Wykład 1

Teoria popytu konsumpcyjnego -

od preferencji do funkcji użyteczności

1. Rekwizyty

Funkcja użyteczności typowego konsumenta

,

- numeryczna charakterystyka i-tego dobra

- wektor (koszyk) dóbr

Własności zbioru dóbr (
):

• 
  

• 
  

- podzielność dóbr

• 
  

• 
  

- zbiór dóbr jest nieograniczony z góry

Interpretacja
:

• mierzy satysfakcję uzyskiwaną z konsumpcji możliwych koszyków dóbr

• jest liczbą opisującą porządek koszyków dóbr zgodnie z preferencjami konsumenta

Wniosek:

jest preferowany w stosunku do
wtedy, gdy
.

2. Podstawowe założenia odnoszące się do relacji preferencji

Które własności preferencji konsumenta sprawiają, że każdemu koszykowi dóbr można przyporządkować liczbę obrazującą użyteczność tego koszyka w taki sposób, jak to uczyniono za pomocą funkcji użyteczności?

Załóżmy, że
i
reprezentują dwa koszyki dóbr. Niech:

• 
  oznacza, że
  nie jest przedkładany (preferowany) nad
  

• 
  i
  oznacza, że
  , tj.
  jest obojętny do
  

• 
  i nie
  oznacza, że
  , tj.
  jest przedkładany nad
  

Warunki istnienia ciągłej funkcji użyteczności (?):

• porównywalność koszyków

dla każdej pary koszyków
konsument może stwierdzić, czy
, czy też
; oznacza to zachodzenie przynajmniej jednej z powyższych relacji, albo też obu łącznie; w tym ostatnim przypadku

• przechodniość

i


; jeśli
nie jest przedkładany nad
oraz
nie jest przedkładany nad
, to
nie jest przedkładany nad
(preferencje konsumenta są zgodne)

Obie własności umożliwiają ,,słabe uszeregowanie” (weak preordering) koszyków. Uszeregowanie takie jest również zwrotne, tzn.
, co wynika bezpośrednio z porównywalności.

Czy spełnienie warunku przechodniości wyklucza z dalszej analizy szereg relacji preferencji, które wcale nie muszą być irracjonalne?

Przykład 1

(I.F.Pearce, A contribution to demand analysis. Oxford University Press, Oxford 1964, s. 20)

Zapraszasz na obiad kolegę. Na deser oferujesz mu następujący wybór: małe lub duże jabłko. Wybiera małe jabłko, jakkolwiek ciągle jest głodny. Następnie proponujesz mu albo dużą gruszkę, albo małe jabłko. Wybiera dużą gruszkę, bo ciągle jest głodny. Na koniec musi jeszcze wybrać pomiędzy dużym jabłkiem a dużą gruszką. Wybiera jabłko, ponieważ jabłka przedkłada nad gruszki. Czy jego wybory są spełniają warunek przechodniości?

Szeregowanie wydaje się nieprzechodnie: duże jabłko
duża gruszka
małe jabłko
duże jabłko. Niemniej jednak, decyzje są całkiem racjonalne. Pierwszym wyborem jest małe jabłko (a nie duże jabłko) ze względu na chęć bycia uprzejmym w stosunku do gospodarza. Kiedy gość ma wybrać pomiędzy małym jabłkiem a dużą gruszką, wybiera gruszkę, ponieważ jest ciągle głodny; kiedy ma wybrać pomiędzy dużym jabłkiem a dużą gruszką wybiera jabłko, ponieważ jabłka przedkłada nad gruszki.

Powyższy przykład nie zaprzecza przechodniości, jeśli mamy dodatkową informację, że zaproszony gość jest głodny i chce być uprzejmy dla gospodarza. Poza tym warto zauważyć, że duże jabłko przy pierwszym wyborze nie jest tym samym dobrem co duże jabłko przy trzecim wyborze.

