Funkcje uwikłane

Definicja

Niech
,
.

Jeżeli istnieje funkcja
spełniająca w każdym punkcie x z pewnego przedziału I równość
, to funkcję f nazywamy funkcją uwikłaną określoną równaniem
.

Przykład

a) Równanie

określa w zbiorze liczb rzeczywistych
funkcje
,
.

lub

określa w zbiorze liczb rzeczywistych
funkcje
,
.

b) Równanie

określa w przedziale
na przykład funkcje
,

c) Równanie

nie określa żadnej funkcji.

Twierdzenie ( o istnieniu i jednoznaczności funkcji uwikłanej)

Jeżeli funkcja F jest funkcją klasy C¹ w pewnym otoczeniu punktu
oraz

i

to istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana
określona w przedziale
, dla pewnej dodatniej liczby
(
) za pomocą równania
spełniająca warunek

i mająca w przedziale
ciągłą pochodną daną wzorem

.

Przy założeniu, że F jest klasy C², funkcja uwikłana f jest również klasy C² i jej druga pochodna wyraża się wzorem

Ekstremum funkcji uwikłanej

Twierdzenie

Funkcja uwikłana
określona równaniem
gdzie F jest klasy C² ma w punkcie
ekstremum właściwe jeżeli spełnione są warunki

i

oraz

i

przy czym jest to minimum właściwe gdy
, jest to maksimum właściwe gdy
.

Przykład

1. Wykazać, że twierdzenie o funkcji uwikłanej można stosować do równania

w otoczeniu punktu
.

Równoważne polecenie

Wykazać, że równanie
określa w pewnym otoczeniu punktu
dokłanie jedną ciągłą funkcję uwikłaną spełniającą warunek
.

2. Obliczyć
,
z zad.1 i naszkicować wykres tej funkcji w otoczeniu punktu
.

3. Wyznaczyć ekstremum funkcji uwikłanej określonej równaniem

(liść Kartezjusza).

18