasy C

oraz d

jest izomorfizmem (operatorem odwracalnym)

Teza:

1. ∃ U - otoczenie a takie, ˙ze f |

jest iniekcj ˛

2. V := f (U ) jest otwartym otoczeniem punktu b = f (a).

3. Odwzorowanie g = (f |

)

−1

: V → U

jest klasy C

oraz (d

f (x)

g) = (d

f )

−1

Twierdzenie o funkcjach uwikłanych i pochodne funkcji uwikła-
nych

Niech f b˛edzie funkcj ˛

a ci ˛

agł ˛

a w pewnym obszarze D ⊂ <

i niech E b˛edzie zbiorem takich

punktów (x, y), w których

f (x, y) = 0

Funkcj˛e y = y(x) spełniaj ˛

ac ˛

a ten warunek nazywamy elementem funkcji uwikłanej.

Twierdzenie:
Je ˙zeli funkcja f ma ci ˛

agłe pochodne cz ˛

astkowe

∂f
∂x

∂f
∂y

w otoczeniu punktu (x

, y

)

i je ˙zeli

f (x

, y

) = 0

oraz

∂f
∂y

, y

) 6= 0

, to:

1. Dla ka ˙zdej dostatecznie małej liczby ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0, ˙ze ka ˙zdej warto´sci x

z przedziału (x

− δ, x

+ δ)

odpowiada dokładnie jedno rozwi ˛

azanie y = y(x) równania

f (x, y) = 0

nale ˙z ˛

ace do przedziału y

− ε < y < y

+ ε

2. Funkcja y = y(x) jest ci ˛

agła w przedziale (x

− δ, x

+ δ)

i ma w nim ci ˛

agł ˛

a pochodn ˛

wyra ˙zon ˛

a wzorem:

(x) = −

∂f
∂x

(x, y)

∂f
∂y

(x, y)

Dowód.
(1). Załó ˙zmy, ˙ze

∂f

∂y

, y

) > 0

bo gdy

∂f
∂y

, y

) < 0

to mo ˙zemy zast ˛

api´c f (x, y) przez −f (x, y)

Wobec ci ˛

agło´sci

∂f
∂y

istnieje kwadrat:

− η < x < x

+ η, y

− η < y < y

+ η}

Niech 0 < ε < η
Pochodna wzgl˛edem y funkcji f (x

, y)

jest w przedziale y

− ε ≤ y ≤ y

+ ε

dodatnia, wi˛ec

funkcja f (x

, y)

jest w tym przedziale rosn ˛

aca, a poniewa ˙z f (x

, y

) = 0

, wi˛ec

f (x

, y − ε) < 0, f (x

, y + ε) > 0

dla

− δ < x < x

+ δ

Niech x

b˛edzie dowolnym punktem z przedziału (x

− δ, x

+ δ)

wobec ci ˛

agło´sci f (x

, y

)

funkcja musi przybiera´c w pewnym punkcie y

= y(x

)

warto´s´c 0, wi˛ec:

f (x, y(x)) = 0

dla

x ∈ (x

− δ, x

+ δ)

(2). W my´sl poprzedniej cz˛e´sci dowodu mo ˙zna dla dostatecznie małej liczby ε

dobra´c δ

tak

małe, by ka ˙zdemu x z przedziału |x − x

| < δ

odpowiadała dokładnie jedna warto´s´c y

(x)

spełniaj ˛

aca równianief (x, y) = 0 oraz nierówno´s´c |y − y

| < ε

. Lecz funkcja y

(x) = y(x)

= y(x

)

, zatem:

|y(x) − y(x

)| < ε

dla

|x − x

| < δ

co dowodzi ci ˛

agło´sci.

Ró ˙zniczkuj ˛

ac f (x, y(x)) = 0 otrzymujemy:

∂f

∂x

∂f

∂y

(x) = 0

dla:

x ∈ (x

− δ, x

+ δ)

(x) = −

∂f
∂x

(x, y)

∂f
∂y

(x, y)

Druga ró˙zniczka

Dla f : D ⊂ <

→ < dwukrotnie ró ˙zniczkowalnej w punkcie P , mamy:

2
P

f (x) =

i,j=1

∂

∂x

(P )x

· x

Macierz Hessego

Macierz Hessego - macierz kwadratowa drugich pochodnych cz ˛

astkowych funkcji o warto-

´sciach rzeczywistych, dwukrotnie ró ˙zniczkowalnej w pewnym punkcie dziedziny.