Czy porównywalność i przechodniość wystarczą do istnienia funkcji użyteczności, tj. do przyporządkowania każdemu koszykowi liczby rzeczywistej w taki sposób, aby naturalny porządek liczb rzeczywistych odpowiadał uporządkowaniu?

Przykład 2

(L.Philips, Applied consumption analysis. North-Holland, Amsterdam 1983, s. 6-7)

Jestem alkoholikiem. Konsekwentnie i systematycznie preferuje te koszyki, które zawierają alkohol. Jeśli dwa koszyki zawierają alkohol preferuję ten, w którym alkoholu jest więcej. Jestem zainteresowany innymi dobrami tylko wtedy, gdy dwa koszyki zawierają taką samą ilość alkoholu.

Rozważmy dwa koszyki
i
, z których każdy składa się z dwóch dóbr piwa,
, i chleba,
. Jeśli w koszyku
jest więcej piwa niż w koszyku
, tzn.
, to
. Rozważmy też taki trzeci koszyk
, w którym
. Będę przedkładał koszyk
nad koszyk
tylko wtedy, gdy
, czyli jeśli będzie zawierał więcej chleba.

[Rys. 1]

Koszyk
jest przedkładany nad koszyk
(który zawiera mniej piwa) oraz koszyk
jest przedkładany nad koszyk
(zawiera taką samą ilość piwa ale więcej chleba). Koszyk
jest przedkładany nad każdy koszyk znajdujący się w zacienionym regionie i na jego krańcu pomiędzy koszykiem
a osią reprezentującą wielkości spożycia piwa. Z uwagi na to, że nie istnieją żadne koszyki obojętne wobec koszyka
, nie można poprowadzić w jakikolwiek sposób linii ciągłej oddzielającej koszyk
od innych koszyków przedkładanych nad
oraz koszyków, które są przedkładane nad
. Koszyki
i
znajdują się dostatecznie blisko koszyka
, niemniej jednak nie są obojętne wobec
.

Powyższe uszeregowanie jest zwrotne i przechodnie (?). Jest uszeregowaniem leksykograficznym. Koszyki uszeregowane są jak słowa w słowniku.

Istnienie ciągłej funkcji użyteczności, takiej że
, gdy
, przyjmującej wartości ze zbioru
, wymaga dodatkowo spełnienia warunku ciągłości (G.Debreu, Theory of value: an axiomatic analysis of economic equilibrium, Cowles Monograph 17. Wiley, New York 1959, s. 60-63)

Warunek ciągłości

Zbiór koszyków nie przedkładanych nad koszyk
oraz zbiór koszyków, nad które nie przedkładany jest koszyk
są dla dowolnego
zbiorami domkniętymi w zbiorze koszyków
.

Funkcja użyteczności ciągle nie ma wszystkich pożądanych własności. Warto również zauważyć, że nie jest określona jednoznacznie.. Każda monotoniczna transformacja funkcji użyteczności jest również funkcją użyteczności (użyteczność porządkowa a nie użyteczność kardynalna!).

Pozostałe warunki:

• dominacji (monotoniczności):

niech
; powiemy, że
dominuje
jeśli
oraz
lub jeśli
oraz
; konsument preferuje koszyk, który zawiera więcej jednego z dwóch dóbr i nie mniej drugiego dobra (preferuje zawsze więcej niż mniej); konsekwencją tej własności jest (funkcja) popyt, który jest ściśle rosnącą funkcją konsumowanych ilości

czy uporządkowanie leksykograficzne jest monotoniczne (?)

