AMII, am2.8


Funkcje uwikłane

Definicja

Niech 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Jeżeli istnieje funkcja 0x01 graphic
spełniająca w każdym punkcie x z pewnego przedziału I równość 0x01 graphic
, to funkcję f nazywamy funkcją uwikłaną określoną równaniem 0x01 graphic
.

Przykład

a) Równanie

0x01 graphic

określa w zbiorze liczb rzeczywistych 0x01 graphic
funkcje 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

lub

określa w zbiorze liczb rzeczywistych 0x01 graphic
funkcje 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

b) Równanie

0x01 graphic

określa w przedziale 0x01 graphic
na przykład funkcje 0x01 graphic
, 0x01 graphic

c) Równanie

0x01 graphic

nie określa żadnej funkcji.

Twierdzenie ( o istnieniu i jednoznaczności funkcji uwikłanej)

Jeżeli funkcja F jest funkcją klasy C1 w pewnym otoczeniu punktu 0x01 graphic
oraz

0x01 graphic
i 0x01 graphic

to istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana 0x01 graphic
określona w przedziale 0x01 graphic
, dla pewnej dodatniej liczby 0x01 graphic
(0x01 graphic
) za pomocą równania 0x01 graphic
spełniająca warunek

0x01 graphic

i mająca w przedziale 0x01 graphic
ciągłą pochodną daną wzorem

0x01 graphic
.

Przy założeniu, że F jest klasy C2, funkcja uwikłana f jest również klasy C2 i jej druga pochodna wyraża się wzorem

0x01 graphic

Ekstremum funkcji uwikłanej

Twierdzenie

Funkcja uwikłana 0x01 graphic
określona równaniem 0x01 graphic
gdzie F jest klasy C2 ma w punkcie 0x01 graphic
ekstremum właściwe jeżeli spełnione są warunki

0x01 graphic
i 0x01 graphic

oraz

0x01 graphic
i 0x01 graphic

przy czym jest to minimum właściwe gdy 0x01 graphic
, jest to maksimum właściwe gdy 0x01 graphic
.

Przykład

1. Wykazać, że twierdzenie o funkcji uwikłanej można stosować do równania 0x01 graphic

0x01 graphic
w otoczeniu punktu0x01 graphic
.

Równoważne polecenie

Wykazać, że równanie 0x01 graphic
określa w pewnym otoczeniu punktu 0x01 graphic
dokłanie jedną ciągłą funkcję uwikłaną spełniającą warunek 0x01 graphic
.

2. Obliczyć 0x01 graphic
, 0x01 graphic
z zad.1 i naszkicować wykres tej funkcji w otoczeniu punktu 0x01 graphic
.

3. Wyznaczyć ekstremum funkcji uwikłanej określonej równaniem

0x01 graphic
(liść Kartezjusza).

18



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
AMII, am2.11b, ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁCE POTRÓJNEJ
AMII, am2.13, Zadanie 3
AMII, am2.4, WYKŁAD 4
AMII, am2.7b, POCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ
AMII, am2.11a, CAŁKA PODWÓJNA W PROSTOKĄCIE
AMII, am2.11a, CAŁKA PODWÓJNA W PROSTOKĄCIE
AMII, am2.5, Definicja
AMII, am2.3, Konspekt 1
AMII, am2.14
AMII, am2.10
AMII, am2.1 Szeregi liczbowe, SZEREGI LICZBOWE
AM2(sciaga) kolos1 id 58845 Nieznany
Analiza 2, am2 e efgh6 odp[1]
am2 listasp2006
02 01 11 01 01 14 am2 za kol I
am2 pd 11
am2 pd 8 id 58836 Nieznany (2)
hipoksja AM2, Patofizjologia
am2 4a

więcej podobnych podstron