Niech f : D ⊂ <

→ < dwukrotnie ró ˙zniczkowalnej w punkcie P , wtedy:

f =











∂

∂x

2
1

(P )

∂

∂x

(P )

...

∂

∂x

(P )

∂

∂x

(P )

∂

∂x

2
2

(P )

...

∂

∂x

(P )

. ..

∂

∂x

(P )

∂

∂x

(P )

...

∂

∂x

(P )











Dzi˛eki tej macierzy, mo ˙zemy w ten sposób wyrazi´c drug ˛

a ró ˙zniczk˛e:

2
P

f (x) =

i,j=1

∂

∂x

(P )x

· x

= X

· H

f · X

Twierdzenie 1

(Schwarza).

Gdy pochodne mieszane

∂

∂x∂y

(a, b),

∂

∂y∂x

(a, b)

istniej ˛

a w otoczeniu U punktu (a, b) i s ˛

a ci ˛

agłe w tym

punkcie to s ˛

a one równe.

Dowód.
Niech

W =

f (a + h, b + k) − f (a + h, b) − f (a, b + k) + f (a, b)

Wprowad´zmy funkcj˛e pomocnicz ˛

ϕ(x) =

f (x, b + k) − f (x, b)

(x) =

∂f
∂x

(x, b + k) −

∂f
∂x

(x, b)

W =

f (a + h, b + k) − f (a + h, b)

−

f (a, b + k) − f (a, b)

co mo ˙zna zapisa´c w postaci:

W =

ϕ(a + h) − ϕ(a)

z twierdzenia Lagrange’a o warto´sci ´sredniej:

∃

∈(0,1)

: W = ϕ

(a + t

Co mo ˙zna zapisa´c:

W = ϕ

(a + t

h) =

∂f
∂x

(a + t

h, b + k) −

∂f
∂x

(a + t

h, b)

Co z twierdzenia Lagrange’a wzgl˛edem y, daje:

∃

∈(0,1)

: W =

∂

∂x∂y

(a + t

h, b + t

Co z ci ˛

agło´sci zmierza do

W =

∂

∂x∂y

(a, b)

Teraz wprowadzaj ˛

ac funkcj˛e pomocnicz ˛

ψ(y) =

f (a + h, y) − f (a, y)

za pomoc ˛

a analogicznych rozwa ˙za ´n otrzymamy:

∃

∈(0,1)

: W =

∂

∂y∂x

(a + t

h, b + t

Co z ci ˛

agło´sci zmierza do

W =

∂

∂y∂x

(a, b)

wi˛ec

W =

∂

∂x∂y

(a, b) =

∂

∂y∂x

(a, b)

Wzór Taylora

Gdy f ma pochodne cz ˛

astkowe rz˛edu k + 1 w wypukłym otoczeniu punktu P ∈ <

, otoczenie

zawiera odcinek [P : P + h], h ∈ <

to :

∃

: f (P + h) =

j=0

j
P

f (h) +

(k + 1)!

k+1
P +θh

f (h)

Wzór Taylora z drug ˛

a ró˙zniczk ˛

f (P + h) = f (P ) + d

f (h) +

2
P +θh

f (h)

Dowód.
Niech

x(t) = P + th

wówczas : x(0) = P, x(1) = P + h
Niech

g(t) = f (x(t))

gdzie t bierzemy z otoczenia [0, 1] w <, czyli (t = [ε, 1 + ε])
Teraz z reguły ła ´ncucha

(t) =

∂f

∂x

(x(t)) · h

∂f

∂x

(x(t)) · h

+ ... +

∂f

∂x

(x(t)) · h

Niech ε

- n-wska´znik, czyli (0

, ..., 1

, ..., 0

)

(t) = ∂

f (x(t))

j=1

∂

α+ε

f (x(t))h

indukcyjnie na długo´s´c α ⇒

(k)

(t) = d

k
x(t)

f (h)

Ze wzoru Taylora dla g otrzymujemy tez˛e

Ekstrema lokalne

Funkcja f : D ⊂ <

→ < ma:

maksimum lokalne

w punkcie P

∈ D, gdy

∃

δ>0

: ||P − P

|| < δ ⇒ f (P

) ≥ f (P )

maksimum wła´sciwe (silne, ´scisłe)

