PA7 stabilnosc

background image

Politechnika Warszawska

Instytut Automatyki i Robotyki

Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny

PODSTAWY AUTOMATYKI

część 7

Stabilność

background image

Stabilność

Stabilność jest cechą układu, polegającą na powracaniu do

stanu równowagi stałej po ustaniu działania zakłócenia, które

wytrąciło układ z tego stanu.

e

y

R

O

z

u

-

+

-

+

y

w

y

t

a)

b)

y

t

1

2

3

4

1

2

3

background image

Stabilność

e

y

R

O

z

u

-

+

-

+

y

w

Zamknięty układ liniowy będziemy uważać za stabilny, jeżeli:
• przy każdej skończonej wartości zakłócenia z(t) i
• przy każdej skończonej wartości zadanej w(t) oraz
• dla dowolnych warunków początkowych
sygnał wyjściowy y(t) dążyć będzie do skończonej wartości ustalonej

dla czasu dążącego do nieskończoności.

background image

Stabilność asymptotyczna

Układ jest stabilny asymptotycznie, gdy po zaniknięciu

zakłócenia układ powraca do tego samego stanu

równowagi co zajmowany poprzednio.

y

t

1

2

3

4

background image

Konieczny i dostateczny warunek stabilności

z

b

dt

z

d

b

dt

z

d

b

y

a

dt

y

d

a

dt

y

d

a

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

0

1

1

1

0

1

1

1

+

+

+

=

+

+

+

K

K

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

1

1

0

1

1

s

N

s

M

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

z

s

y

s

G

n

n

n

n

m

m

m

m

=

+

+

+

+

+

+

=

=

K

K

st

n

k

t

s

k

z

e

A

A

t

y

k

+

=

=1

0

)

(

Jeżeli układ zamknięty opisany jest za pomocą liniowego równania
różniczkowego lub odpowiadającej mu transmitancji operatorowej:

to czasowy przebieg sygnału wyjściowego y(t) po dowolnym
zakłóceniu o wartości skończonej opisany jest wzorem o następującej
postaci ogólnej:

gdzie s

k

są pierwiastkami równania charakterystycznego układu

zamkniętego (mianownika transmitancji operatorowej równego zeru)

0

)

(

=

s

N

background image

Konieczny i dostateczny warunek stabilności

Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności
asymptotycznej układu jest, aby pierwiastki równania
charakterystycznego układu zamkniętego miały ujemne
części rzeczywiste:

0

)

Re(

<

k

s

st

t

z

A

t

y

0

)

(

lim

=

Wówczas:

Ograniczenie stosowalności - trudności wyznaczenia pierwiastków
równania charakterystycznego układów opisanych równaniami
różniczkowymi wyższych rzędów (wyskoki stopień równania
charakterystycznego)

y

t

1

2

3

4

background image

Kryterium Hurwitza

Równanie charakterystyczne:

Równanie charakterystyczne:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

s

N

s

M

s

z

s

y

s

G

=

=

0

)

(

=

s

N

0

0

1

1

1

=

+

+

+

+

a

s

a

s

a

s

a

n

n

n

n

K

Warunek 1

wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją
i są większe od zera (warunek konieczny, ale niedostateczny)

Warunek 1

wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją
i są większe od zera (warunek konieczny, ale niedostateczny)

0

,

,

0

,

0

0

1

>

>

>

a

a

a

n

n

K

background image

Kryterium Hurwitza

Warunek 2 – podwyznaczniki

i

, od i=2 do i=n-1, wyznacznika

głównego

n

są większe od zera. Wyznacznik

n

, utworzony

ze współczynników równania charakterystycznego, ma n
wierszy i n kolumn:

Warunek 2 – podwyznaczniki

i

, od i=2 do i=n-1, wyznacznika

głównego

n

są większe od zera. Wyznacznik

n

, utworzony

ze współczynników równania charakterystycznego, ma n
wierszy i n kolumn:

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

1

2

3

1

0

0

0

0

=

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

background image

Kryterium Hurwitza

0

1

9

4

12

)

det(

2

1

0

3

2

2

0

1

3

0

3

3

4

5

1

2

3

1

3

<

=

=

=

=

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

Przykład:

Przykład:

=

=

1

0

0

0

2

2

1

0

1

3

2

2

0

0

1

3

4

n

0

4

2

6

)

det(

2

2

1

3

2

2

3

1

2

>

=

=

=

=

n

n

n

n

a

a

a

a

0

1

2

2

3

)

(

2

3

4

=

+

+

+

+

=

s

s

s

s

s

N

Przykład:

Przykład:

0

1

2

3

)

(

3

4

=

+

+

+

=

s

s

s

s

N

background image

Kryterium Michajłowa

0

)

)...(

)(

(

)

(

2

1

=

=

n

n

s

s

s

s

s

s

a

s

N

Kryterium Michajłowa pozwala na wykreślne sprawdzenie stabilności
układu regulacji automatycznej.

