ANALIZA MATEMATYCZNA 2

Specjalna lista zada *

Uwaga. Lista zawiera zadania trudniejsze i jest ona przeznaczona dla studentów pragn cych gł biej zastanowi si nad tema-

tyk kursu. Lista jest przygotowana równie z my l o tych osobach, które zamierzaj ubiega si w przyszło ci o ocen

celuj c 5,5 z ANALIZY MATEMATYCZNEJ 2. Prezentowane tu zadania pojawiły si na egzaminach na ocen celuj c

w ci gu ostatnich dziewi ciu lat. Lista zada jest podzielona na cztery cz ci tematyczne, a zadania s uło one w kolejno ci

merytorycznej.

Pierwsza cyfra w nu merze zadania oznacza numer standardowej listy zada (przy jej podziale na 14 jednos-

tek), której dane zadanie dotyczy. Oryginalne zestawy zada z poprzednich egzaminów na ocen celuj c wraz z odpowie-

dziami i wskazówkami znajduj si w zbiorze: M. Gewert, Z. Skoczylas (opr.), Analiza matematyczna2, Kolokwia i egzaminy.

Specjalna lista zada oraz inne materiały dotycz ce kursu

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 znajduj si tak e na stronie

www.im.pwr.wroc.pl/~tjurlew/am2.htm

Egzamin na ocen celuj c b dzie si składał z czterech zada o podobnym stopniu trudno ci ocenianych w skali od 0 do 5

punktów. Uzyskanie w czasie trzech godzin co najmniej 10 punktów b dzie gwarancj sukcesu.

Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas, luty 2006

ZADANIA

Całki niewła ciwe

1.1* Zbada zbie no całki niewła ciwej

.

(cel-09-1)

0

∞

dx

x

2

−

3

x

1.2* Zbada zbie no całki niewła ciwej

.

(cel-13-1)

0

∞

e

−x

2

dx

1.3* Zbada zbie no całki niewła ciwej

.

(cel-14-2)

π

∞

sin

2

x

x

dx

1.4* Zbada zbie no całki niewła ciwej

.

(cel-15-4)

e

∞

(

x

x

− 1 ) dx

1.5* Obliczy całk niewła ciw (najpierw uzasadni jej zbie no )

.

(cel-08-1)

0

∞

ln

1999

x

1

+ x

2

dx

1.6* Udowodni , e całka niewła ciwa

nie zale y od

0

∞

dx

( 1 + x

p

) ( 1 + x

2

)

parametru

.

(cel-04-2)

p

> 0

1.7* Obliczy całk

.

(cel-05-2)

0

π

2

dx

1

+ ( tg x )

2

1.8* Obliczy całki niewła ciwe

.

(cel-07-3)

0

π

2

ln sin x dx,

0

π

2

ln cos x dx

1.9* Uzasadni równo ci

=

=

.

(cel-12-2)

0

∞

dx

1

+ x

4

0

∞

x

2

dx

1

+ x

4

π

2 2

Szeregi liczbowe

2.1* Zbada zbie no szeregu

.

(cel-01-1)

Σ

n

= 1

∞

sin

( 2π n

2

+ 1 )

2.2* Zbada zbie no szeregu

(cel-02-1)

Σ

n

= 2

∞

n

n

−1

n

2.3* Zbada zbie no szeregu

.

(cel-06-2)

Σ

n

= 2

∞

(

n

2

+

n

3

− 2

n

5

)

2.4* Zbada zbie no szeregu

.

(cel-15-2)

Σ

n

= 1

∞

( 3 + 1 ) ( 3 + 3 ) ( 3 + 5 ) ... [ 3 + ( 2n − 1 ) ]

( 7 + 2 ) ( 7 + 4 ) ( 7 + 6 ) ... ( 7 + 2n )

2.5* Zbada zbie no szeregu

.

(cel-16-1)

Σ

n

= 1

∞

1

1

+ 2 + 3 + ... + n

2.6* Dla

niech

oznacza pole - k ta foremnego wpisanego w koło

n

≥ 3

S

n

n

o promieniu . Zbada zbie no szeregu

.

(cel-08-2)

1

Σ

n

= 3

∞

( π − S

n

)

2.7* Dla

niech oznacza - ty dodatni pierwiastek równania

.

n

∈ N

x

n

n

x

= ctg x

Zbada zbie no szeregu

.

