Funkcje uwikłane
Definicja
Niech
,
.
Jeżeli istnieje funkcja
spełniająca w każdym punkcie x z pewnego przedziału I równość
, to funkcję f nazywamy funkcją uwikłaną określoną równaniem
.
Przykład
a) Równanie
określa w zbiorze liczb rzeczywistych
funkcje
,
.
lub
określa w zbiorze liczb rzeczywistych
funkcje
,
.
b) Równanie
określa w przedziale
na przykład funkcje
,
c) Równanie
nie określa żadnej funkcji.
Twierdzenie ( o istnieniu i jednoznaczności funkcji uwikłanej)
Jeżeli funkcja F jest funkcją klasy C1 w pewnym otoczeniu punktu
oraz
i
to istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana
określona w przedziale
, dla pewnej dodatniej liczby
(
) za pomocą równania
spełniająca warunek
i mająca w przedziale
ciągłą pochodną daną wzorem
.
Przy założeniu, że F jest klasy C2, funkcja uwikłana f jest również klasy C2 i jej druga pochodna wyraża się wzorem
Ekstremum funkcji uwikłanej
Twierdzenie
Funkcja uwikłana
określona równaniem
gdzie F jest klasy C2 ma w punkcie
ekstremum właściwe jeżeli spełnione są warunki
i
oraz
i
przy czym jest to minimum właściwe gdy
, jest to maksimum właściwe gdy
.
Przykład
1. Wykazać, że twierdzenie o funkcji uwikłanej można stosować do równania
w otoczeniu punktu
.
Równoważne polecenie
Wykazać, że równanie
określa w pewnym otoczeniu punktu
dokłanie jedną ciągłą funkcję uwikłaną spełniającą warunek
.
2. Obliczyć
,
z zad.1 i naszkicować wykres tej funkcji w otoczeniu punktu
.
3. Wyznaczyć ekstremum funkcji uwikłanej określonej równaniem
(liść Kartezjusza).
18