Jako zmienną niezależną s możemy wybrać m.in. zbiór punktów
położonych na osi liczb urojonych, wówczas s = jω:

)

)...(

)(

(

)

(

2

1

n

n

s

j

s

j

s

j

a

j

N

=

ω

ω

ω

ω

Każdy z czynników (jω – s

k

) można przedstawić graficznie jako różnicę

dwóch wektorów, wektora oraz wektora s

k

przedstawiającego k-ty

pierwiastek równania charakterystycznego.

s

k

s

k

-jω

Im

Re

background image

φ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

j

n

n

e

j

N

j

N

s

j

s

j

s

j

a

j

N

)

(

)

(

)

)...(

)(

(

)

(

2

1

=

=

c

)

(

funkcji

moduł

oznacza

...

)

(

2

1

ω

ω

ω

ω

ω

j

N

s

j

s

j

s

j

a

j

N

n

n

=

.

+

+

+

=

=

)

N(j

s

j

s

j

s

j

j

N

n

ω

ω

ω

ω

ω

φ

funkcji

argument

oznacza

)

arg(

...

)

arg(

)

arg(

)

(

arg

2

1

Kryterium Michajłowa

Funkcję N(jω), jako funkcję zmiennej zespolonej, można przedstawić
w postaci wykładniczej:

background image

Kryterium Michajłowa

Jeżeli przyjmujemy, że spośród n pierwiastków równania
charakterystycznego (n-m) pierwiastków znajduje się w lewej
półpłaszczyźnie, a m pierwiastków w prawej, to zmiana argumentu
N(jω) przy zmianie ω od -∞ do +∞ wyniesie:

π

ω

ω

)

(

)

(

arg

m

n

j

N

=

<

<

π

ω

ω

n

j

N

=

<

<

)

(

arg

Warunek stabilności:

Ponieważ N(jω) jest funkcją symetryczną względem osi liczb rzeczywistych:

K

K

+

+

=

+

+

=

7

7

5

5

3

3

1

6

6

4

4

2

2

0

)

(

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

a

a

a

a

Q

a

a

a

a

P

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

jQ

P

j

N

+

=

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

jQ

P

j

N

=

wystarczy więc zbadać przebieg jednej z gałęzi krzywej N(jω), dla pulsacji
zmieniającej się od 0 do +∞.

0

)

(

)

(

)

(

)

(

0

1

1

1

=

+

+

+

+

=

=

a

j

a

j

a

j

a

j

s

N

n

n

n

n

ω

ω

ω

ω

K

background image

Kryterium Michajłowa

Kryterium Michajłowa - układ regulacji automatycznej jest stabilny

wtedy i tylko wtedy, gdy zmiana argumentu krzywej N(jω) przy
zmianie pulsacji od 0 do + ∞ wynosi /2, gdzie n oznacza
stopień równania charakterystycznego.

Kryterium Michajłowa - układ regulacji automatycznej jest stabilny

wtedy i tylko wtedy, gdy zmiana argumentu krzywej N(jω) przy
zmianie pulsacji od 0 do + ∞ wynosi /2, gdzie n oznacza
stopień równania charakterystycznego.

2

)

(

arg

π

ω

ω

n

j

N

=

<

<

background image

Kryterium Michajłowa

jQ(

ω

)

ω

= 0

P(

ω

)

ω

ω

2

0

1

a

a

=

ω

3

1

2

a

a

=

ω

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

a

0

jQ(

ω

)

ω

= 0

P(

ω

)

n = 2

n = 3

n = 4

a

0

0

Krzywą N(jω) nazywa się niekiedy krzywą charakterystyczną lub

hodografem Michałowa

Krzywą N(jω) nazywa się niekiedy krzywą charakterystyczną lub

hodografem Michałowa

Krzywe charakterystyczne

układów stabilnych

Krzywe charakterystyczne

układów stabilnych

Krzywe charakterystyczne

układów niestabilnych

Krzywe charakterystyczne

układów niestabilnych

background image

Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista - pozwala badać stabilność układu (tylko)

zamkniętego na podstawie przebiegu charakterystyki
częstotliwościowej układu otwartego, którą można wyznaczyć
zarówno analitycznie, jak i doświadczalnie