(cel-05-3)

Σ

k

= 0

∞

( x

k

+1

− kπ )

2.8* Niech , gdzie

, oznacza dodatni pierwiastek równania

.

a

n

n

∈ N

x

2000

+ nx − 1 = 0

Zbada zbie no szeregu

. Odpowied uzasadni .

(cel-12-1)

Σ

n

= 1

∞

a

n

2.9* Niech

oznacza ci g kolejnych liczb naturalnych, których rozwini cia dziesi tne

( a

n

)

zawieraj tylko cyfry nieparzyste, tj.

. Zbada zbie no szeregu

.

1, 3, 5, 7, 9

Σ

n

= 1

∞

1

a

n

(cel-07-2)

2.10* Wykorzystuj c kryterium całkowe zbie no ci szeregów zbada istnienie granicy wła ciwej

.

(cel-09-2)

n

→ ∞

lim

[ 1+

1
2

+

1
3

+ ... +

1

n

−ln ( n + 1 ) ]

2.11* Zbada , czy prawdziwe jest zdanie: dla dowolnego ci gu

malej cego i zbie nego

( a

n

)

do istnieje liczba naturalna taka, e szereg

jest zbie ny. Odpowied

0

k

Σ

n

= 1

∞

a

n

k

uzasadni .

(cel-10-1)

2.12* Czy istnieje szereg zbie ny

taki, e szereg

jest rozbie ny?

Σ

n

= 1

∞

a

n

Σ

n

= 1

∞

a

n

3

Odpowied uzasadni .

(cel-14-4)

2.13* Elementy szeregu

przestawiamy w taki sposób,

1

−

1
2

+

1
3

−

1
4

+

1
5

−

1
6

+ ...

e po kolejnym elemencie dodatnim nast puj kolejne dwa elementy ujemne.

Obliczy sumy obu szeregów (przed i po przestawieniu).

(cel-11-1)

2.14* Udowodni poni sze twierdzenie o trzech szeregach:

Niech szeregi

oraz

b d zbie ne. Ponadto niech wyrazy szeregu

Σ

n

= 1

∞

a

n

Σ

n

= 1

∞

b

n

spełniaj dla

nierówno ci

. Wtedy tak e szereg

Σ

n

= 1

∞

x

n

n

∈ N

a

n

≤ x

n

≤ b

n

jest zbie ny.

(cel-13-2)

Σ

n

= 1

∞

x

n

Szeregi pot gowe

3.1* Znale szereg Maclaurina funkcji

.

(cel-09-3)

f

( x ) =

1

( 1 + x ) ( 1 + x

2

) ( 1 + x

4

) ( 1 + x

8

)

3.2* Obliczy pochodn

funkcji okre lonej wzorem

f

(2000)

( 0 )

.

(cel-10-2)

f

( x ) =

x

1000

( x

2

+ 1 ) ( x

2

+ 4 )

3.3* Poda warto ci

oraz

dla funkcji

f

(2000)

( 0 )

f

(2001)

( 0 )

.

(cel-11-2)

f

( x ) =

1

1

+ x + x

2

+ x

3

3.4* Niech

. Obliczy

.

(cel-16-2)

f

( x ) =

x

1000

sin x

e

x

f

(2005)

( 0 )

3.5* Znale funkcj elementarn , której szereg pot gowy ma posta

.

(cel-07-1)

Σ

n

= 0

∞

x

4n

(4n)!

3.6* Obliczy sum szeregu

.

(cel-03-2)

Σ

n

= 0

∞

( 2n + 1 )

2

n!

3.7* Obliczy sum szeregu

.

(cel-04-1)

Σ

n

= 2

∞

1

( n

2

− 1 ) 2

n

Funkcje dwóch zmiennych

4.1* Poda przykład funkcji dwóch zmiennych, której dziedzin naturaln jest zbiór b d cy sum

wszystkich kwadratów postaci

A

kl

= { ( x, y ) ∈ R

2

: 2k

≤ x ≤ 2k + 1, 2l ≤ y ≤ 2l + 1 }

gdzie

.

(cel-01-3)

k, l

∈ Z

4.2* Zbada , czy istnieje granica

. Odpowied uzasadni .

(cel-06-4)

lim

( x, y ) → ( 0, 0 )

x

2

y

4

x

+ y

5.1* Znale funkcj , dla której przekształcenie okre lone wzorem

f

F

F

( x, y ) =

1

dla x

2

+ y

2

< 1

f

( x, y ) dla 1 ≤ x

2

+ y

2

≤ 4

4

dla 4

< x

2

+ y

2

ma pochodne cz stkowe

,

w ka dym punkcie

.

