Zamiana zmiennych w całce podwójnej
Def. Obszar regularny
Obszarem regularnym na płaszczyźnie nazywamy sumę skończonej liczby obszarów normalnych (względem osi 0x lub 0y) o parami rozłącznych wnętrzach.
TW:
Jeżeli obszar regularny D jest sumą obszarów normalnych D1, D2 o rozłącznych wnętrzach,
, funkcja f jest ciągła na D, to
.
MACIERZ JACOBIEGO, JAKOBIAN
Rozważmy funkcje
klasy
Funkcję
nazywamy jakobianem przekształcenia określonego przez funkcje
.
Przykład
a)
Para funkcji
,
przekształca obszar regularny D na płaszczyźnie 0xy ograniczony liniami
na kwadrat
na płaszczyźnie 0uv.
Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne, przy czym odwzorowanie odwrotne realizuje para funkcji
Uwaga
Wartość bezwzględna jakobianu przekształcenia w punkcie jest w przybliżeniu równa stosunkowi pola obrazu małego otoczenia punktu do pola tego otoczenia.
Tw. (o Zamianie zmiennych w całce podwójnej)
Jeżeli
1. odwzorowanie
przekształca wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru regularnego
na wnętrze obszaru regularnego D
2. funkcje
są klasy C1 na pewnym zbiorze otwartym zawierającym zbiór
3. jakobian J
jest różny od zera wewnątrz obszaru
4. funkcja podcałkowa f jest ciągła na D
to
.
Przykład
1. Współrzędne biegunowe
Jeżeli obszarem całkowanie jest koło, wycinek kołowy, pierścień, to często stosujemy zamianę współrzędnych kartezjańskich na współrzędne biegunowe.
,
lub
Jakobian J przekształcenia wynosi
Zatem wzór na zamianę współrzędnych kartezjańskich na biegunowe
Zad.
Obliczyć
gdzie obszar D określają nierówności
,
.
Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi
.
Wprowadzamy nowe zmienne, które przeprowadzą obszar D na prostokąt
,
Para funkcji
dla
przekształca obszar regularny D na płaszczyźnie 0xy ograniczony liniami
na prostokąt
na płaszczyźnie 0uv.
Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne, przy czym odwzorowanie odwrotne realizuje para funkcji
Zastosowania fizyczne
Masa obszaru o gęstości powierzchniowej
Współrzędne środka masy (środek ciężkości)
,
gdzie
zad.2
Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnej płytki w kształcie półkola o promieniu a.
23