Kryterium Nyquista - pozwala badać stabilność układu (tylko)

zamkniętego na podstawie przebiegu charakterystyki
częstotliwościowej układu otwartego, którą można wyznaczyć
zarówno analitycznie, jak i doświadczalnie

G

2

(s)

G

1

(s)

y

w

u

-

+

y

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

s

N

s

M

s

G

s

G

s

w

s

u

s

G

O

O

O

=

=

=

Transmitancja układu otwartego:

Transmitancja układu otwartego:

Transmitancja układu zamkniętego:

Transmitancja układu zamkniętego:

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

1

s

G

s

G

s

G

s

w

s

y

s

G

Z

+

=

=

background image

Kryterium Nyquista

Równanie charakterystyczne

układu otwartego:

Równanie charakterystyczne

układu otwartego:

Równanie charakterystyczne

układu zamkniętego:

Równanie charakterystyczne

układu zamkniętego:

0

)

(

=

s

N

O

0

)

(

)

(

)

(

=

+

=

s

N

s

M

s

N

O

O

Z

Badanie zmiany argumentu funkcji:

Badanie zmiany argumentu funkcji:

)

(

)

(

)

(

1

ω

ω

ω

j

N

j

N

j

G

O

Z

O

=

+

)

(

arg

)

(

arg

)]

(

1

[

arg

0

0

0

ω

ω

ω

ω

ω

ω

j

N

j

N

j

G

O

Z

O

<

<

<

<

<

<

=

+

Oba równania są stopnia n

background image

Kryterium Nyquista- przypadek 1

Układ otwarty jest stabilny. Równanie charakterystyczne układu

otwartego ma wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie
zmiennej s.

Zgodnie z kryterium Michajłowa:

Układ otwarty jest stabilny. Równanie charakterystyczne układu

otwartego ma wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie
zmiennej s.

Zgodnie z kryterium Michajłowa:

Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli:

Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli:

2

)

(

arg

0

π

ω

ω

n

j

N

O

=

<

<

2

)

(

arg

0

π

ω

ω

n

j

N

Z

=

<

<

Warunek stabilności układu zamkniętego:

Warunek stabilności układu zamkniętego:

0

)]

(

1

[

arg

0

=

+

<

<

ω

ω

j

G

O

)

(

)

(

)

(

1

ω

ω

ω

j

N

j

N

j

G

O

Z

O

=

+

background image

Kryterium Nyquista- przypadek 1

Wykres krzywej 1+G

0

(jω) nie może obejmować

początku układu współrzędnych (musi
się zaczynać i kończyć na jednej prostej
wychodzącej z początku układu)

Wykres krzywej 1+G

0

(jω) nie może obejmować

początku układu współrzędnych (musi
się zaczynać i kończyć na jednej prostej
wychodzącej z początku układu)

Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest

stabilny i jego charakterystyka
amplitudowo-fazowa G

O

(jω) dla pulsacji ω

od 0 do +∞ nie obejmuje punktu (-1,j0), to
wtedy i tylko wtedy po zamknięciu będzie
on również stabilny.

Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest

stabilny i jego charakterystyka
amplitudowo-fazowa G

O

(jω) dla pulsacji ω

od 0 do +∞ nie obejmuje punktu (-1,j0), to
wtedy i tylko wtedy po zamknięciu będzie
on również stabilny.

jQ(

ω

)

ω

= 0

P(

ω

)

=

ω

1+G

0

(j

ω

)

jQ(

ω

)

ω

= 0

P(

ω

)

=

ω

G

0

(j

ω

)

(-1,j0)

background image

Kryterium Nyquista- przypadek 1

jQ(

ω

)

ω

= 0

P(

ω

)

=

ω

1+G

0

(j

ω

)

jQ(

ω

)

ω

= 0

P(

ω

)

=

ω

G

0

(j

ω

)

(-1,j0)

jQ(

ω

)

ω

= 0

P(

ω

)

=

ω

1+G

0

(j

ω

)

jQ(

ω

)

ω

= 0

P(

ω

)

=

ω

G

0

(j

ω

)

(-1,j0)