(cel-10-3)

∂F

∂x

∂F

∂y

( x, y ) ∈ R

2

5.2* Obie pochodne cz stkowe mieszane drugiego rz du funkcji

s ci głe

f :

R

2

→ R

na

. Korzystaj c z twierdzenia o całkach iterowanych pokaza , e w ka dym

R

2

punkcie

zachodzi równo

( x

0

, y

0

) ∈ R

2

.

(cel-14-1)

∂

2

f

∂x ∂y

( x

0

, y

0

) =

∂

2

f

∂y ∂x

( x

0

, y

0

)

6.1* Dana jest elipsoida

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

= 1

gdzie

oraz punkt

poło ony na zewn trz niej. Przez

a

> b > c > 0

( x

0

, y

0

, z

0

)

ten punkt poprowadzono wszystkie mo liwe proste styczne do elipsoidy. Udowodni

e punkty styczno ci tworz krzyw płask .

(cel-05-4)

6.2* Promienie wiatła, które s równoległe do wektora

, o wietlaj

→

v

= ( 0, 1, 1 )

brył ograniczon powierzchniami

.

z

= 1 − x

2

− y

2

, z

= 0

Znale kształt cienia (równania brzegu) tej bryły na płaszczy nie

.

(cel-15-1)

xOy

8.1* Znale trójk t o najwi kszym polu wpisany w elips o półosiach i . Ile rozwi -

a b

za ma to zadanie?

(cel-06-1)

8.2* W ród trójk tów opisanych na kole o promieniu znale ten, który ma najmniejsze

R

pole.

(cel-12-3)

8.3* W ród trójk tów wpisanych w koło o promieniu znale ten, który ma najwi ksze

1

pole. Wykorzysta rachunek ró niczkowy funkcji wielu zmiennych.

(cel-13-3)

8.4* Do sze ciennego pudełka o kraw dzi wło ono kul o rednicy . Wyznaczy

1

1

najdłu szy odcinek, który mo na doło y do tego pudełka tak, aby mo na było je

zamkn .

(cel-01-4)

8.5* Obliczy promie najwi kszego okr gu, który mo na umie ci na elipsoidzie

.

(cel-02-3)

x

2

4

+

y

2

9

+

z

2

16

= 1

8.6* Podstaw ostrosłupa o wysoko ci jest trójk t o bokach

. Jakie powinno

h

a, b, c

by poło enie spodka wysoko ci ostrosłupa, aby pole jego powierzchni bocznej było

najmniejsze?

(cel-03-1)

8.7* Narysowa zbiór

. Na rysunku poda

{ ( x, y ) ∈ R

2

: x

y

= y

x

, x

> 0, y > 0 }

współrz dne charakterystycznych punktów.

(cel-02-4)

8.8* Powierzchnia

w otoczeniu punktu

jest okre lona

z

= z ( x, y )

P

= (

π

6

,

π

4

,

π

3

)

warunkiem

. Napisa równanie płaszczyzny stycznej

x sin x

+ y sin y + z sin z =

3

π

8

do tej powierzchni w punkcie .

(cel-11-3)

P

8.9* Niech

. Udowodni , e istniej punkty

,

f

( x, y ) = x

8

+ y

8

+ 4xy + 1

( x

1

, y

1

)

,

, tworz ce wierzchołki o miok ta foremnego, dla których

( x

2

, y

2

) ..., ( x

8

, y

8

)

spełniony jest warunek

.

(cel-03-4)

f

( x

1

, y

1

) + f ( x

2

, y

2

) + ... + f ( x

8

, y

8

) = 0

8.10* Uzasadni , e dla ka dego

równanie

ma dokładnie jedno

x

≥ 0

y

3

+ xy − 8 = 0

rozwi zanie

. Nast pnie obliczy całk

.

(cel-08-3)

y

( x )

0

7

y

2

( x ) dx

Całki podwójne i ich zastosowania

10.1* Funkcja

jest ci gła. Obliczy granic

f :

R

2

→ [ 0, ∞ )

.

(cel-01-2)

lim

n

→ ∞

n

x

2

+ y

2

≤1

f

n

( x, y ) dx dy

10.2* Funkcja jest ci gła na

. Obliczy granic

f

R

2

.

