Zamiana zmiennych w całce podwójnej

Def. Obszar regularny

Obszarem regularnym na płaszczyźnie nazywamy sumę skończonej liczby obszarów normalnych (względem osi 0x lub 0y) o parami rozłącznych wnętrzach.

TW:

Jeżeli obszar regularny D jest sumą obszarów normalnych D₁, D₂ o rozłącznych wnętrzach,
, funkcja f jest ciągła na D, to

.

MACIERZ JACOBIEGO, JAKOBIAN

Rozważmy funkcje
klasy

Funkcję

nazywamy jakobianem przekształcenia określonego przez funkcje
.

Przykład

a)

Para funkcji

,

przekształca obszar regularny D na płaszczyźnie 0xy ograniczony liniami

na kwadrat

na płaszczyźnie 0uv.

Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne, przy czym odwzorowanie odwrotne realizuje para funkcji

Uwaga

Wartość bezwzględna jakobianu przekształcenia w punkcie jest w przybliżeniu równa stosunkowi pola obrazu małego otoczenia punktu do pola tego otoczenia.

Tw. (o Zamianie zmiennych w całce podwójnej)

Jeżeli

1. odwzorowanie

przekształca wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru regularnego
na wnętrze obszaru regularnego D

2. funkcje
są klasy C¹ na pewnym zbiorze otwartym zawierającym zbiór

3. jakobian J
jest różny od zera wewnątrz obszaru

4. funkcja podcałkowa f jest ciągła na D

to

.

Przykład

1. Współrzędne biegunowe

Jeżeli obszarem całkowanie jest koło, wycinek kołowy, pierścień, to często stosujemy zamianę współrzędnych kartezjańskich na współrzędne biegunowe.

,
lub

Jakobian J przekształcenia wynosi

Zatem wzór na zamianę współrzędnych kartezjańskich na biegunowe

Zad.

Obliczyć
gdzie obszar D określają nierówności
,
.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi
.

Wprowadzamy nowe zmienne, które przeprowadzą obszar D na prostokąt

,

Para funkcji

dla

przekształca obszar regularny D na płaszczyźnie 0xy ograniczony liniami

na prostokąt

na płaszczyźnie 0uv.

Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne, przy czym odwzorowanie odwrotne realizuje para funkcji

Zastosowania fizyczne

Masa obszaru o gęstości powierzchniowej

Współrzędne środka masy (środek ciężkości)

,
gdzie

zad.2

Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnej płytki w kształcie półkola o promieniu a.

23