Charakterystyki układów, które

po zamknięciu są stabilne

Charakterystyki układów, które

po zamknięciu są stabilne

Charakterystyki układów, które

po zamknięciu nie są stabilne

Charakterystyki układów, które

po zamknięciu nie są stabilne

background image

Kryterium Nyquista- przypadek 1

W przypadku złożonego kształtu krzywych G

O

(jω) wygodnie jest

posługiwanie się z tzw. „reguły lewej strony”: układ zamknięty
jest stabilny wtedy, kiedy punkt (-1,j0) znajduje się w obszarze
leżącym po lewej stronie charakterystyki G

O

(jω), idąc w stronę

rosnących ω.

W przypadku złożonego kształtu krzywych G

O

(jω) wygodnie jest

posługiwanie się z tzw. „reguły lewej strony”: układ zamknięty
jest stabilny wtedy, kiedy punkt (-1,j0) znajduje się w obszarze
leżącym po lewej stronie charakterystyki G

O

(jω), idąc w stronę

rosnących ω.

b)

jQ(

ω

)

ω

= 0

P(

ω

)

=

ω

G

0

(j

ω

)

(-1,j0)

jQ(

ω

)

ω

= 0

P(

ω

)

=

ω

G

0

(j

ω

)

(-1,j0)

)

jQ(

ω

)

ω = 0

P(

ω

)

=

ω

G

0

(j

ω

)

(-1,j0)

jQ(

ω

)

ω = 0

P(

ω

)

=

ω

G

0

(j

ω

)

(-1,j0)

Stabilne:

Stabilne:

Niestabilne:

Niestabilne:

background image

Kryterium Nyquista- przypadek 1

Przypadek układów astatycznych -transmitancja operatorowa układu
otwartego ma wówczas postać:

)

(

)

(

)

(

1

s

sN

s

M

s

G

O

=

j

ω

α

0

-j

ω

jQ(

ω)

ϕ = π/2

P(

ω)

ω

= 0

=

ω

ϕ = 0

G

0

(j

ω

)

a

1

a)

b)

Możemy badać układy mające dowolna liczbę pierwiastków zerowych

background image

Kryterium Nyquista- przypadek 2

Układ otwarty jest niestabilny. Równanie charakterystyczne układu

otwartego ma (n-m) pierwiastków w lewej półpłaszczyźnie
zmiennej s oraz m pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie .
Zgodnie z kryterium Michajłowa:

Układ otwarty jest niestabilny. Równanie charakterystyczne układu

otwartego ma (n-m) pierwiastków w lewej półpłaszczyźnie
zmiennej s oraz m pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie .
Zgodnie z kryterium Michajłowa:

π

ω

ω

)

2

(

)

(

arg

0

m

n

j

N

=

<

<

N

0

(jω) jest krzywą symetryczną względem osi liczb rzeczywistych:

N

0

(jω) jest krzywą symetryczną względem osi liczb rzeczywistych:

2

)

2

(

)

(

arg

0

0

π

ω

ω

m

n

j

N

=

<

<

Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli:

Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli:

2

)

(

arg

0

π

ω

ω

n

j

z

N

=

<

<

background image

Kryterium Nyquista- przypadek 2

Warunek stabilności układu zamkniętego:

Warunek stabilności układu zamkniętego:

π

ω

ω

2

2

)]

(

1

[

arg

0

0

m

j

G

=

+

<

<

Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest niestabilny i ma m

pierwiastków swego równania charakterystycznego w prawej
półpłaszczyźnie zmiennej s, to po zamknięciu będzie on stabilny
wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa
układu otwartego dla pulsacji ω od 0 do +∞ okrąża m/2 razy
punkt (-1,j0) w kierunku dodatnim

Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest niestabilny i ma m

pierwiastków swego równania charakterystycznego w prawej
półpłaszczyźnie zmiennej s, to po zamknięciu będzie on stabilny
wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa
układu otwartego dla pulsacji ω od 0 do +∞ okrąża m/2 razy
punkt (-1,j0) w kierunku dodatnim

Zastosowanie tego kryterium wymaga znajomości liczby pierwiastków równania
charakterystycznego układu otwartego z dodatnią częścią rzeczywistą, co bardzo ogranicza
jego znaczenie.
Omawiany przypadek jest bardzo rzadki, gdyż układy automatyki spotykane w praktyce są
zwykle w stanie otwartym stabilne (m=0).