(cel-02-2)

lim

n

→ ∞

n

2

x

2

+ y

2

≤

1

n2

f

( x, y ) dx dy

10.3* Funkcja jest ci gła na

. Ponadto dla dowolnych liczb dodatnich i oraz

f

R

2

a b

dla dowolnego prostok ta o bokach i , równoległych do osi układu

P

a b

współrz dnych,spełnia warunek

.

P

f

( x, y ) dx dy = ab

Pokaza , e

na

.

(cel-07-4)

f

≡ 1

R

2

10.4* Obliczy obj to bryły ograniczonej powierzchniami

.

z

= x

2

+ y

2

, z

= 1 − x

2

− (y − 1)

2

Czy cz

wspólna tych powierzchni jest krzyw płask ?

(cel-13-4)

11.1* Masa jest rozło ona w sposób ci gły na cienkiej płytce. Pokaza , e w dowolnym

punkcie płytki mo na umie ci układ współrz dnych tak, aby momenty bezwładno ci

płytki wzgl dem obu osi były jednakowe.

(cel-14-3)

11.2* Obliczy sił , z jak jednorodna kwadratowa płytka o boku i masie przyci ga

2a

M

mas poło on w odległo ci nad rodkiem płytki.

(cel-09-4)

m

a

Całki potrójne i ich zastosowania

13.1* Funkcja jest ci gła na

oraz spełnia warunek

f

R

3

.

x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 1

f

( x, y, z ) dx dy dz = 0

Udowodni , e istnieje czworo cian foremny , dla którego spełniony jest warunek

U

.

(cel-04-3)

U

f

( x, y, z ) dx dy dz = 0

13.2* Obliczy obj to bryły ograniczonej powierzchni o równaniu

.

(cel-10-4)

( x

2

+ y

2

+ z

2

)

2

= 30xyz

13.3* Obliczy obj to bryły

.

{ ( x, y, z ) ∈ R

3

: x

2

+ y

2

≤ 1, y

2

+ z

2

≤ 1, x

2

+ z

2

≤ 1 }

Sporz dzi rysunek.

(cel-08-4)

13.4* Obliczy obj to tej cz ci sto ka

, która jest zawarta w walcu

z

≥ x

2

+ y

2

.

(cel-16-3)

x

2

+ z

2

≤ 2z

13.5* Powierzchnia zewn trzna obr czki ma kształt sferyczny, a powierzchnia wewn trzna

walcowy. Udowodni , e obj to obr czki zale y jedynie od jej wysoko ci.

(cel-05-1)

14.1* Obliczy obj to tej cz ci sze cianu

,

{ ( x, y, z ) ∈ R

3

: 0

≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 2 }

która le y na zewn trz kuli

.

(cel-06-3)

{ ( x, y, z ) : x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 9 }

14.2* Naczynie w kształcie walca o rednicy

stoi na płaszczy nie nachylonej do

D

= 2

poziomu pod k tem

. Ile wody mo na wla do naczynia, aby nie przewróciło

α =

π

6

si ? W rozwa aniach nie uwzgl dnia masy naczynia ani grubo ci jego cianek.

(cel-03-3)

14.3* W jednorodnej trójk tnej płytce wyci to dwa okr głe otwory. Wierzchołki trójk ta

znajduj si w punktach

. rodki otworów s

( 0, 0 ), ( 3, 10 ), ( 20, 0 )

w punktach

, a ich rednice wynosz odpowiednio

.

( 4, 3 ), ( 10, 4 )

4, 2

Znale rodek masy wyci tej płytki.

(cel-11-4)

14.4* Wyznaczy moment bezwładno ci

cz ci jednorodnej kuli o promieniu

1/8

R

i masie wzgl dem jej osi symetrii.

(cel-12-4)

M

14.5* Zbada , wzgl dem której prostej przechodz cej przez rodek jednorodnego sze cia-

nu jego moment bezwładno ci jest najmniejszy.

(cel-04-4)

14.6* Sze cienny pojemnik ma mas i kraw d . Obliczy moment beawładno ci

M

a

pojemnika wzgl dem przek tnej sze cianu. Przyj , e jego ciany s wykonane

z cienkiej jednorodnej blachy.

(cel-16-4)

14.7* Torus jest brył , która powstaje z obrotu koła o promieniu wokół prostej odległej

r

o

od jego rodka. Obliczy moment bezwładno ci takiego torusa wzgl dem

R

≥ r

osi obrotu. Przyj , e torus jest jednorodny i ma mas .

(cel-15-3)

M