• ścisłej wypukłości:

jeśli dwa koszyki
są takie że
(obojętność), to ich liniowa kombinacja jest przedkładana zarówno nad
, jak i nad
; mamy bowiem;

dla
(
)

dla
(
)

dla
(
)

[Rys. 2a-2c]

Z powyższego wynika, że funkcja użyteczności jest taka, że dla

, gdy

mamy:

, gdy
,

czyli
dla
. Funkcja użyteczności jest ściśle półwklęsła

• różniczkowalności:

funkcja ściśle rosnąca i półwklęsła jest również dwukrotnie różniczkowalna:

- krańcowa użyteczność dobra i-tego;

z warunku dominacji

(twierdzenie Younga)

Czy użyteczność jest miarą kardynalną czy też porządkową?

Miara jest nazywana kardynalną, jeśli dowolne jej przekształcenie liniowe rosnące zachowuje uporządkowanie preferencji.

Miara jest nazywana porządkowa, jeśli dowolne jej przekształcenie monotoniczne niemalejące zachowuje uporządkowanie preferencji.

Przykład 3:

(L.Philips, Applied consumption analysis. North-Holland, Amsterdam 1983, ćwiczenie 1.7, s. 13)

Niech funkcją użyteczności jest

.

Która z poniższych funkcji:

,
,
,

,

jest jej transformacją? Która z tych funkcji może ją zastąpić z kardynalnego (porządkowego) punktu widzenia?

Uwagi:

Niech

jest taka, że

.

Wówczas

Załóż, że :

jest liniowa i rosnąca, tzn.
i
, oraz monotoniczna i rosnąca, tzn.
i
.

Czy
jest miarą kardynalną? Czy prawo malejących krańcowych użyteczności jest prawem kardynalnym?

3. Maksymalizacja funkcji użyteczności

Ilości dóbr zakupywanych przez konsumenta są ilościami optymalnymi, tzn. takimi, które maksymalizują jego funkcję użyteczności

przy ograniczeniu budżetowym

,

w którym
jest ceną dobra i-tego, a
- dochodem konsumenta.

Maksimum lokalne:

,
.

Warunki konieczne:

.

Z powyższego wynika, że

• 
  

w równowadze użyteczności krańcowe dóbr podzielone przez odpowiednie ich ceny są sobie równe (własność kardynalna);

• 
  

w równowadze iloraz użyteczności dwóch dowolnych dóbr (krańcowa stopa substytucji) równy jest ilorazowi ich cen (własność porządkowa).

Warunek konieczny można również zapisać w postaci
. Zatem
jest miarą zmiany użyteczności wywołanej wzrostem dochodu o (małą) jednostkę,
.

Warunki dostateczne:

Niech hessianem obrzeżonym jest

,

.

Znaki minorów głównych tego hessianu

Dla n=2 mamy:

oraz

.

Oznacza to, że jeśli funkcja użyteczności jest ściśle wklęsła, odpowiadający jej hessian jest półdodatnio określony.

Uwaga:

Żadna z dotychczas scharakteryzowanych własności uporządkowania nie gwarantuje wklęsłości funkcji użyteczności. Z własności dominacji (monotoniczności) wynika półwklęsłość (kontur funkcji - krzywa obojętności jest wypukła).

Półwklęsłość oznacza, że

- krzywa obojętności jest dolną

granicą zbioru wypukłego.

Wklęsłość natomiast jest definiowana jako

dla
.

Wklęsłość zależy zatem od krzywych obojętności oraz od tego, w jaki sposób użyteczność zmienia się od krzywej do krzywej. Powinna zmieniać się w taki sposób, aby krańcowe użyteczności malały.

Jeśli krzywe obojętności są wypukłe od dołu, wówczas funkcja użyteczności jest półwklęsła i warunki wystarczające maksimum są również spełnione.

Przykład 4

Wyznacz maksima funkcji użyteczności z przykładu 3 przy ograniczeniu budżetowym

.

Dla
warunkiem koniecznym istnienia maksimum jest, aby

,
oraz
.

Stąd:

,
,
.

Maksymalizacja pozostałych funkcji użyteczności prowadzi do tego samego rezultatu.

Paweł Miłobędzki: Wykłady z ekonomii matematycznej

10

---