background image

Logarytmiczne kryterium Nyquista

Przykładowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla

układów otwartych (po zamknięciu: układ a stabilny,
układ b niestabilny)

Przykładowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla

układów otwartych (po zamknięciu: układ a stabilny,
układ b niestabilny)

Warunek stabilności:

Warunek stabilności:

1

)

(

<

x

O

j

G

ω

0

180

)

(

=

x

O

j

G

arg

ω

ω

x

– pulsacja, dla której:

Gdzie: ∆M – zapas modułu

∆φ – zapas fazy

Gdzie: ∆M – zapas modułu

∆φ – zapas fazy

background image

Logarytmiczne kryterium Nyquista

Warunek stabilności dla charakterystyk częstotliwościowych podanych

w postaci logarytmicznych charakterystyk amplitudowej L(ω) i
fazowej φ(ω):

Warunek stabilności dla charakterystyk częstotliwościowych podanych

w postaci logarytmicznych charakterystyk amplitudowej L(ω) i
fazowej

φ(ω):

Definicja: Zamknięty układ

automatycznej regulacji jest
stabilny wtedy, gdy
logarytmiczna charakterystyka
amplitudowa układu otwartego
ma wartość ujemną przy
pulsacji odpowiadającej
przesunięciu fazowemu -180

0

.

Definicja: Zamknięty układ

automatycznej regulacji jest
stabilny wtedy, gdy
logarytmiczna charakterystyka
amplitudowa układu otwartego
ma wartość ujemną przy
pulsacji odpowiadającej
przesunięciu fazowemu -180

0

.

0

)

(

log

20

)

(

<

=

x

O

x

j

G

L

ω

ω

background image

Układ otwarty zapisać można za pomocą logarytmicznych

charakterystyk częstotliwościowych - amplitudowej L(

ω) i fazowej ϕ(ω).

Charakterystyka
amplitudowo-
fazowa,
charakterystyka
Black’a

Logarytmiczne kryterium Nyquista

background image

Logarytmiczne kryterium Nyquista

Przykładowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla

złożonych układów otwartych (a – stabilny, b - niestabilny)

Przykładowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla

złożonych układów otwartych (a – stabilny, b - niestabilny)

jQ(

ω

)

ω

= 0

P(

ω

)

=

ω

(-1,j0)

ω

= 0

a

b

background image

Logarytmiczne kryterium Nyquista

Jeżeli układ otwarty jest stabilny, to układ zamknięty stabilny jest wtedy,

gdy liczba wartości dodatnich L(ωx) jest parzysta, a
niestabilny – gdy liczba wartości dodatnich L(ωx) jest
nieparzysta

Jeżeli układ otwarty jest stabilny, to układ zamknięty stabilny jest wtedy,

gdy liczba wartości dodatnich L(ωx) jest parzysta, a
niestabilny – gdy liczba wartości dodatnich L(ωx) jest
nieparzysta

background image

Zalety kryterium Nyquista

Š

Charakterystyki częstotliwościowe układu otwartego można
wyznaczyć doświadczalnie i analitycznie

Š

Można nie tylko zbadać stabilność, ale także określić oddalenie
układu od granicy stabilności

Š

Umożliwia badanie stabilności układów zawierajacych człony
opóźniające

Š

Charakterystyki częstotliwościowe układu otwartego można
wyznaczyć doświadczalnie i analitycznie

Š

Można nie tylko zbadać stabilność, ale także określić oddalenie
układu od granicy stabilności

Š

Umożliwia badanie stabilności układów zawierajacych człony
opóźniające


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
PA7 stabilnosc
PA7 stabilność [tryb zgodności]
PA7 stabilnosc
vii w stabilnosc prionow
4 stabilnosc
5 STABILNOSC id 40487 Nieznany (2)
82 Nw 04 Stabilizator temperatury
dusznica bolesna stabilna - ktostam - 4 rok - am bydgoszcz, IV rok Lekarski CM UMK, Kardiologia, Ćwi
System stabilizacji miednicy, Ortopedia
sprawozdanie automatyka2, studia, V semestr, Automatyka i robotyka, sprawko automaty stabilność
stabilizacja
UNCERTAINTY RISK STABILITY?nking 04
Diody prostownicze, stabilizacyjne, LED
Badanie stabilności układów na podstawie kryterium Nyquista Zapas?zy i wzmocnienia
stabilizatory napiecia
Stabilność
stabilizatory

więcej podobnych podstron