, gdy

0 ≤ ||P − P

|| < δ ⇒ f (P

) > f (P )

minimum lokalne

w punkcie P

∈ D, gdy

∃

δ>0

: ||P − P

|| < δ ⇒ f (P

) ≤ f (P )

minimum wła´sciwe (silne, ´scisłe)

, gdy

0 ≤ ||P − P

|| < δ ⇒ f (P

) < f (P )

Warunek konieczny istnienia ekstremum

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego w P

jest:

f = 0

czyli: [

∂f

∂x

), ...,

∂f

∂x

)] = [0, ..., 0]

Dowód dla maksimum:

f (P

+ te

) − f (P

)

(

< 0

gdy

t > 0

> 0

gdy

t < 0

St ˛

∂f

∂x

) = 0

Punkt P

nazywamy wówczas punktem stacjonarnym dla f

Warunek wystarczaj ˛

acy na istnienie ekstremum

Je ˙zeli f ma ci ˛

agłe pochodne rz˛edu drugiego w otoczeniu P

, oraz d

f = 0

, to:

1. ma minimum lokalne w P

, gdy

∂

∂x

) = H

jest dodatnio okre´slona.

2. ma maksimum lokalne w P

, gdy

∂

∂x

) = H

jest ujemnie okre´slona.

3. nie ma ektremum lokalnego w P

, gdy

∂

∂x

) = H

jest nieokre´slona.

Dowód.
poniewa ˙z 5

f = 0

, wi˛ec wzór Taylora w otoczeniu P

ma posta´c

f (P

+ h) = f (P

) +

+θh

f )(h)

dla pewnego θ ∈ (0, 1) oraz h dostatecznie małych czyli

f (P

+ h) − f (P

) =

+θh

f )(h)

∂

∂x

) = H

Jest ujemnie okre´slona. Wobec tego

f (P

+ h) − f (P

) =

+θh

f )(h) < 0

czyli

f (P

+ h) < f (P

)

wi˛ec ma maksimum

Ekstremum lokalne funkcji uwikłanej

Aby wyznaczy´c ekstrema lokalne elementu y = y(x) funkcji uwikłanej okre´slonej równaniem

f (x, y) = 0

nale ˙zy wyznaczy´c punkty (x, y), w których:

f (x, y) = 0

(x) = 0

(x) 6= 0

(x) = −

∂f
∂x

(x, y)

∂f
∂y

(x, y)

= 0 ⇒

∂f

∂x

(x, y) = 0

wi˛ec warunek konieczny na istnienie ekstremum lokalnego funkcji uwikłanej, to:

f (x, y) = 0,

∂f

∂x

(x, y) = 0,

∂f

∂y

6= 0

St ˛

ad wyznaczamy punkty krytyczne P

Teraz warunek wystarczaj ˛

acy to:

) > 0 ⇒ y(x)

ma w punkcie x

minimum lokalne y = y(x

)

Ró ˙zniczkuj ˛

ac ponownie:

∂

∂x

∂

∂y∂x

(x) +

∂

∂x∂y

∂

∂y

(x)

(x) +

∂f

∂y

(x) = 0

∂

∂x

+ 2

∂

∂y∂x

(x) +

∂

∂y

(x)

∂f

∂y

(x) = 0

ale w punktach krytycznych y

(x) = 0

, wi˛ec

(x) = −

∂

∂x

∂f
∂y

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Analiza matematycza opracowanie pytań
Analiza matematyczna 2 - opracowane zagadnienia na egzamin, Wykłady - Studia matematyczno-informatyc
ZAGADNIENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ, Fizyka Medyczna, STUDIA, Rok I, Semestr II, Analiza matematyczn
Analiza matematycza opracowanie pytań
Analiza matematyczna 2 i 3 opracowanie Michał Musielak
Analiza matematyczna 1 opracowanie Michał Musielak
WYKLAD ANALIZA MATEMATYCZNA
Analiza matematyczna, lista analiza 2008 6 szeregi
Analiza Matematyczna 1 Gewert Skoczylas zadania
Analiza Matematyczna Twierdzenia
Analiza matematyczna 1
Praca domowa 2a Analiza Matematyczna
Zadania z Analizy Matematycznej, Matematyka
zestaw9, Matematyka stosowana, Analiza, Analiza matematyczna dla leniwych
Kolos 3 Analiza matematyczna
analiza matematyczna 7
Analiza matematyczna 2 Przyklady i zadania
cw 13 Analiza Matematyczna (calki) id

więcej podobnych podstron